借助直觀明算理 關聯(lián)比較通算法

王鵠 陶嫻嫻

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算在小學乘法計算教學中起著承上啟下的作用。理解和掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)“乘的順序和積的書寫位置”，是進一步學習多位數(shù)乘法筆算的基礎。這是學生第一次接觸分兩層記錄的乘法豎式，教師要引導學生借助動手操作和直觀表象明確分層記錄的原理，掌握算法模型。

一、直觀操作，感悟算理

本節(jié)課以學生親身參與過的“捐書”活動為問題情境，借助直觀的點子圖，引導學生在解決兩位數(shù)乘一位數(shù)問題的基礎上，運用轉化思想自主解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題。

首先，筆者以“14×12”為例，引導學生借助學習單自主探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法。學習單上有3條探究提示：①想一想，結合以前學過的知識思考怎樣計算14×12;②畫一畫，嘗試把自己的計算方法在點子圖上表現(xiàn)出來;③寫一寫，用算式記錄你計算的過程。學生自主探究后，呈現(xiàn)出以下幾種方法：一是“14×6=84，84×2=168”;二是“14×4=56，56×3=168”;三是“14×10=140，14×2=28，140+28=168”。接著，筆者組織學生討論：這3名學生的口算過程不一樣，請認真觀察，他們在算法上有沒有相同的地方呢？學生經(jīng)過充分交流，達成共識：3種方法都是先把12分成兩個數(shù)，再與14相乘，像這樣把12分成一位數(shù)或者整十數(shù)去乘14，是把新的計算問題轉化為我們已經(jīng)會解決的計算問題，且容易口算。筆者順勢指明：這3種方法都是先把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的新知，通過“分”的方法轉化成舊知（兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘整十數(shù)），再把結果“合”在一起，以解決問題，這就是轉化思想。

以上教學，借助點子圖的直觀模型引導學生通過分一分、畫一畫、寫一寫等活動，發(fā)現(xiàn)計算的道理，讓學生的思維軌跡在點子圖中可視化，使學生在體驗算法多樣化的同時，發(fā)現(xiàn)不同方法的共同點——先把點子圖分成幾份，再合起來算出總數(shù)?！跋确趾蠛稀钡乃悸非『檬浅朔ㄘQ式計算的基本思路，這樣教學，在滲透轉化思想的同時，能使學生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。

二、數(shù)形結合，循理入法

1.理解算理

少數(shù)學生在自主解決“14×12”的問題時，嘗試列豎式計算。筆者恰當?shù)乩眠@一有價值的生成性資源，鼓勵選用筆算方法的學生結合點子圖（圖略）講解計算思路：把12分成10和2，先用2乘14得到28，即算出點子圖下面兩行的點子數(shù)量;再用10乘14得到140，即算出點子圖上面10行的點子數(shù)量;最后用28加140得到168，即12個班一共捐了168本書。筆者進一步引導：他的筆算思路與剛才3種口算思路中的哪一種是一樣的？觀察他的豎式和第三種口算方法，你能找到兩種算法之間的聯(lián)系嗎？這樣教學，能使學生在多種口算方法中找到與豎式計算思路一致的方法，把口算步驟和筆算步驟一一對應，溝通豎式中每一層計算與口算過程、點子圖表示之間的聯(lián)系，理解豎式算法的原理。

2.循理入法

為強化學生對算理的理解和對算法的掌握，筆者追問：豎式中的28和140是怎樣一步一步計算出來的呢？豎式中的每一步，你能在點子圖中找到相應的部分嗎？學生在小組內討論并進行全班展示后，筆者結合動態(tài)的點子圖（如下圖），讓學生充分體驗豎式中每一步計算的合理性，溝通每次乘積與點子圖之間的關聯(lián)。<E：＼2020排版新＼教育教學＼2022＼4＼2022-4內文＼Image＼image13.png>

通過在點子圖上找到豎式四次相乘所對應的結果，學生進一步鞏固了算理，認識到列豎式計算的過程就是“先分后合”、計算一共有多少個計數(shù)單位的過程。

以上教學，筆者利用數(shù)形結合，有效溝通了圖形表征、算式表征和計算方法之間的聯(lián)系，使學生對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法達到理通法自明的學習效果。

3.以理馭法

為強化算法，突破難點，筆者啟發(fā)學生思考：筆算時先用12個位上的2分別和14個位、十位上的數(shù)相乘，乘積28寫在了第一層;再用12十位上的1和14相乘，也是從個位乘起，即“1”乘4得到“4”，這個“4”為什么要寫在十位上呢？對這一問題的分析與解答，讓學生明晰了“乘積表示幾個十就在十位上寫幾，乘積表示幾個百就在百位上寫幾”的道理。借助十進制和位值制的相關知識，學生深刻理解了豎式中第二層乘積個位上的數(shù)省略不寫的道理，突破了學習難點。

三、溝通聯(lián)系，“法”“理”融合

1.文化滲透，關聯(lián)不同方法

在學生初步掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法后，筆者利用微課介紹“鋪地錦”“畫線法”“視窗法”等有趣的乘法計算方法，引導學生對點子圖、“鋪地錦”、乘法豎式三者進行動態(tài)轉化，并讓學生利用“鋪地錦”的方法再次計算“14×12”，感悟豎式算理與“鋪地錦”算理是相同的。

數(shù)學文化的滲透架起了古代數(shù)學與現(xiàn)代乘法豎式之間的橋梁，為學生生動地呈現(xiàn)了乘法豎式的發(fā)展脈絡，使學生認識到多種方法的內在聯(lián)系，體會到數(shù)學的簡潔美。

2.縱向對比，促進知識結構化

課尾，筆者拓展延伸：對比“14×2、14×12、112×14”，若把多位數(shù)乘一位數(shù)的乘法豎式看作“一層計算”，那么多位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法豎式中有幾層計算？以此類推，多位數(shù)乘三位數(shù)的乘法豎式中會有幾層計算，每一層分別在算什么？這樣呈現(xiàn)乘法筆算的知識脈絡，引導學生通過縱向對比感悟乘法豎式的本質，能強化學生對算理、算法的理解，促進學生頭腦中知識的結構化。

（作者單位：王鵠，襄陽市襄州區(qū)教育教學研究中心;陶嫻嫻，襄陽市襄州區(qū)實驗小學）

責任編輯? 劉佳