帶有滑動邊界的可壓縮磁流體方程解的局部存在性

陸 劍， 雍 燕

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

考慮可壓縮磁流體方程

且

所以，磁流體方程（1）中的第3式可寫為

磁流體方程是流體力學(xué)中的經(jīng)典模型[1-2]。磁流體方程問題解的存在性是人們關(guān)心的一個重要問題。眾多學(xué)者研究了磁流體方程柯西問題解的適定性。Bian等[3]研究了全空間非等熵可壓縮磁流體方程在臨界Besov空間上的局部適定性；Kozono等[4]研究了3維可壓縮非等熵磁流體方程的柯西問題弱解的全局存在性；Liu等[5]研究了具有某些限制初值的3維可壓縮磁流體方程的全局弱解問題。

但是，對于初邊值問題，情況變得更加復(fù)雜。事實上，在流體力學(xué)中，主要考慮兩種邊界條件：一種是Dirichlet邊界條件，；另一種是由Navier提出的著名滑動邊界條件，

式中：為上的單位外法向向量；是的切向向量，是應(yīng)變張量；

現(xiàn)對問題（1）～（3），研究其解的局部存在性問題。一般討論的解有3種。第1種解是光滑小解[6-8]，在這種情況下，初值和解接近于中的某個常數(shù)，后來將這個解推廣到齊次Besov空間。首先將方程組線性化，然后對線性方程組進行迭代，得到一組逼近解，證明逼近解的漸近衰減速率，最后將逼近解取極限，得到原方程組解的存在性。這類光滑小解是連續(xù)可微的，并且大大降低了對初值的限制。缺點是不能體現(xiàn)出Navier-Stokes方程組自身的奇性。第2種解是由Lions提方程的解會出現(xiàn)問題。相反地，出的一般“大能量”弱解[9]，這類解的好處是對任意大的初始能量和非負(fù)密度都容易證明解的存在性。但是，這一類解的集合比較大，通常還包含了非物理解。由于這類解的光滑性不夠，因此，對解的性質(zhì)分析起來比較困難[10-11]。第3種解是Hoff解。對于Hoff解而言，優(yōu)點是它保持了解的非線性和物理上關(guān)心的一些有意義的特性。另外，這類解當(dāng)初值具有足夠的正則性時，解一般也具有較好的正則性，可以根據(jù)相關(guān)定理來證明解的唯一性和連續(xù)性[12-14]。比如，當(dāng)初值是分段光滑函數(shù)時，文獻(xiàn)[15]中的解在逐點意義下滿足Rankine-Hugoniot條件。另外，這些解有足夠的正則性，使得解的唯一性和連續(xù)依賴性理論可以得到證明[16]。這種解在整個空間中適定性理論幾乎是完全成立的，但是，對Dirichlet邊界條件：在如果考慮上面提到的Navier-Slip邊界條件，那么，對于具有小能量的初值和有界的初始密度來說，可以證明其解的局部存在性。

David[17]研究了等熵Navier-Stokes方程

如果滿足邊值條件：

式中：是在上的單位外法向量；是切平面到上的投影。

David證明了解的局部存在性。

本文考慮的是磁流體方程，因為，磁場和流體耦合在一起，研究起來要比Navier-Stokes方程困難，如何處理磁場是解決問題的困難之一。

5 磁流體方程組解的局部存在性

首先考慮磁流體方程組的線性化方程

了。因為，，類似于連續(xù)性的證明，可知成立，根據(jù)橢圓的正則性理論，可知。

綜上，定理1得證。

參考文獻(xiàn)：

[1]DAVIDSON P A. An introduction to magnetohydrodynamics[M]. Cambridge, England： Cambridge University,2016.

[2]SERMANGE M, TEMAM R. Some mathematical questions related to the mhd equations[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1983, 36(5)： 635-664.

[3]BIAN D F, GUO B L. Well-posedness in critical spaces for the full compressible mhd equations[J]. Acta Mathematica Scientia, 2013, 33(4)： 1153-1176.

[4]KOZONO H. Weak and classical solutions of the twodimensional magnetohydrodynamic equations[J]. Tohoku Mathematical Journal, 1989, 41(3)： 471-488.

[5]LIU S Q, YU H B, ZHANG J W. Global weak solutions of 3D compressible MHD with discontinuous initial data and vacuum[J]. Journal of Differential Equations, 2013, 254(1)：229-255.

[6]TAN Z, WANG Y J. Global well-posedness of an initialboundary value problem for viscous non-resistive MHD systems[J]. Mathematics, 2015, 258(7)： 2531-2571.

[7]OHNO M, SHIROTA T. On the initial-boundary value problem for the linearized MHD equations[J].Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku, 1998, 1045： 26-44.

[8]MATSUMURA A, NISHIDA T. Initial-boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids[J]. Communications in Mathematical Physics, 1983, 89(2)： 445-464.

[9]LIONS P L. Mathematical topics in fluid mechanics volume 1： incompressible models[M]. Oxford： Oxford University Press, 1996： 10-121.

[10]HOFF D. Existence of solutions to a model for sparse, onedimensional fluids[J]. Journal of Differential Equations,2011, 250(2)： 1083-1113.

[11]HOFF D, SERRE D. The failure of continuous dependence on initial data for the Navier-Stokes equations of compressible flow[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1991, 51(4)： 887-898.

[12]HOFF D. Compressible flow in a half-space with Navier boundary conditions[J]. Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 2005, 7(3)： 315-338.

[13]HOFF D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow with discontinuous initial data[J]. Journal of Differential Equations, 1997,120(1)： 215-254.

[14]FAN J S, SONG J, NAKAMURA G, et al. Logarithmically improved regularity criteria for the Navier-Stokes and MHD equations[J]. Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 2011, 13(4)： 557-571.

[15]HOFF D, SANTOS M M. Lagrangean structure and propagation of singularities in multidimensional compressible flow[J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2008, 188(3)： 509-543.

[16]HOFF D. Uniqueness of weak solutions of the Navier--Stokes equations of multidimensional, compressible flow[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2006,37(6)： 1742-1760.

[17]HOFF D. Local solutions of a compressible flow problem with Navier boundary conditions in general threedimensional domains[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2012, 44(2)： 633-650.

[18]TEMAN R. Navier-stokes equations： theory and numerical analysis[M]. New York： North-Holland Publishing Company, 1979.

[19]XIAO Y L, XIN Z P. On the vanishing viscosity limit for the 3D Navier-Stokes equations with a slip boundary condition[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2007, 60(7)： 1027-1055.

[20]EVANS L C. Partial differential equations[M]. 2nd ed.American： American Mathematical Society, 2010.