基于非對稱Archimedean Copula的三變量風(fēng)浪重現(xiàn)水平分析

陳子燊，路劍飛，于吉濤

（1.中山大學(xué)水資源與環(huán)境系，廣東廣州510275；2.國土資源部廣州海洋地質(zhì)調(diào)查局，廣東廣州510075；3.河南理工大學(xué)測繪與國土信息工程學(xué)院，河南焦作454000）

基于非對稱Archimedean Copula的三變量風(fēng)浪重現(xiàn)水平分析

陳子燊1，路劍飛2，于吉濤3

（1.中山大學(xué)水資源與環(huán)境系，廣東廣州510275；2.國土資源部廣州海洋地質(zhì)調(diào)查局，廣東廣州510075；3.河南理工大學(xué)測繪與國土信息工程學(xué)院，河南焦作454000）

采用非對稱Archimedean Copula函數(shù)與Kendall分布函數(shù)分析極端波況下的波高、周期和風(fēng)速三變量聯(lián)合概率分布與風(fēng)險率及其設(shè)計分位數(shù)，為海岸海洋工程設(shè)計和風(fēng)險評估提供參考依據(jù)。以粵東汕尾海域的實測風(fēng)浪數(shù)據(jù)為例，使用非對稱Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)計算三變量風(fēng)浪聯(lián)合分布的“或”重現(xiàn)期、“且”重現(xiàn)期和二次重現(xiàn)期及其最可能的風(fēng)浪設(shè)計值。主要結(jié)論如下：對比不同設(shè)計風(fēng)浪重現(xiàn)期顯示，“或”重現(xiàn)期的風(fēng)險率偏高，“且”重現(xiàn)期的風(fēng)險率偏低，二次重現(xiàn)期更準(zhǔn)確地反映了特定設(shè)計頻率情況下三變量風(fēng)浪的風(fēng)險率；按目前有關(guān)規(guī)范設(shè)計要求的單變量風(fēng)浪要素設(shè)計值已經(jīng)達(dá)到安全標(biāo)準(zhǔn)，按三變量“或”重現(xiàn)期和三變量同頻率設(shè)計值推算的風(fēng)浪設(shè)計值偏高，以最大可能概率推算的三變量風(fēng)浪要素的二次重現(xiàn)期設(shè)計值可為相關(guān)工程安全與風(fēng)險管理提供新的選擇。

非對稱Archimedean Copula；風(fēng)浪風(fēng)險評估；Kendall分布函數(shù)；二次重現(xiàn)期

極端風(fēng)浪影響下的海岸和海洋工程存在著高損毀風(fēng)險。極端海浪屬于相互關(guān)聯(lián)的多維隨機(jī)變量，如波高、波周期和相應(yīng)風(fēng)速。風(fēng)速和波高相關(guān)性對設(shè)計荷載的確定有顯著影響（周道成等，2003），波高和周期的聯(lián)合分布可用來計算海洋結(jié)構(gòu)物對波浪的響應(yīng)（方鐘圣等，1989），實際海岸和海洋工程的損毀通常是其聯(lián)合作用的結(jié)果。鑒于海岸和海洋工程失事代價很高，探索多變量海浪的重現(xiàn)期，推算其聯(lián)合設(shè)計水平值，對于相關(guān)工程的設(shè)計與風(fēng)險管理具有重要的應(yīng)用參考價值。

描述多變量相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)的提出大大地促進(jìn)了多變量聯(lián)合分布及其風(fēng)險概率在海岸海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用。目前，大多采用可有效地描述兩變量聯(lián)合分布的阿基米德Copulas函數(shù)構(gòu)建風(fēng)速與波高或波高與周期聯(lián)合分布（董勝等，2011；秦振江等，2007；徐龍軍等，2013；陳子燊等，2011，2012）。但是，對于高維（3變量及以上）分布，由于各變量間的相依性是不對等的，一個參數(shù)的高維copulas不足以完整地描述變量間的相依性，這種情況下非對稱阿基米德Copulas（Asymmetric Archimedean Copulas）顯得更適用。由于求解相對復(fù)雜，目前非對稱阿基米德Copulas除在洪水頻率分析有少數(shù)研究外（Grimaldi et al，2006；Ganguli et al，2013；李天元等，2013），其它領(lǐng)域與方向研究很少。

至今，“或”和“且”重現(xiàn)期還是最常用的兩種多變量重現(xiàn)期定義方法，Salvadori等（2004）指出，在安全與危險事件的判定上兩者都存在著較大局限性。Salvadori等（2011）針對“或”重現(xiàn)期的不足提出了劃分安全與危險臨界域的新的多變量重現(xiàn)期——二次重現(xiàn)期（Secondary Return Periods，或稱Kendall重現(xiàn)期，Kendall Return Periods），其相關(guān)原理已在海岸工程設(shè)計研究中得到初步應(yīng)用（Corbellaetal，2012；Salvadorietal，2013）。

目前，國內(nèi)尚未見到基于Copula函數(shù)的三變量風(fēng)浪聯(lián)合分布的研究。本文擬應(yīng)用三維非對稱Archimedean極值copula，通過實例研究，推算極值波高及其相應(yīng)波周期和風(fēng)速聯(lián)合分布的重現(xiàn)期及其設(shè)計值，對比分析二次重現(xiàn)期（Secondary return periods）和“或”（“OR”）、“且”（“AND”）重現(xiàn)期及其危險率。此研究有助于深入認(rèn)識極端風(fēng)浪對海岸海洋工程的致災(zāi)風(fēng)險，有助于相關(guān)工程的風(fēng)險管理，并為工程設(shè)計提供參考。

1 理論與方法

1.1 Copula函數(shù)

根據(jù)Sklar定理，若F（·）是一個n維隨機(jī)變量（X1，X2，…，Xn）的累積分布函數(shù)，其邊緣分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)F1，…，F(xiàn)n，則有唯一的Copula函數(shù)C使得：

1.2 Archimedean copula極值分布函數(shù)

Archimedean copula是分析極端水文氣象事件最常用的copula函數(shù)族，其基本形式為：

式中，uj∈[0，1]（j＞1）為邊緣分布，φθ為Archimedean copula生成元，θ為參數(shù)。

Nelson（2006）和Salvadori等（2010）證明當(dāng)且僅當(dāng)邊緣分布和Copula函數(shù)均為極值分布時，構(gòu)造的聯(lián)合分布才是極值分布，而Gumbel－Hougaard Copula是Archimedean copula函數(shù)族中的唯一多變量極值Copula函數(shù)，適用于極值事件的頻率分析。三變量對稱Archimedean Copula結(jié)構(gòu)形式為：

三變量非對稱Archimedean Copula具有以下形式（Grimaldi et al，2006）：

式中，符號“o”表示函數(shù)組合。三種常用的非對稱Archimedean族Copula函數(shù)如下：

式中，θ1，θ2代表相關(guān)參數(shù)；u1，u2，u3表示邊緣累積分布。

1.3 三變量聯(lián)合分布重現(xiàn)期

假定E（u1，u2，u3）為三變量極端事件，對于預(yù)設(shè)閾值

“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期又統(tǒng)稱為首次重現(xiàn)期（Primary return periods）（Requena et al，2013）。然而，“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期存在對安全事件與危險事件識別的局限性，以二維分布定義以下兩類事件為危險事件：1）三變量中任一個超過預(yù)設(shè)閾值（記為事件E∨）；2）三變量同時超過預(yù)設(shè)閾值（記為事件E∧）。若將E∨作為危險事件，則危險率為P（U1＞若將E∧作為危險事件，則危險率為P

稱E∨的重現(xiàn)期為“或”重現(xiàn)期TO，三變量“或”重現(xiàn)期為：

稱E∧的重現(xiàn)期則為“且”重現(xiàn)期TA，三變量“且”重現(xiàn)期為：

（黃強(qiáng)等，2015）圖解說明如下：如圖1a所示，對于“或”重現(xiàn)期，A點處的重現(xiàn)期大于B點（p1＞p2），而A點識別的危險域卻有一部分在B點識別的危險域之外（深灰色部分），即當(dāng)事件E*發(fā)生時，若以B點的組合值作為災(zāi)害防御的標(biāo)準(zhǔn)則可以認(rèn)為E*是安全的，造成的效應(yīng)在防御的標(biāo)準(zhǔn)下；若以重現(xiàn)期更大的A點組合值作為災(zāi)害防御的標(biāo)準(zhǔn)則E*顯然是危險事件。高風(fēng)險的防御標(biāo)準(zhǔn)識別的安全事件卻被更低風(fēng)險的防御標(biāo)準(zhǔn)識別為危險事件，這顯然是矛盾的。對于“且”重現(xiàn)期（圖1b），A點處的重現(xiàn)期小于B點（p1＜p2），但A點識別的危險域并沒有完全覆蓋B點的危險域，即當(dāng)事件E*發(fā)生時，若以B點的組合值作為災(zāi)害防御的標(biāo)準(zhǔn)，E*造成的效應(yīng)超過了防御的標(biāo)準(zhǔn)，可認(rèn)為E*是危險事件；若以A點的組合值作為災(zāi)害防御的標(biāo)準(zhǔn)則E*造成的效應(yīng)在防御的標(biāo)準(zhǔn)下，E*是安全事件。低風(fēng)險的防御標(biāo)準(zhǔn)識別的危險事件在更高風(fēng)險的防御標(biāo)準(zhǔn)里卻是安全事件，這顯然也是矛盾的。因此，無論是“或”重現(xiàn)期還是“且”重現(xiàn)期，都存在對安全事件與危險事件錯誤的識別，將造成工程設(shè)計與風(fēng)險管理上的問題。

圖1 （a）“或”重現(xiàn)期和（b）“且”重現(xiàn)期對安全危險域識別的局限性

1.4 Kendall分布函數(shù)與二次重現(xiàn)期

鑒于“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期在安全事件與危險事件的判定上，兩者都存在著較大的局限性，Salvadori等（2010）利用Kendall分布函數(shù)劃分出亞臨界、臨界和超臨界三種情景。將三變量極端事件點構(gòu)成的曲面分成三個部分：（1）次臨界域；（2）臨界面；（3）超臨界域。以等曲面作為極端事件風(fēng)險的臨界面，任何落在次臨界域內(nèi)的極端事件可視為特定臨界條件下的安全事件，落在超臨界域內(nèi)的極端事件可視為特定臨界條件下的危險事件，落在臨界面上的極端事件則可視為警戒事件。在此基礎(chǔ)上提出了更精確的估計風(fēng)險的多變量重現(xiàn)期——二次重現(xiàn)期，以區(qū)別于“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期這兩類首次重現(xiàn)期。

對給定的累積概率，必定存在多個極端事件與之對應(yīng)，通過求累積概率小于或等于的概率可將多維的極端事件投射為一維分布。定義三維Archimedean copula的臨界概率條件下的重現(xiàn)期為：

稱TK為二次重現(xiàn)期，KC為Kendall分布函數(shù)。KC將多維的信息轉(zhuǎn)化為單維信息，因此利用KC可以方便地對多維的變量進(jìn)行單維分析。對于三維copula函數(shù)，式（10）中的KC沒有顯式，可由蒙特卡洛模擬構(gòu)建經(jīng)驗Kendall函數(shù)作為替代進(jìn)行計算：Kn（p）=m/n。式中，m為聯(lián)合累積概率小于或等于q的樣本個數(shù)，n為樣本總數(shù).

1.5 多變量設(shè)計值

在單變量頻率分析中，對于給定的重現(xiàn)期可通過概率分布的反函數(shù)推算對應(yīng)的設(shè)計分位值。對于多變量的情形，同一個重現(xiàn)期可以有無數(shù)的分位值組合與之對應(yīng)，并且這些分位值組合不能通過概率分布的反函數(shù)直接估算。具有相同重現(xiàn)期Tp（C（u1，u2，u3）=p）的波高H、周期T與風(fēng)速W分位值組合構(gòu)成了一個三維點集（等曲面）。在這些不同的分位值組合中，必然存在一個組合（hml，tml，wml）使聯(lián)合概率密度f（h，t，w）達(dá)到最大值，即該組合出現(xiàn)的可能性最大。因此在設(shè)定的重現(xiàn)期下，出現(xiàn)可能性最大的H－T－W組合可作為海岸工程設(shè)計中的優(yōu)選參考標(biāo)準(zhǔn)。式中，c為三維Archimedean Copula的概率密度函數(shù)，f（h）、f（t）和f（w）分別為波高、周期與風(fēng)速的概率密度函數(shù)。

2 示例研究

2.1 研究海域與基本數(shù)據(jù)

研究數(shù)據(jù)采用粵東汕尾海域遮浪海洋站1972－1992年實測的歷年熱帶氣旋影響期間S向浪的最大波高H與相應(yīng)的波周期T和風(fēng)速W。期間最大波高H為7.3 m，相應(yīng)波周期和風(fēng)速分別為8 s和18.5 m/s。最大風(fēng)速45 m/s，相應(yīng)的波高和周期分別為6.2 m和6.8 s。

2.2 邊緣分布與聯(lián)合分布

3個樣本的邊緣分布均采用廣義極值（GEV）分布函數(shù)：

式中，ξ，β，μ分別為形態(tài)參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)。參數(shù)估計使用線性矩法。經(jīng)驗頻率分布使用Gringorten公式計算。擬合結(jié)果采用均方根誤差（RMSE）、經(jīng)驗頻率和理論頻率擬合誤差平方和（Q）和概率點據(jù)相關(guān)系數(shù)（PPCC）檢驗其擬合優(yōu)度，結(jié)果見表1、圖2。顯然，年最大H和相應(yīng)平均周期T與極值風(fēng)速W均服從GEV分布。

表1 樣本的GEV分布參數(shù)與優(yōu)度檢驗值

計算波高與相應(yīng)周期與風(fēng)速兩兩間的Kendall相關(guān)系數(shù)τ，波高與周期的相關(guān)系數(shù)為0.659；波高與風(fēng)速的相關(guān)系數(shù)為0.304；風(fēng)速與周期的相關(guān)系數(shù)為0.126?？梢娙兞恐g存在著明顯的非對稱相關(guān)性。

構(gòu)建非對稱Archimedean Gumbel－Hougaard copula、Frank copula和Clayton copula。首先計算波高與周期的Kendall相關(guān)系數(shù)τ，繼而求波高分布函數(shù)u1與周期分布函數(shù)u2的copula參數(shù)θ2和內(nèi)copula函數(shù)C1，再利用C1和風(fēng)速分布函數(shù)u3求得參數(shù)θ1和外copula函數(shù)C2。作為對比，采用離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）的適線法估計對稱Copula聯(lián)合分布的參數(shù)θ（張雨等，2011）。構(gòu)造的三變量風(fēng)浪非對稱與對稱Copula聯(lián)合分布的擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果見表2、圖3?？梢姡?種copula擬合結(jié)果都很好，同類copula中非對稱Copula擬合效果略優(yōu)于對稱Copula?？紤]到三維非對稱形式的極值copula更適用于極端風(fēng)浪分析，因此選用非對稱Archimedean Gumbel-Hougaard建立H-T-W之間的三維聯(lián)合分布：

圖2 三變量邊緣分布圖

表2 Copula參數(shù)估計及擬合優(yōu)度評價

圖33 種非對稱Archimedean copula的概率分布擬合

2.3 聯(lián)合分布重現(xiàn)期和危險率

設(shè)定重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)下H-T-W組合的3種重現(xiàn)期及其超值累積概率（P）計算結(jié)果見表3。由式（8）、（9）和（10）以及C的非遞減性可知，單變量重現(xiàn)期（T）、”或”重現(xiàn)期（TO）、”且”重現(xiàn)期（TA）和二次重現(xiàn)期（TK）四者的關(guān)系為：TO≤T≤TK≤TA，即，對于設(shè)定的重現(xiàn)期，二次重現(xiàn)期介于“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期之間，TK大于設(shè)定的重現(xiàn)期。重現(xiàn)期大則危險率小，反之則危險率大。由表3可見，對于設(shè)定的重現(xiàn)期，“或”重現(xiàn)期最小且小于設(shè)定的重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)，以任一風(fēng)浪要素超標(biāo)可能致災(zāi)的“或”重現(xiàn)期為標(biāo)準(zhǔn)的危險率最大，“且”重現(xiàn)期最大且大于設(shè)定的重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)，按三變量風(fēng)浪要素同時超標(biāo)的“且”重現(xiàn)期設(shè)計海岸海洋工程時出現(xiàn)的危險率最小。然而由于“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期都存在確定危險域不準(zhǔn)確的問題，如按此兩種首次重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計海岸海洋工程將存在對風(fēng)險高估或低估的問題。從安全角度考慮，對三變量風(fēng)浪任一要素超標(biāo)致災(zāi)的重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)宜采用大于“或”重現(xiàn)期和小于“且”重現(xiàn)期的的二次重現(xiàn)期更合理。以此極端風(fēng)浪序列為例，預(yù)定100年的重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)，三變量風(fēng)浪任一要素超標(biāo)致災(zāi)宜采用345年和危險率0.002 9的二次重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)，而非49年和危險率0.020 4的“或”重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)或風(fēng)浪三要素同時超標(biāo)可能致災(zāi)的395年的“且”重現(xiàn)期和危險率0.002 5的標(biāo)準(zhǔn)。

表3 不同風(fēng)浪變量不對稱H-T-W組合聯(lián)合分布重現(xiàn)期

2.4 風(fēng)浪設(shè)計值

按設(shè)定重現(xiàn)期推算波高、周期和風(fēng)速單變量設(shè)計值，以出現(xiàn)概率最大的原理推算三變量“或”重現(xiàn)期和二次重現(xiàn)期設(shè)計值分別列于表4。結(jié)果顯示，對于設(shè)定的5～100年重現(xiàn)期，按二次重現(xiàn)期推算的設(shè)計波高和設(shè)計周期分別小于“或”重現(xiàn)期設(shè)計值和邊緣分布設(shè)計值。按二次重現(xiàn)期推算的設(shè)計波高、設(shè)計周期和設(shè)計風(fēng)速分別小于對應(yīng)的邊緣分布設(shè)計值，設(shè)計波高、設(shè)計周期和設(shè)計風(fēng)速的相對誤差為－14.9%～－19.1%、－3.4%～－5.3%和－10%～－14.5%。按“或”重現(xiàn)期推算的設(shè)計波高、設(shè)計周期和設(shè)計風(fēng)速分別大于對應(yīng)的邊緣分布設(shè)計值，二者的相對誤差可達(dá)8.5%～13.1%、3.4%～8.6%和13.8%～21.2%。這一結(jié)果也表明，按目前有關(guān)規(guī)范設(shè)計要求的單變量風(fēng)浪設(shè)計值已可達(dá)到安全標(biāo)準(zhǔn)，按三變量“或”重現(xiàn)期推算的風(fēng)浪設(shè)計值則過于保守將導(dǎo)致高估。盡管按三變量同時超閾值的“且”重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)推算的風(fēng)浪設(shè)計值最低，但由于存在低估風(fēng)險問題，如何更合理地估計同時超閾值條件下的風(fēng)險與推算設(shè)計值有待作進(jìn)一步分析。

表4 不同重現(xiàn)期H-T-W設(shè)計值

為了比較，采用非對稱Gumbel－Hougaard copula推算波高－周期－風(fēng)速三變量同頻率分布聯(lián)合設(shè)計值：

3 結(jié)論

（1）非對稱Archimedean Copula能更好地反映汕尾海域三變量風(fēng)浪之間的不對稱相關(guān)結(jié)構(gòu)，其中作為非對稱極值copula更適用于分析此海域極端風(fēng)浪重現(xiàn)水平。

（2）對比不同設(shè)計風(fēng)浪重現(xiàn)期顯示，“或”重現(xiàn)期的風(fēng)險概率偏高，“且”聯(lián)合重現(xiàn)期的風(fēng)險概率偏低，根據(jù)臨界條件C（u1，u2，u3）=P和Kendall函數(shù)定義的二次重現(xiàn)期更準(zhǔn)確地代表了特定設(shè)計頻率情況下風(fēng)浪的風(fēng)險率。

（3）按目前有關(guān)規(guī)范設(shè)計要求的單變量風(fēng)浪設(shè)計值已可達(dá)到設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)出現(xiàn)概率最大的原則推算的三變量“或”重現(xiàn)期和三變量同頻率設(shè)計值推算的風(fēng)浪設(shè)計值偏高，采用二次重現(xiàn)期設(shè)計值可為海岸海洋工程安全與風(fēng)險設(shè)計提供新的選擇。

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Analysis on return levels of trivariate stormy waves based on asymmetric Archimedean copula function

CHEN Zi-shen1,LU Jian-fei2,YU Ji-tao3

（1.Department of Water Resource and Environment,Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275,China;2.Guangzhou Marine Geological Survey,Guangzhou 510075,China;3.School of Surveying and Land Information Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454000,China）

The joint probability distribution for triple variables（i.e.,wave height,wave period and wind speed under extreme wave condition）was analyzed by using 3-dimensional asymmetric Archimedean copula functions.And the trivariate stormy wave risk probabilities were further explored based on the Kendall distribution function in order to provide the basis for the coastal marine engineering design and risk assessment.A case is studied by using annual maximum wave heights and the relevant wave periods and wind speeds measured in Shanwei sea waters of eastern Guangdong,the primary return periods and secondary return periods of trivariate stormy wave joint distribution and the most likely design values were computed by using the asymmetric Gumbel-Hougaard copula.The main conclusions of this study can be summarized as follows：Comparing the risk probabilities of trivariate stormy waves among the different design return periods,the'OR'joint return period showed higher risk probabilities,and the risk probabilities of'AND'joint return period were lower,while the secondary return periods were more accurately depicted the risk probabilities under these specific design frequencies.According to the relevant specifications of the current design requirements,the univariate wave design values have reached safety standards.The estimated storm wave design values with the trivariate'OR'return period and triple variables with the same frequencies were obviously higher than expected.The most-likely design realization of the secondary return period can serve as the new selec-tion for coastal marine engineering and risk management.

asymmetric Archimedean copulas;risk assessment of stormy waves;Kendall distribution function;secondary return periods

P429

A

1001－6932（2017）06－0631－07

10.11840/j.issn.1001-6392.2017.06.004

2017-03-27；

2017-06-13

國家自然科學(xué)基金（41371498）。

陳子燊(1952-)，教授，從事工程水文與極端水文氣象事件與風(fēng)險研究。電子郵箱:eesczs@mail.sysu.edu.cn。

袁澤軼）