一類具有年齡分布和加權總規(guī)模的周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制

沈榮濤，曹雪靚

(蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730000)

一類具有年齡分布和加權總規(guī)模的周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制

沈榮濤，曹雪靚

(蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730000)

種群動力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題是控制理論中的一個重要的研究領域，它對種群的發(fā)展和控制提供了非常重要的參考價值。考慮到加權總規(guī)模和周期對種群發(fā)展的影響，本文給出了一類帶年齡結構和周期的種群系統(tǒng)數學模型，其生死率依賴于個體年齡和加權總規(guī)模，借助不動點原理確立了系統(tǒng)的適定性，應用極大化序列法證明了最優(yōu)解的存在性，得到了最優(yōu)解的必要性。

種群規(guī)模；最優(yōu)控制；年齡結構；加權總量；周期解

由于生物種群生存在周期性的變化環(huán)境中，所以研究周期性變化的種群模型更加符合實際。不少學者研究了帶有周期性的種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，獲得不少成功。文獻[1]和文獻[2]最早講述了年齡種群系統(tǒng)的控制問題和穩(wěn)定性分析；文獻[3]討論了具有年齡結構和移民的非線性種群動態(tài)的最優(yōu)生育控制問題；文獻[4]研究了三種年齡結構的捕食者-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)控制；文獻[5]討論了一類非線性種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，文獻[6]研究了一類周期種群系統(tǒng)的適定性及最優(yōu)控制，該文證明了非線性種群系統(tǒng)周期解的存在唯一性。本文再次基礎上討論下列非線性具有加權項的周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題：

(1)

其中:Q=(0,A)*(0,)，固定常數A,T分別表示個體最高壽命和系統(tǒng)演變周期。狀態(tài)變量p(a,t)表示t時刻年齡為a的個體數量，控制函數u(a,t)代表收獲努力度，S(t)表示t時刻種群的加權總量，ω為權函數，β，μ表示出生率和死亡率，他們的結構意味著不同年齡的個體對種群演化有不同的影響。

本文假設：

關于x有二階連續(xù)的偏導數，滿足|μx|≤M1,|μxx|≤M1,μ(a,t,S(t))=μ(a,t+T,S(t+T))。(H3)對任意(a,t,x)∈Q×(0,+)，0≤β(a,t,x)≤M2,β關于x局部Lipschitz連續(xù)，β(·,·,x)是x的減函數,關于x有連續(xù)的二階偏導數,滿足|βx|≤M2,|βxx|≤M2,且β(a,t,S(t))=β(a,t+T,S(t+T))。 (H4)對任意(a,t)∈Q,0≤ω(a,t)≤M3,M1,M2,M3為常數。

所謂系統(tǒng)(1)的解是指函數p∈L(Q)，滿足

不妨假設u≡0，其他情形同法處理。

1 解對控制變量的連續(xù)依賴性

p(a,t,S)=b(t-a;S)∏(a,t,a;S),t≥A

。

(2)

(3)

而b(·;S)為下列Volterra積分方程的T-周期解：

(4)

這里：

(5)

K(t,a,:S)=β(a,t,S(t))∏(a,t,a;S)。

(6)

(7)

|b(t;S)|≤M。

(8)

證明 由式(6)，得

由此得：|K(t,a;S1)-K(t,a;S2)|≤L1W(t)。

當A+T>t>A時，由式(4)得：

利用式(5)得 ：

考慮到b的周期性，不妨設t∈[A,A+T]。根據Gronwall不等式，得：

2 最優(yōu)性條件

其中q為下列共軛系統(tǒng)的解

(9)

證明：對?v∈Tu(u*)(U在u*處的切錐)，當λ>0充分小時，u*+λv∈U，因此J(u*+λv)≥J(u*)，即:

(10)

將式(10)的第一式乘以z(a,t)并在(0,A)×(0,T)上積分加上式(10)的第一式乘以q(a,t)在(0,A)×(0,T)上積分，得：

有文獻[7]中定理3.2.5，即知定值的結論成立。

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[4] Luo Zhixue, He Zerong, Li Wantong.Optimal birth control for predator-prey system of three species with age-structure[J].Applied Mathematics and Computation 2004,155:665-685.

[5] 何澤榮,朱廣田.基于年齡分布和加權總規(guī)模的種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制[J].數學進展, 2006,35(3):316-324.

[6] 趙春,王綿森,何澤榮,等.一類周期種群系統(tǒng)的適定性及最有控制[J].應用數學,2004,17(4):551-556.

[7] 何澤榮.具有年齡結構的捕食種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲策略.系統(tǒng)科學和數學[J],2006,26(4):467-483.

[8] 趙春,王綿森,趙平.一類種群系統(tǒng)的適定性及最優(yōu)收獲問題[J].系統(tǒng)科學和數學,2005,25(1):1-12.

Optimal Control of Periodic Population System with Age Structure and Weighted Total Scale

SHEN Rongtao， CAO Xuejing

(Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

s: The optimal control problem of the population dynamics system is an important research field in the control theory, which provides a very important reference value for the development and the control of the population. Considering the effect of the weighted total scale and period on the population development, this paper presents a mathematical model of population system with age structure and period, which the mortality depends on the individual age and weighted total scale, then, the system is established by means of fixed point principle, finally, the existence of the optimal solution is proved by the maximal sequence method, and the necessity of the optimal solution is obtained.

population size; optimal control; age structure; weighted total; cycle

10.3969/j.issn.1674-5403.2017.04.020

O175.1

A

1674-5403(2017)04-0090-04

2017-09-19

沈榮濤(1992-)，男，江蘇泰州人，在讀碩士研究生，主要從事生物數學方面的研究.