水中氣泡分布的共振估計(jì)法的誤差分析及修正

黎章龍，屈 科，張 薇，何樹(shù)斌

（廣東省近海海洋變化與災(zāi)害預(yù)警重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 湛江 524088）

在海洋環(huán)境科學(xué)中，氣泡作為海水—空氣之間氣體輸送和物質(zhì)交換的載體，也是海洋噪聲的來(lái)源之一。水中氣泡的分布對(duì)潮汐動(dòng)力、海洋表層的聲磁特性、大氣顆粒物的形成等等都有著重要影響。所以，測(cè)量海表氣泡分布對(duì)于海洋探測(cè)有著十分重要的意義。

檢測(cè)氣泡半徑與分布有聲學(xué)和光學(xué)兩種方法。光學(xué)方法主要通過(guò)高速照相機(jī)進(jìn)行捕捉檢測(cè)。高速照相機(jī)具有分辨率高、可以直接獲取氣泡分布等優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)背景環(huán)境光照有很高的要求，而且在實(shí)際狀況下，會(huì)產(chǎn)生影像重疊，使得檢測(cè)結(jié)果誤差增大。此外，雖然光學(xué)方法精度高，但是觀測(cè)面積小，滿足不了實(shí)際狀況下對(duì)大面積觀測(cè)的要求。曹瑞雪[1]對(duì)海洋表層及次表層氣泡分布系統(tǒng)研究后，設(shè)計(jì)了高分辨率的CCD成像系統(tǒng)，并對(duì)背景光源和視頻采集等進(jìn)行了改良，有效地提高了反演準(zhǔn)確度。但是，光學(xué)方法依舊無(wú)法滿足大面積觀測(cè)的需要。聲學(xué)方法雖然在精度方面不及光學(xué)方法，但其成本低，操作簡(jiǎn)單快捷，而且觀測(cè)面積大。所以，研究和改進(jìn)聲學(xué)氣泡反演方法，可以以較低成本，簡(jiǎn)單快捷測(cè)量出氣泡的分布，進(jìn)而研究海氣相互作用的內(nèi)在機(jī)理。

共振譜法是反演水中氣泡分布中被廣泛使用的方法。國(guó)外Kerry and Elan對(duì)共振估計(jì)法進(jìn)行了詳細(xì)的研究，結(jié)合孔隙率、聲衰減系數(shù)等與反演密切相關(guān)的參數(shù)，提出了共振譜反演算法，還對(duì)假設(shè)分布的選取等問(wèn)題進(jìn)行探究，分析了共振譜法的誤差來(lái)源，并針對(duì)其誤差提出了分步反演的修正方法[2]。

國(guó)內(nèi)對(duì)氣泡的聲學(xué)研究主要集中于船舶尾流和氣幕彈產(chǎn)生的氣幕等方面。錢(qián)祖文在20世紀(jì)80～90年代對(duì)海洋氣泡進(jìn)行了大量研究，他的研究表明，當(dāng)氣泡濃度很高時(shí)，氣泡間存在相互作用，可以采用聲學(xué)反演法分析氣泡的相關(guān)參數(shù)[3-5]。林巨[7]在分析共振反演法的適用范圍后，結(jié)合輻射阻尼系數(shù)與聲信號(hào)頻率之間的反比關(guān)系，建立了AW修正模型，對(duì)共振估計(jì)法進(jìn)行了改進(jìn)。謝萍[8]對(duì)共振譜法的誤差提出了聲速修正，較好地修正了反演結(jié)果，但是對(duì)于非共振效應(yīng)的研究還比較少。范雨 喆[9]提出了等效空間關(guān)聯(lián)函數(shù)概念，所建立聲學(xué)反演方法能準(zhǔn)確反演出氣泡群的分布及聚集趨勢(shì)。張憶[10]提出了一種新的聲學(xué)反演方法，即通過(guò)測(cè)量不同聲波頻率下氣泡群的散射強(qiáng)度，進(jìn)而反演出氣泡的粒徑和密度。

本文針對(duì)經(jīng)典共振譜法存在的問(wèn)題，仿真分析了非諧振頻率的誤差，提出了一種分頻段反演方法，有效地解決了經(jīng)典共振譜法存在的缺陷，提高了反演精度。

1 共振譜反演方法

共振估計(jì)法的假設(shè)是只考慮氣泡的共振效應(yīng)，忽略非共振頻段的聲衰減影響。

假設(shè)氣泡半徑為a，入射聲波波長(zhǎng)為λ，聲波波數(shù)為K,且Ka≤1。由于本文主要考慮非共振效應(yīng)對(duì)反演結(jié)果的影響，所以對(duì)于共振譜法在特別高頻范圍（如10 000 kHz以上）不滿足前提條件Ka≤1而影響到在高頻段的反演效果的情況，不給予考慮。結(jié)合散射截面與衰減截面，可以推導(dǎo)出聲衰減系數(shù)積分公式[2]：

式中：α1(f)為聲衰減系數(shù)，dB/m；n(a)為氣泡分布m3/m；δ為總阻尼系數(shù)；f為入射頻率；f0為氣泡共振頻率；c為聲速；a1和a3分別為半徑的最小值和最大值。

在共振條件下，衰減最大。通過(guò)推導(dǎo)氣泡半徑、入射頻率以及共振頻率與聲衰減系數(shù)的關(guān)系公式，從而計(jì)算出聲衰減系數(shù)。

入射聲波頻率與共振半徑關(guān)系為：

式中：γ為空氣比熱比，一般取1．4；P0為靜壓力；ρ為空氣密度。

基于共振假設(shè)，只有入射頻率對(duì)應(yīng)的共振半徑的氣泡才會(huì)使信號(hào)發(fā)生衰減，其他半徑氣泡對(duì)非共振頻率的聲衰減沒(méi)有影響。因此可以對(duì)聲衰減系數(shù)積分公式進(jìn)行簡(jiǎn)化，得：

進(jìn)一步對(duì)積分內(nèi)簡(jiǎn)化，可得氣泡分布的共振估計(jì)反演公式：

式中：δor為輻射阻尼，與聲速有關(guān):

2 仿真結(jié)果及誤差分析

為了檢驗(yàn)共振譜法的反演效果，假設(shè)實(shí)際氣泡分布遵循高斯分布：

式中：φ0為孔隙率。孔隙率取 0．000 05，數(shù)學(xué)期望μ以及方差σ取0．000 06，氣泡半徑a范圍在20～250 μm。為了提高運(yùn)算效率，入射頻率范圍為1～200 kHz，由此得反演如圖1所示。

圖1 仿真環(huán)境分布（紅線）以及反演分布（綠線）

圖1中反演誤差出現(xiàn)在小半徑區(qū)間，而與反演結(jié)果密切相關(guān)的是聲衰減系數(shù)，所以分析聲衰減系數(shù)的差異有利于找出反演誤差的來(lái)源。實(shí)際聲衰減系數(shù)由式（1）計(jì)算，共振近似聲衰減系數(shù)可由反演分布代入式（4）計(jì)算。實(shí)際聲衰減系數(shù)和共振近似聲衰減系數(shù)的比較結(jié)果如圖2所示。

圖2 仿真環(huán)境聲衰減系數(shù)（綠線）以及反演聲衰減系數(shù)（藍(lán)線）

圖2中在低頻段范圍，實(shí)際聲衰減系數(shù)與反演聲衰減系數(shù)吻合較好，而在高頻段范圍內(nèi)，反演聲衰減系數(shù)與實(shí)際聲衰減系數(shù)偏差隨頻率增大而增大。由式(2)可知，圖2中的高頻段范圍對(duì)應(yīng)圖1的小半徑區(qū)間，說(shuō)明小半徑范圍內(nèi)的反演誤差是由于高頻段衰減系數(shù)錯(cuò)誤估計(jì)導(dǎo)致的。而聲衰減系數(shù)的錯(cuò)誤估計(jì)來(lái)源于共振假設(shè)：只有入射頻率所對(duì)應(yīng)共振半徑的氣泡才會(huì)使信號(hào)發(fā)生衰減，其他氣泡對(duì)信號(hào)衰減無(wú)影響。共振譜法計(jì)算聲衰減誤差主要集中在高頻段，由此導(dǎo)致反演結(jié)果在小半徑區(qū)間分布有較大誤差。

3 分頻段反演算法及結(jié)果

由于共振假設(shè)只考慮共振聲衰減，導(dǎo)致高頻段聲衰減與實(shí)際衰減有較大誤差，這一誤差會(huì)導(dǎo)致在較小半徑范圍出現(xiàn)錯(cuò)誤的反演結(jié)果，無(wú)法應(yīng)用于實(shí)際觀測(cè)中。針對(duì)這一誤差，本文提出了分頻段反演算法：先對(duì)低頻段進(jìn)行分布反演，得到其聲衰減系數(shù)。利用低頻段反演的聲衰減系數(shù)消去全頻段反演的聲衰減系數(shù)的非共振效應(yīng)，將得到的差值代入式(4)，即得到修正分布。

在仿真過(guò)程中，假設(shè)a2至a3為大半徑區(qū)間分布的半徑范圍，代入聲衰減公式：

得到低頻段的聲衰減系數(shù)α2，利用低頻段求得的α2消去原衰減α1中的高頻段非共振效應(yīng)的影響，得到的是修正的共振衰減，即：

將差值代入式(4)，得到在a1到a2這段半徑范圍對(duì)應(yīng)的新分布，結(jié)合a2至a3這段分布，可以得到修正后的分布：

在圖1中可以看到對(duì)于氣泡半徑大于100 μm部分,反演分布與實(shí)際分布吻合，即可取100～250 μm作為吻合較好分布的半徑范圍，通過(guò)分頻段反演方法得到20～100 μm的新分布,修正后的分布如圖3所示。

圖3 仿真環(huán)境、反演以及修正分布

在圖3中，修正分布與實(shí)際分布在小半徑區(qū)間的符合程度更好，在20～250 μm范圍內(nèi)基本都吻合較好。說(shuō)明本文提出的分頻段反演算法比原反演算法效果更好，誤差更小。修正前和修正后對(duì)應(yīng)的聲衰減系數(shù)分布如圖4所示。

圖4 低頻段反演聲衰減系數(shù)以及仿真環(huán)境聲衰減系數(shù)

從圖4可知，利用修正后分布來(lái)反演聲衰減系數(shù)，雖然依舊存在反演誤差，但反演結(jié)果在高頻段有了極大的改善。和仿真結(jié)果吻合較好。

以上的仿真實(shí)驗(yàn)表明：分頻段反演修正法，能夠有效減小反演誤差，提高反演準(zhǔn)確度。

4 結(jié)論

經(jīng)典共振譜法在進(jìn)行水中氣泡分布反演時(shí)，在小半徑區(qū)間范圍內(nèi)反演結(jié)果存在較大誤差。誤差來(lái)源是聲衰減系數(shù)在高頻下共振近似誤差。共振譜法計(jì)算出的聲衰減誤差主要集中在高頻段，說(shuō)明共振估計(jì)法在高頻條件下不適用。

對(duì)于共振估計(jì)法在高頻下的誤差，本文提出了一種分頻段反演算法通過(guò)低頻段分布與實(shí)際聲衰減系數(shù)相減得到的差值，對(duì)共振衰減進(jìn)行修正，得到反演效果更好的修正分布。

本文為了說(shuō)明分頻段的效果，只是簡(jiǎn)單地分為了2段，對(duì)抑制非共振效應(yīng)有明顯的效果，但是完全消除非共振的影響需要更為精細(xì)的分段以及反演方案。所以非共振效應(yīng)的影響依舊較大，以及在高頻下存在著聲速頻散現(xiàn)象，是反演結(jié)果依舊存在誤差的原因。

在小半徑區(qū)間內(nèi)，本文提出的分頻段反演分布吻合情況比原反演分布更好。分頻段反演修正法可以有效減少反演誤差并提高反演準(zhǔn)確度。

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