數(shù)列中一類存在性問(wèn)題的通解探秘

魯琛

關(guān)于數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的模式觀，本人認(rèn)為：多一點(diǎn)方法，少一點(diǎn)隨意；多一點(diǎn)套路，少一點(diǎn)隨性；多一點(diǎn)模式，少一點(diǎn)隨緣?！犊桃饩毩?xí)：如何從新手到大師》中言道：“你如果無(wú)差別重復(fù)一萬(wàn)小時(shí)，也不會(huì)變成高手，只有刻意訓(xùn)練，才能帶來(lái)精進(jìn)”。江蘇高考數(shù)列壓軸題，難度較大，表現(xiàn)形式多樣，注重對(duì)數(shù)學(xué)思維，方法和能力的考查。數(shù)列與不定方程的整數(shù)解問(wèn)題近來(lái)成為高考及?？济}的一個(gè)熱點(diǎn)，這類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的思維能力和探究能力有較高的要求，帶有很大的區(qū)分度，本文筆者結(jié)合幾次?？祭}分享筆者的實(shí)踐與思考。

試題呈現(xiàn)

例1：（2018屆鹽城市高三期中第19題）已知數(shù)列{an}滿足a1=-1，a2=1，且an=2+（-1）n2an（n∈N*）

（1） 求a5+a6的值；

（2） 設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求Sn；

（3） 設(shè)bn=a2n-1+a2n，是否存在正整數(shù)i，j，k（i

解：（1）（2）略

（3）由（1），得bn=a2n-1+a2n=（32）n-1-（12）n-1≥0（僅b1=0且{bn}遞增）.

∵k>j，且k，j∈Z，k≥j+1.

①當(dāng)k≥j+2，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，則：

bi=2bj-bk≤2bj-bj+2=2[（32）j-1-（12）j-1]- [（32）j+1-（12）j+1]

=-14×（32）j-1-74×（12）j-1<0

此與bn≥0矛盾，故此時(shí)不存在這樣的等差數(shù)列.

當(dāng)時(shí)k=j+1時(shí)，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，則：

bi=2bj-bk=2bj-bj+1=2[（32）j-1-（12）j-1]-[（32）j-（12）j]

=12×（32）j-1-32×（12）j-1

又∵i

若i≤j-2，則bi≤bj-2，得12×（32）j-1-32×（12）j-1≤（32）j-3-（12）j-3

得（32）j-3+5×（12）j-3≤0，矛盾，∴i=j-1.

從而有2bj= bi-1+bj+1，得2×[（32）j-1-（12）j-1]=[（32）j-2-（12）j-2]+[（32）j-（12）j]

化簡(jiǎn)，得3j-2=1，解得j=2.

從而，滿足條件i，j，k的只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3.

第三小問(wèn)學(xué)生普遍反應(yīng)難：方程中含有3個(gè)變量，具有很多不確定性，找不到切入點(diǎn)；化簡(jiǎn)過(guò)繁找不到突破口，無(wú)從下手，只能選擇放棄；甚至我們老師在評(píng)講也覺(jué)得難以下手，答案能看得懂卻想不到。類似的問(wèn)題在考試中也曾遇到，困擾學(xué)生，成為學(xué)生解題中的難點(diǎn)。

感悟反思（1）這類問(wèn)題都有無(wú)數(shù)個(gè)不存在即2bj≠bi+bk，一般來(lái)說(shuō)若數(shù)列{bi}單調(diào)遞增，則2bj≤bk就有無(wú)數(shù)組，若數(shù)列{bi}單調(diào)遞減，則2bj≤bi就有無(wú)數(shù)組；

（2）若利用兩個(gè)不相等的正整數(shù)之間相差1不能解決，則可以將兩個(gè)正整數(shù)的差合理擴(kuò)大，直至成立，一般來(lái)說(shuō)大于等于2就行，直至等式不成立，從而使得成立的可能性只有有限個(gè)，再一一找出；

（3）若兩個(gè)正整數(shù)相差1就可以解決問(wèn)題，列出等式，根據(jù)范圍合理求解就行。

筆者認(rèn)為這類問(wèn)題很多，基本上大同小異，此方法學(xué)生可以通過(guò)刻意訓(xùn)練，習(xí)得自然。

問(wèn)題再現(xiàn)

例2：已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意n∈N+有k2an+2≥an，m3an+3≥an，其中k，m為常數(shù).

（1）若k=3，m=2，且數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，求q的取值范圍

（2）若k=m=p（p∈N+，p≥2）

①求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

②設(shè)bn=nan，求所有p的值，使得數(shù)列{bn}中存在不同的三項(xiàng)成等差數(shù)列.

解②：由①可得an=a1（1p）n-1，bn=nan=na1（1p）n-1，

∴bn+1-bn=（n+1）a1（1p）n-na1（1p）n-1=a1（1p）n-1（1-p）n+1p.

當(dāng)p=2時(shí)，存在b2=a1，b3=34a1， b4=12a1成等差數(shù)列，

當(dāng)p≥3時(shí)，（1-p）n+1<0， ∴{bn}單調(diào)遞減.

不妨假設(shè)存在正整數(shù)r

則2bs=br+bt，∵r

∵{bn}單調(diào)遞減，2bs-br≤2br+1-br，

∵2br+1-br=a1（1p）r-1（2-p）r+2p，當(dāng)p≥4時(shí)，（2-p）r+2≤0，

∴2bs≤br，又∵bt>0，∴2bs≤br+bt，∴p≥4時(shí)不存在.

當(dāng)p=3時(shí)，只有r=1時(shí)，2bs>br，由2bs=br+bt得

2s3s-1=1+t3t-1，∴2s3s-1>1，∴s=2，t=3，

綜上：p=2或p=3.

在平時(shí)的教學(xué)中，較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想有更高的層次和地位。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，具有模式化和操作性的特性，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中采用這樣一種“模式化”的教學(xué)方式，不僅體現(xiàn)了《課標(biāo)》的要求，也是體現(xiàn)教師對(duì)試題的研讀。盡量挖掘問(wèn)題最本質(zhì)、基本的方法，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的恐懼，增強(qiáng)學(xué)生的興趣和自信。

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫小龍.看似崎嶇最尋常 成如艱辛卻容易——數(shù)列中一類不定方程通解探秘.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2015：40-43.

（作者單位：江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)）