Bogoliubov-de Gennes對角化與Schur分解方法的等價性

張 雨， 黃鎮(zhèn)華， 李 銘

(華南師范大學物理與電信工程學院， 廣東省量子調(diào)控與材料重點實驗室，廣州 510006)

Bogoliubov-de Gennes對角化與Schur分解方法的等價性

張 雨， 黃鎮(zhèn)華， 李 銘*

(華南師范大學物理與電信工程學院， 廣東省量子調(diào)控與材料重點實驗室，廣州 510006)

以Kitaev的一維量子線模型為例，分別利用傳統(tǒng)的Bogoliubov-de Gennes(BdG)對角化方法和Schur分解方法求解該模型的本征能量以及本征波函數(shù)，從理論分析和數(shù)值計算方面對2種方法進行對比. 結果表明，BdG對角化方法得到的準粒子能量是能量本征值的2倍，而Schur分解方法可以直接得到準粒子能量. 兩者數(shù)值計算結果一致. 另外，在確定的參數(shù)下，2種方法得到的準粒子算符對初始的費米子算符的展開系數(shù)只相差一個常數(shù)相因子. 所以，最后的結論是BdG對角化跟Schur分解兩種方法是等價的.

BdG對角化方法； Schur分解； Majonara費米子； 粒子-空穴對稱； 拓撲絕緣體

求解一個哈密頓量的本征值和本征函數(shù)，人們通常采用的數(shù)值計算方法是Bogoliubov-de Gennes(BdG)對角化方法[1-4]. 問題是在某些情況下該方法可能需要擴大自由度的維數(shù)[5]，從而產(chǎn)生偽態(tài). Kitaev[6]在2000年提出一個模型，在三維超導體表面的量子線兩端呈現(xiàn)Majonara零能模. 他沒有利用傳統(tǒng)的BdG對角化方法，而是用費米子產(chǎn)生湮滅算符構造結果Majonara費米子算符，得到具有斜正交矩陣形式的哈密頓量，然后實行分塊對角化. 這個分塊對角化正好可以通過Matlab的Schur分解來實現(xiàn)[7]. 目前Kitaev方法應用較少，多數(shù)情況采用BdG對角化方法直接對角化. 一個疑問是：這兩種方法得到的結果是否一致呢？本文以Kitaev模型為例，首先從理論上對BdG對角化和Schur分解兩種方法進行對比，然后通過數(shù)值計算比較兩種方法得到的本征能量以及波函數(shù). 研究結果表明：兩種方法是等價的，并且BdG對角化方法更簡單.

1 研究方法

1.1 BdG對角化方法

Kitaev模型的哈密頓量可以表示為[7]:

(1)

其中，t是最近鄰格點跳躍幅度，μ是化學勢，Δ=|Δ|eiθ是超導配對勢.

H=C+hC,

(2)

其中，

(3)

對矩陣h進行對角化得到h=SES+. 這里的S是引入的一個幺正矩陣.E是一個對角矩陣對角元素為(±E1±E2…)，且從小到大排序. 矩陣S的每一列為相應能量本征值所對應的本征矢. 把h=SES+代入前面的哈密頓量中，并且設

(4)

新構造的準粒子算符采用原費米子算符展開為：

(5)

(6)

下面證明，這兩套費米子算符的一致性. 對于矩陣h的任意一個能量本征值En，本征矢量滿足下列BdG方程[8]：

(7)

對BdG方程(7)等號兩邊進行幺正變換，重新整理后得到如下形式：

(8)

(9)

(10)

將其代入新費米子算符(5)得:

(11)

所以，本征值為負的偽態(tài)，可以消除. 于是，哈密頓量式(4)變?yōu)椋?/p>

(12)

可見，通過BdG對角化方法所得能量的2倍才是真正的準粒子能量本征值.

1.2 Schur分解方法

采用Schur分塊法求解Kitaev模型. 首先用Majonara費米子算符改寫Kitaev模型的哈密頓量. Majonara費米子算符定義為：

(13)

滿足Majonara費米子的反對易關系{γi,γj}=2δij，將式(13)代入式(1)得：

(14)

這一哈密頓量可以寫成如下矩陣形式：

(15)

其中，A是2N×2N的實反對稱矩陣(Aj，i=-Ai，j) 實反對稱矩陣的非零本征值是純虛數(shù)，并且正負成對出現(xiàn)[6,11]，設為±iεn，εn≥0. 所以，A可以寫成如下形式：

A=WTBW,

(16)

其中，

(17)

W是2N×2N的實正交矩陣，WWT=1. 該矩陣可用Matlab的Schur子程序計算. 將式(16)代入哈密頓量可以得到：

(18)

(19)

得到對角化的哈密頓量：

(20)

其中，

(21)

式中，

2 結果與討論

2.1 準粒子能量

首先，按照Schur分解和BdG對角化兩種方法計算準粒子能量(圖1)，采用Schur分解方法得到的準粒子能量跟BdG對角化方法得到的2En完全一致. 另外，這里還出現(xiàn)了一個零能量E=0，與其他能量之間有一個明顯的能隙. 這個零能量態(tài)就是馬約拉納零模[7,12-13]，這也正是Kitaev在該玩具模型中預言的[6]，其零模的穩(wěn)定性受拓撲保護.

圖1 兩種方法在不同參數(shù)下計算得到一維鏈上電子的準粒子能量

Figure 1 Quasiparticle energies of electrons on a one-dimensional chain by two methods with different parameters

2.2 零模準粒子的展開系數(shù)絕對值及相對相位角

由于量子力學波函數(shù)的位相不確定性，零模準粒子的展開系數(shù)可以存在一個常數(shù)相因子的差別(相對相位角). 為了檢驗2種方法得到的展開系數(shù)是否只是相差一個常數(shù)相因子，進一步計算了所有格點上2種方法得到的展開系數(shù)之比的相位角(圖3). 可見，在同一組參數(shù)下，不同格點上的相位角是完全相同的. 這表明用2種數(shù)值計算方法得到的波函數(shù)只存在著常數(shù)相因子的差別.

圖2 兩種方法求不同參數(shù)下零模準粒子產(chǎn)生算符展開系數(shù)的絕對值

Figure 2 Absolute values of expansion coefficients of zero mode quasi-particle annihilation operator by two methods with different parameters

圖3 Schur分解法與BdG對角化方法在不同參數(shù)下求得零模準粒子產(chǎn)生算符展開系數(shù)的相對相位角

Figure 3 Relative phase angles of expansion coefficients of zero mode quasi-particle annihilation operator between Schur and BdG

2.3 第一激發(fā)態(tài)準粒子算符展開系數(shù)及相位角

對比兩組不同的參數(shù)下用2種方法得到第一激發(fā)態(tài)能量相應準粒子產(chǎn)生算符的展開系數(shù)絕對值(圖4)以及展開系數(shù)相差的相位角(圖5). 由圖4可以看出，相同參數(shù)下2種方法得到的第一激發(fā)態(tài)能量對應的準粒子算符其展開系數(shù)絕對值相同. 由圖5可以看出兩組參數(shù)下2種方法得到第一激發(fā)態(tài)能量對應的準粒子算符其展開系數(shù)之間相差的相位角都是零，也就是說此時2種方法得到的準粒子算符的展開系數(shù)之間不存在常數(shù)相因子的差別，二者完全相同. 所以，數(shù)值計算結果表明，BdG對角化和Schur分解2種數(shù)值計算方法在求解同一個一維拓撲超導體Kitaev模型的本征值和本征函數(shù)時是等價的. 另外，對2種方法進行進一步分析發(fā)現(xiàn)各有其優(yōu)點：首先，BdG對角化方法在求解本征函數(shù)和本征能量的計算過程中更加簡潔方便. 值得注意的是，BdG對角化的方法直接得到的能量的2倍才是真正的準粒子能量本征值. 其次，由于馬約拉納費米子更像是半個狄拉克費米子，因此采用Schur分解方法在處理馬約拉納費米子行為問題時則更加直觀清晰. 綜上所述，可以根據(jù)處理問題的不同而選擇合適的方法進行計算分析，從而達到事半功倍的效果.

圖4 兩種方法求不同參數(shù)下第一激發(fā)態(tài)準粒子產(chǎn)生算符的展開系數(shù)絕對值

Figure 4 Absolute values of expansion coefficients of quasi-particle annihilation operator of the first excited state by two methods with different parameters

圖5 Schur分解法與BdG對角化方法在不同參數(shù)下求得第一激發(fā)態(tài)準粒子產(chǎn)生算符展開系數(shù)的相對相位角

Figure 5 Relative phase angles of expansion coefficients of quasi-particle annihilation operator of the first excited state between Schur and BdG with different parameters

3 結論

通過理論分析和數(shù)值計算驗證了BdG對角化和Schur分解2種數(shù)值計算方法的等價性. 由于超導配對相的存在，用BdG對角化方法求解哈密頓量不得不擴大1倍自由度個數(shù)，但最后在粒子-空穴對稱的前提下自由度兩兩重合，準粒子能量正好是能量本征值的2倍. Schur分解法得到的能量本征值直接給出準粒子能量. 數(shù)值計算結果表明，2種方法得到的準粒子能量是完全一致的. 2種方法得到的準粒子算符對初始費米子算符的展開系數(shù)只有1個常數(shù)位相因子的差別. 所以，這2種方法是等價的.

[1] KURITA Y,KOBAYASHI M,MORINARI T,et al. Spacetime analog of Bose-Einstein condensates: Bogoliubov-de Gennes formulation[J]. Physical Rewiew A,2009,79:043616.

[2] OZANA M,SHELANKOV A,TOBISKA J. Bogoliubov-de Gennes versus quasiclassical description of josephson structures[J]. Physical Review B,2002,66(5):340-351.

[3] SHANENKO A A,CROITORU M D,PEETERS F M. Oscillations of the superconducting temperature induced by quantum well states in thin metallic films: numerical solution of the Bogoliubov-de Gennes equations [J]. Physical Review B,2007,75: 014519.

[4] BJ?RNSON K,BLACK-SCHAFFER A M. Probing vortex Majorana fermions and topology in semiconductor-superconductor heterostructures[J]. Physical Review B,2015,91(21):1610-1625.

[5] BJ?RNSON K,BLACK-SCHAFFER A M. Majorana fermions at odd junctions in a wire network of ferromagnetic impurities[J]. Physical Review B,2019,94:100501.

[6] KITAEV A Y. Unpaired Majorana fermions in quantum wires[J]. Physics-Uspekhi,2001,44:131-136.

[7] CHEN L,LI M W,HUANG J H,et al. Majorana zero modes on a one-dimensional chain for quantum computation[J]. Physical Review A,2014,90(1):4804-4810.

[8] QU C,ZHENG Z,GONG M,et al. Topological superfluids with finite-momentum pairing and Majorana fermions[J]. Nature Communications,2013,4(10):2710.

[9] GIRVIN S M. Particle-hole symmetry in the anomalous quantum Hall effect[J]. Physical Review B:Condensed Matter,1984,29(10):6012-6014.

[10] LIN R,WANG Z. A brief review on Majorana bound states in topological superconductors[J]. Science China Physics,Mechanics & Astronomy,2016,59(7):677401.

[11] KITAEV A. Anyons in an exactly solved model and beyond[J]. Annals of Physics,2005,321(1):2-111.

[12] SANTOS L,NISHIDA Y,CHAMON C,et al. Counting Majorana zero modes in superconductors[J]. Physical Review B,2011,83(10):1161-1171.

[13] SATO M,FUJIMOTO S. Topological phases of noncentro symmetric superconductors: edge states,majorana fermions,and the non-abelian statistics[J]. Physical Review B,2008,79:094504.

Equivalence between Bogoliubov-de Gennes Diagonalization and Schur Decomposition

ZHANG Yu， HUANG Zhenhua， LI Ming*

(Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials, School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

The Equivalence between the Bogoliubov-de Gennes (BdG) Diagonalization method and the Schur decomposition has been verified through numerical computations to the Kitaev model of a one-dimensional quantum wire. Comparisons between two methods have been conducted in terms of theoretical analysis and numerical computation. The quasipartical energies obtained from the BdG method are twice the eigenenergies but the Schur decomposition gives the quasipartical energies directly. The numerical results show that quasipartical energies from the two methods are consistent with each other perfectly. In addition, the expansion coefficients of the quasipartical operators from two methods have only a constant phase in difference. The final conclusion is drawn that BdG diagonalization method and Schur decomposition are equivalent.

BdG diagonalization; Schur decomposition; Majonara fermions; particle-hole symmetry; topological insulator

2017-01-08 《華南師范大學學報(自然科學版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

廣東省教育廳團隊項目(C1085031)

*通訊作者:李銘，教授，Email:wliming@scnu.cn.

O41

A

1000-5463(2017)06-0012-05

【中文責編：譚春林 英文審校：肖菁】