探討高中數(shù)學(xué)解題中對(duì)向量的巧妙應(yīng)用

肖皓天

【摘要】向量是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，它是一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，能夠在高中數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮很大的作用.本文通過幾個(gè)例子說明了向量在解決高中數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何問題中的實(shí)際應(yīng)用，說明了向量對(duì)于解決高中復(fù)雜數(shù)學(xué)題中的有效應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；向量；解題

我國高中生由于面臨很大的升學(xué)壓力，而高校又是根據(jù)學(xué)生成績進(jìn)行擇優(yōu)錄取的，所以分?jǐn)?shù)對(duì)于高中生來說非常重要.為了提高學(xué)習(xí)成績，學(xué)生只能靠做大量的練習(xí)題來進(jìn)行鍛煉，但是復(fù)雜多變的題型對(duì)于學(xué)生來說，解答很吃力，特別是數(shù)學(xué).向量是高中數(shù)學(xué)比較重要的知識(shí)點(diǎn)之一，對(duì)于學(xué)生解答數(shù)學(xué)題來說，向量能夠起到非常大的作用.向量不僅能幫助學(xué)生解答數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠在實(shí)際生活中加以利用，對(duì)學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)都能有很大的幫助.下面通過幾個(gè)具體的例子來探討向量在高中數(shù)學(xué)解題中的巧妙應(yīng)用.

一、向量在高中代數(shù)中的有效應(yīng)用

（一）向量在高中數(shù)學(xué)根式、分式和絕對(duì)值方程中的應(yīng)用

在一般的高中數(shù)學(xué)題中，根式、分式和絕對(duì)值方程的解題過程普遍較為復(fù)雜，需要花費(fèi)很長時(shí)間才能得出答案，而且運(yùn)算過程中容易出錯(cuò)，屬于吃力不討好的題型，但是如果把向量運(yùn)用到解題之中，就變得簡單多了.

例1解方程x-1x+1-1x=x.

通過題中我們可以得知x可以作為分母而存在，所以x一定是大于零的，我們可以先對(duì)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到下面的等式：1x1-1x2+1x1-1x=1.得出等式以后，我們進(jìn)行向量的構(gòu)造，使m=1x，1-1x，n=1-1x2，1x，然后由m·n≤|m||n|，可以得到1=1x1-1x2+1xx-1x≤1x+1-1x·1-1x2+1x2=1，所以兩個(gè)不等式之間可以取等號(hào)，也就是m與n是同向的.因?yàn)閨m|=1，|n|=1，所以1x=1-1x2，1-1x=1x，最后我們可以得到x2-x-1=0，所以x=1+52.

（二）向量在解決高中函數(shù)題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)題中，有很多問題都是函數(shù)問題，由于向量具有代數(shù)與幾何雙重特性，所以在解決某些函數(shù)問題時(shí)，通過構(gòu)造向量將函數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，通過對(duì)向量代數(shù)的運(yùn)算很容易就能得出相關(guān)結(jié)論，大大簡化解題過程，讓函數(shù)的解題過程看起來更加直觀與便捷.

例2已知x，y∈R，f（x，y）=（1-y）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2的最小值.

我們先假設(shè)a=（1-y，x+y-3，6-2x-y），b=（1，2，1），那么|a|=f（x，y），|b|=6.又因?yàn)閍·b=（1-y）+2（x+y-3）+（6-2x-y）=1和a·b≤|a|·|b|=6f（x，y）可以得到1≤6f（x，y），也就是16≤f（x，y），當(dāng)2-2y=x+y-3=12-4x-2y，也就是當(dāng)x=52，y=56時(shí)，等式成立.所以當(dāng)x=52，y=56時(shí)，f（x，y）有最小值16.

二、向量在高中幾何解題中的應(yīng)用

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)的兩門基本課程，向量能夠在解決代數(shù)題中起到較好的效果，同樣，在幾何題中運(yùn)用向量與在代數(shù)題中類似，都能夠得到有效的運(yùn)用.不同的是，在幾何題中，我們要把立體的空間想象加入到解題中來，在解答高中數(shù)學(xué)幾何題時(shí)，有效運(yùn)用向量，可以把復(fù)雜的問題簡單化，快速把答案解答出來.

（一）向量在解決高中立體幾何問題中的應(yīng)用

例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，那么能否在棱C1D1上找到一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？如果能，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不能，請(qǐng)說明原因.

我們首先在圖中建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，假設(shè)正方體的棱長是2，那么B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2，），可以得到BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2），我們假設(shè)平面BEA1的法向量為m=（x，y，z），則m·BE=-2x+2y+z=0，m·BA1=-2x+2z=0，如果讓x=1，那么z=-1，y=32，所以得到m=1，32，-1.我們假設(shè)在棱C1D1存在一點(diǎn)F能夠使B1F∥平面A1BE，設(shè)F（x0，2，2），（0≤x0≤2），得到B1F=（x0-2，2，0），所以

m·B1F=1×（x0-2）+32×2+（-1）×0=0.最后得到x0=-1，所以找不到點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE.

（二）運(yùn)用向量解決高中數(shù)學(xué)中的不等式問題

向量也可以用在不等式的解題過程中，使不等式的解題過程得到簡化.

例4證明（x-2）+9+（x-5）2+1≥5.

假設(shè)a=（x-2，9），b=（5-x，1），根據(jù)|a|+|b|≥|a±b|，可以得到（x-2）2+9+（x-5）2+1≥（x-2+5-x）2+（3+1）2，所以我們可以得到（x-2）+9+（x-5）2+1≥5.

三、結(jié)語

通過上面幾個(gè)例子我們可以看出，把向量運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)題的解題過程中，比兩點(diǎn)間的距離公式和三角代換都要簡便很多，在解法上也比較新穎、獨(dú)特.在利用向量法解題的過程中，還可以看出數(shù)學(xué)建模的實(shí)際過程，充分發(fā)揮向量在高中數(shù)學(xué)中的工具作用.endprint