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    規(guī)律探索教學(xué)與思維可視化

    2018-01-09 17:12:32戚洪祥
    名師在線 2017年9期
    關(guān)鍵詞:釘子多邊形規(guī)律

    戚洪祥

    (江蘇省鹽城市第一小學(xué),江蘇鹽城 224001)

    規(guī)律探索教學(xué)與思維可視化

    戚洪祥

    (江蘇省鹽城市第一小學(xué),江蘇鹽城 224001)

    在數(shù)學(xué)教學(xué)中,如何將學(xué)生的操作經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為思維成果,如何讓學(xué)生的思維在可視化媒介的幫助下,一步一步走向深入,讓數(shù)學(xué)中的規(guī)律成為深度學(xué)習(xí)的載體,讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生。通過《釘子板上的多邊形》兩次不同的教學(xué)重構(gòu),以學(xué)生為本、以規(guī)律可用、思維可視為主要方向,嘗試建構(gòu)規(guī)律,探索教學(xué)的一般步驟。

    規(guī)律;思維;可視化

    引 言

    在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中,任何一個定理、公式的發(fā)現(xiàn)或發(fā)明都會經(jīng)歷反復(fù)的驗證過程。其中有許多都是通過不完全歸納法進行大量的事實驗證,再通過嚴格的數(shù)學(xué)證明確認其正確性。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,許多數(shù)學(xué)結(jié)論雖不需要嚴格的證明,但也需要讓學(xué)生經(jīng)歷“初步構(gòu)建—發(fā)現(xiàn)不足—繼承完善—再次構(gòu)建—驗證結(jié)論”的完整過程,這樣的過程對學(xué)生來說是終身受益的。

    2013年新修訂的蘇教版教材五年級下冊《釘子板上的多邊形》,屬于教材設(shè)置的一個專題活動。教材的編寫意圖是讓學(xué)生在一系列探索過程中,通過觀察、比較、猜想、驗證等方法,得出格點多邊形的面積與格點之間的關(guān)系。其數(shù)學(xué)本質(zhì)是:奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式:S=a+b÷2-1,其中a表示多邊形內(nèi)部的點數(shù),b表示多邊形邊界上的點數(shù),s表示多邊形的面積。這一發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)界又稱為皮克定理。

    如何利用這一載體,讓學(xué)生在有限的課堂中,經(jīng)歷一次規(guī)律的從無到有,從有到優(yōu)的過程;經(jīng)歷一次思維的由淺入深,由模糊到清晰,再到可視的過程,經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的完整過程呢?對此,筆者做了兩次教學(xué)嘗試,有了不一樣的發(fā)現(xiàn)。

    一、第一次教學(xué)嘗試

    1.探究活動:初步嘗試,初建規(guī)律

    師出示教材中第一組圖形,讓學(xué)生獨立嘗試,填表。

    圖形編號 多邊形的面積 多邊形邊上的釘子數(shù)①2 4②3 6③3.5 7④4 8

    學(xué)生經(jīng)過小組討論,交流匯報很快得出:多邊形面積=多邊形邊上釘子數(shù)的一半。如果用n表示多邊形邊上的釘子數(shù),用S表示多邊形的面積,那么S=n÷2。(師板書)

    師再次引導(dǎo)學(xué)生觀察這組圖形有什么特征?生觀察后得出:圖形內(nèi)都只有1枚釘子。

    2.探究活動:嘗試變化,完善規(guī)律

    小組合作,先在釘子板上任意圍出3個內(nèi)部有2枚釘子的不同多邊形,再完成下表(教材表2)。

    多邊形的面積①2②2③2圖形編號 多邊形內(nèi)的釘子數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)

    學(xué)生經(jīng)過小組合作、觀察、比較、交流之后,進行全班匯報。

    師:同學(xué)們,有哪幾個小組有了自己的發(fā)現(xiàn),請小組長帶著你們的發(fā)現(xiàn),到前面來與大家分享一下。(全班6個小組,有3個小組有了發(fā)現(xiàn))

    第二小組:我們發(fā)現(xiàn),多邊形的面積不等于邊上釘子數(shù)的一半了,而是一半多1。

    第三小組:我們小組的發(fā)現(xiàn)和第二小組是一樣的。

    第六小組:我們也一樣。

    師:老師想采訪一下,沒有發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的另外三個小組,你們有什么想說的嗎?

    第一小組:我們組也發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律。

    師:你們發(fā)現(xiàn)了,但是沒有來得及上來。

    第四小組:我們組畫的三個圖形中,有一個圖形畫錯了,里面圍成了3個釘子了。

    師:那另外兩個內(nèi)部沒有兩個釘子的圖形,符合這樣的規(guī)律嗎?

    第四小組:符合。

    第五小組:我們組圍了一個這樣的圖形,這個面積我們按照不滿整格當作半格數(shù)的方法,數(shù)出的面積是3,就感覺不對了。

    師:我們一起來看看這個小組圍的這個圖形的面積到底是多少呢?

    ……

    3.探究活動:動手操作,驗證規(guī)律

    學(xué)生自由圍圖形,驗證規(guī)律的正確性。……

    4.反思

    二、第二次教學(xué)嘗試

    1.探究活動一

    活動要求:在釘子板上任意圍一個圖形,利用自己的方法得出圖形的面積。

    學(xué)生展示自己圍的圖形,并匯報計算面積的方法:數(shù)方格,公式計算。

    師任意展示幾個同學(xué)所圍的圖形,要求學(xué)生觀察:這些圖形有什么特點?這些圖形面積的大小與什么有關(guān)?

    師生討論交流得到:所有的圖形頂點都在釘子上,我們把這樣的圖形稱為釘子板上的多邊形(板書課題:釘子板上的多邊形);多邊形的面積與內(nèi)部釘子數(shù)和邊上的釘子數(shù)有關(guān)(板書:面積,內(nèi)部釘子數(shù),邊上釘子數(shù))。

    師:在數(shù)學(xué)研究中,要想研究三個數(shù)量之間的關(guān)系,一般我們先確定其中的一個數(shù)量的大小,再去研究其余兩個數(shù)量的關(guān)系。比如,同學(xué)們圍的這些圖形中,有許多的圖形內(nèi)部釘子數(shù)都為1,那么我們就先從內(nèi)部只有一個釘子的圖形開始研究。

    2.探究活動二

    活動要求:第一,小組成員獨自在釘子板上任意圍一個多邊形,使得這個多邊形的內(nèi)部只有一個釘子。第二,數(shù)一數(shù),這個多邊形邊上有多少個釘子?第三,計算這個圖形的面積?第四,把結(jié)果匯總到組長的統(tǒng)計表中(見表1)。第五,小組合作,觀察表內(nèi)的數(shù)據(jù),你發(fā)現(xiàn)了什么?把你們的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。

    表1

    每個小組合作探究,并相互交流。

    不同的成因?qū)ξ镔|(zhì)組成和結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不同的影響,成分和結(jié)構(gòu)又影響土的物理力學(xué)性質(zhì)。紅粘土作為特殊土,并且在貴州省分布范圍廣泛,是貴州主要城市所在地分布的主要土類,與當?shù)厝藗兩蠲芮邢嚓P(guān),在對紅粘土有關(guān)問題進行研究時要注意它復(fù)雜而有別于其他土類的特殊性的成因,從其所具有的特殊性的本質(zhì)了解紅粘土有助于工程實踐應(yīng)用。

    匯報各小組的探究情況,并得出:當內(nèi)部釘子數(shù)為1的時候,面積=邊上的釘子數(shù)÷2,或者說邊上的釘子數(shù)=面積×2。

    師:如果我們用字母S表示面積,n表示邊上的釘子數(shù),a表示內(nèi)部的釘子數(shù),它們的關(guān)系可以表示為:當a=1時,S=n÷2。

    3.探究活動三

    師:剛才我們是研究了內(nèi)部釘子數(shù)不變,邊上釘子數(shù)各不相同時,面積與邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系。如果在剛才的研究基礎(chǔ)上,讓邊上的釘子數(shù)不變,內(nèi)部的釘子數(shù)在原來1個的基礎(chǔ)上發(fā)生變化,又會怎么樣呢?

    師:請同學(xué)們觀察剛才圍的圖形,思考這樣一個問題:如何在原有的圖形基礎(chǔ)上,保證邊上的釘子數(shù)不發(fā)生變化的基礎(chǔ)上,快速地讓內(nèi)部釘子數(shù)由1變成2?

    生獨立操作,并相互交流,得出:將某一邊向外拉動,即可。

    請同學(xué)們帶著這樣的發(fā)現(xiàn),繼續(xù)下面的探究活動。

    活動要求:

    第一,小組成員獨自將原來圍的圖形,進行變化,確保邊上釘子數(shù)不發(fā)生變化,所得到的圖形內(nèi)部有2個釘子。

    第二,觀察得到的圖形,想一想現(xiàn)在的面積又是多少?比原來多了多少?

    第三,把你的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。

    生匯報:面積比原來多1。

    師小結(jié):當內(nèi)部釘子數(shù)a=2時,面積S在原來的基礎(chǔ)上多了1,也就是=n÷2+1。

    4.探究活動四

    師:那么當內(nèi)部釘子數(shù)為3、4或者更多的時候,面積S在最初的基礎(chǔ)上又會發(fā)生怎樣的變化呢?請同學(xué)們繼續(xù)研究。

    活動要求:

    第一,小組成員在確保邊上的釘子數(shù)不發(fā)生變化的基礎(chǔ)上,將圖形內(nèi)部孤釘子數(shù)變?yōu)?、4或者更多,將得到的面積與內(nèi)部為一個釘子數(shù)時的面積進行比較。

    第二,把你的發(fā)現(xiàn)有序地匯總到組長的表格中。

    第三,觀察表格中的數(shù)據(jù),你發(fā)現(xiàn)了什么?

    內(nèi)部釘子數(shù) 面積與“n÷2”相比增加了面積S

    生匯報,投影展示表格中的數(shù)據(jù)。

    內(nèi)部釘子數(shù)a 面積與“n÷2”相比增加了面積S 3 2 S=n÷2+2 4 3 S=n÷2+3 5 S=n÷2+4 6 5 S=n÷2+5 4

    師生交流得出:S=S=n÷2+a-1。

    5.探究活動五

    師:對于這樣的發(fā)現(xiàn),是不是對所有的釘子板上的多邊形都有用呢?請同學(xué)們自己獨立操作,在釘子板上任意圍一個多邊形,并把相關(guān)數(shù)據(jù)填寫在小組的表格中,驗證這個規(guī)律是否正確。

    成員編號 邊上釘子數(shù)n內(nèi)部釘子數(shù)a面積S 是否符合規(guī)律①②

    生匯報驗證結(jié)果。并交流:a=0,即內(nèi)部沒有釘子數(shù)的情況。

    續(xù)表

    6.全課總結(jié)

    師:今天這節(jié)課,老師和同學(xué)們一起研究了“釘子板上的多邊形面積”(補充板書:面積)。我們通過從特殊到一般的方法,發(fā)現(xiàn)了規(guī)律,并驗證了規(guī)律的正確性。其實這正是許多數(shù)學(xué)家們在研究數(shù)學(xué)時所用的方法。今天的這個發(fā)現(xiàn),就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理(Pick),它是由奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的,《格點與面積》這本書就是專門介紹這一知識的,有興趣的同學(xué)可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍中了解皮克定理。

    三、教后反思

    1.高頻操作,提高思維訓(xùn)練的可視性

    “皮克定理”的專題教學(xué)與許多專題教學(xué)有類似之處:旨在探索一些數(shù)學(xué)規(guī)律,其數(shù)學(xué)思維性較強,操作機會與數(shù)學(xué)活動課相比較少。如何讓學(xué)生擁有更多的操作機會,讓學(xué)生在動手又動腦的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,這是備課時遇到的較大難題。在第一次教學(xué)嘗試之后,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的動手不夠,便立即將教學(xué)的第一著眼點放到高頻、有序的操作活動,嘗試建構(gòu)了“五次動手操作”,讓高頻率的動手操作貫穿整個教學(xué)過程,讓學(xué)生的智慧在其指尖跳躍,讓學(xué)生的思維可視度提高。

    2.問題驅(qū)動,體現(xiàn)探究過程的思維性

    規(guī)律性知識的本身是靜態(tài)的,是死的,只有其探究過程的思維性才能賦予它靈魂,如果在教學(xué)中只將結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生,側(cè)重于對結(jié)論的應(yīng)用,就將導(dǎo)致學(xué)生的思維僅停留在簡單的模仿階段。教學(xué)的第二著眼點在于:知識發(fā)現(xiàn)、獲取的過程,通過每個“活動要求”中問題的精心設(shè)計,通過問題驅(qū)動整個探究過程,讓探究過程時刻閃現(xiàn)思維的火花。

    3.步步為營,彰顯數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的層次性

    著名數(shù)學(xué)家波利亞說過:“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn),因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深,也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系。”如何讓“皮克定理”的發(fā)現(xiàn)過程彰顯層次性,讓學(xué)生在一步一步探索活動中,逐漸接近數(shù)學(xué)本質(zhì),這是本課的另一著眼點。在教學(xué)中,通過層次鮮明的五次探究活動,從表及里,從特殊到一般,從固定到任意,讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的層次性、邏輯性,感受數(shù)學(xué)的嚴謹。

    [1]劉濯源.思維可視化:減負增效的新支點[J].中小學(xué)管理,2014(6).

    [2]葉新東.未來課堂環(huán)境下的可視化教學(xué)研究[D].上海:華東師范大學(xué),2014.

    [3]朱東妮.提升小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的探析[J].基礎(chǔ)教育研究,2016(2).

    [4]彭錢群.提升小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的策略[J].教育觀察,2014(12).

    戚洪祥,1980年生,男,江蘇鹽城人,現(xiàn)任江蘇省鹽城市第一小學(xué)教育集團督導(dǎo)室主任,江蘇省首批教學(xué)名師,江蘇省333工程高層次人才培養(yǎng)對象,中學(xué)高級教師。

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