規(guī)律探索教學(xué)與思維可視化

戚洪祥

（江蘇省鹽城市第一小學(xué)，江蘇鹽城 224001）

規(guī)律探索教學(xué)與思維可視化

戚洪祥

（江蘇省鹽城市第一小學(xué)，江蘇鹽城 224001）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何將學(xué)生的操作經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為思維成果，如何讓學(xué)生的思維在可視化媒介的幫助下，一步一步走向深入，讓數(shù)學(xué)中的規(guī)律成為深度學(xué)習(xí)的載體，讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生。通過《釘子板上的多邊形》兩次不同的教學(xué)重構(gòu)，以學(xué)生為本、以規(guī)律可用、思維可視為主要方向，嘗試建構(gòu)規(guī)律，探索教學(xué)的一般步驟。

規(guī)律；思維；可視化

引 言

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，任何一個定理、公式的發(fā)現(xiàn)或發(fā)明都會經(jīng)歷反復(fù)的驗證過程。其中有許多都是通過不完全歸納法進行大量的事實驗證，再通過嚴格的數(shù)學(xué)證明確認其正確性。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)結(jié)論雖不需要嚴格的證明，但也需要讓學(xué)生經(jīng)歷“初步構(gòu)建—發(fā)現(xiàn)不足—繼承完善—再次構(gòu)建—驗證結(jié)論”的完整過程，這樣的過程對學(xué)生來說是終身受益的。

2013年新修訂的蘇教版教材五年級下冊《釘子板上的多邊形》，屬于教材設(shè)置的一個專題活動。教材的編寫意圖是讓學(xué)生在一系列探索過程中，通過觀察、比較、猜想、驗證等方法，得出格點多邊形的面積與格點之間的關(guān)系。其數(shù)學(xué)本質(zhì)是：奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點數(shù)，b表示多邊形邊界上的點數(shù)，s表示多邊形的面積。這一發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)界又稱為皮克定理。

如何利用這一載體，讓學(xué)生在有限的課堂中，經(jīng)歷一次規(guī)律的從無到有，從有到優(yōu)的過程；經(jīng)歷一次思維的由淺入深，由模糊到清晰，再到可視的過程，經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的完整過程呢？對此，筆者做了兩次教學(xué)嘗試，有了不一樣的發(fā)現(xiàn)。

一、第一次教學(xué)嘗試

1.探究活動：初步嘗試，初建規(guī)律

師出示教材中第一組圖形，讓學(xué)生獨立嘗試，填表。

圖形編號 多邊形的面積 多邊形邊上的釘子數(shù)①2 4②3 6③3.5 7④4 8

學(xué)生經(jīng)過小組討論，交流匯報很快得出：多邊形面積=多邊形邊上釘子數(shù)的一半。如果用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積，那么S=n÷2。（師板書）

師再次引導(dǎo)學(xué)生觀察這組圖形有什么特征？生觀察后得出：圖形內(nèi)都只有1枚釘子。

2.探究活動：嘗試變化，完善規(guī)律

小組合作，先在釘子板上任意圍出3個內(nèi)部有2枚釘子的不同多邊形，再完成下表（教材表2）。

多邊形的面積①2②2③2圖形編號 多邊形內(nèi)的釘子數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)

學(xué)生經(jīng)過小組合作、觀察、比較、交流之后，進行全班匯報。

師：同學(xué)們，有哪幾個小組有了自己的發(fā)現(xiàn)，請小組長帶著你們的發(fā)現(xiàn)，到前面來與大家分享一下。（全班6個小組，有3個小組有了發(fā)現(xiàn)）

第二小組：我們發(fā)現(xiàn)，多邊形的面積不等于邊上釘子數(shù)的一半了，而是一半多1。

第三小組：我們小組的發(fā)現(xiàn)和第二小組是一樣的。

第六小組：我們也一樣。

師：老師想采訪一下，沒有發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的另外三個小組，你們有什么想說的嗎？

第一小組：我們組也發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律。

師：你們發(fā)現(xiàn)了，但是沒有來得及上來。

第四小組：我們組畫的三個圖形中，有一個圖形畫錯了，里面圍成了3個釘子了。

師：那另外兩個內(nèi)部沒有兩個釘子的圖形，符合這樣的規(guī)律嗎？

第四小組：符合。

第五小組：我們組圍了一個這樣的圖形，這個面積我們按照不滿整格當作半格數(shù)的方法，數(shù)出的面積是3，就感覺不對了。

師：我們一起來看看這個小組圍的這個圖形的面積到底是多少呢？

……

3.探究活動：動手操作，驗證規(guī)律

學(xué)生自由圍圖形，驗證規(guī)律的正確性。……

4.反思

二、第二次教學(xué)嘗試

1.探究活動一

活動要求：在釘子板上任意圍一個圖形，利用自己的方法得出圖形的面積。

學(xué)生展示自己圍的圖形，并匯報計算面積的方法：數(shù)方格，公式計算。

師任意展示幾個同學(xué)所圍的圖形，要求學(xué)生觀察：這些圖形有什么特點？這些圖形面積的大小與什么有關(guān)？

師生討論交流得到：所有的圖形頂點都在釘子上，我們把這樣的圖形稱為釘子板上的多邊形（板書課題：釘子板上的多邊形）；多邊形的面積與內(nèi)部釘子數(shù)和邊上的釘子數(shù)有關(guān)（板書：面積，內(nèi)部釘子數(shù)，邊上釘子數(shù)）。

師：在數(shù)學(xué)研究中，要想研究三個數(shù)量之間的關(guān)系，一般我們先確定其中的一個數(shù)量的大小，再去研究其余兩個數(shù)量的關(guān)系。比如，同學(xué)們圍的這些圖形中，有許多的圖形內(nèi)部釘子數(shù)都為1，那么我們就先從內(nèi)部只有一個釘子的圖形開始研究。

2.探究活動二

活動要求：第一，小組成員獨自在釘子板上任意圍一個多邊形，使得這個多邊形的內(nèi)部只有一個釘子。第二，數(shù)一數(shù)，這個多邊形邊上有多少個釘子？第三，計算這個圖形的面積？第四，把結(jié)果匯總到組長的統(tǒng)計表中（見表1）。第五，小組合作，觀察表內(nèi)的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？把你們的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。

表1

每個小組合作探究，并相互交流。

不同的成因?qū)ξ镔|(zhì)組成和結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不同的影響，成分和結(jié)構(gòu)又影響土的物理力學(xué)性質(zhì)。紅粘土作為特殊土，并且在貴州省分布范圍廣泛，是貴州主要城市所在地分布的主要土類，與當?shù)厝藗兩蠲芮邢嚓P(guān)，在對紅粘土有關(guān)問題進行研究時要注意它復(fù)雜而有別于其他土類的特殊性的成因，從其所具有的特殊性的本質(zhì)了解紅粘土有助于工程實踐應(yīng)用。

匯報各小組的探究情況，并得出：當內(nèi)部釘子數(shù)為1的時候，面積=邊上的釘子數(shù)÷2，或者說邊上的釘子數(shù)=面積×2。

師：如果我們用字母S表示面積，n表示邊上的釘子數(shù)，a表示內(nèi)部的釘子數(shù)，它們的關(guān)系可以表示為：當a=1時，S=n÷2。

3.探究活動三

師：剛才我們是研究了內(nèi)部釘子數(shù)不變，邊上釘子數(shù)各不相同時，面積與邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系。如果在剛才的研究基礎(chǔ)上，讓邊上的釘子數(shù)不變，內(nèi)部的釘子數(shù)在原來1個的基礎(chǔ)上發(fā)生變化，又會怎么樣呢？

師：請同學(xué)們觀察剛才圍的圖形，思考這樣一個問題：如何在原有的圖形基礎(chǔ)上，保證邊上的釘子數(shù)不發(fā)生變化的基礎(chǔ)上，快速地讓內(nèi)部釘子數(shù)由1變成2？

生獨立操作，并相互交流，得出：將某一邊向外拉動，即可。

請同學(xué)們帶著這樣的發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)下面的探究活動。

活動要求：

第一，小組成員獨自將原來圍的圖形，進行變化，確保邊上釘子數(shù)不發(fā)生變化，所得到的圖形內(nèi)部有2個釘子。

第二，觀察得到的圖形，想一想現(xiàn)在的面積又是多少？比原來多了多少？

第三，把你的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。

生匯報：面積比原來多1。

師小結(jié)：當內(nèi)部釘子數(shù)a=2時，面積S在原來的基礎(chǔ)上多了1，也就是=n÷2＋1。

4.探究活動四

師：那么當內(nèi)部釘子數(shù)為3、4或者更多的時候，面積S在最初的基礎(chǔ)上又會發(fā)生怎樣的變化呢？請同學(xué)們繼續(xù)研究。

活動要求：

第一，小組成員在確保邊上的釘子數(shù)不發(fā)生變化的基礎(chǔ)上，將圖形內(nèi)部孤釘子數(shù)變?yōu)?、4或者更多，將得到的面積與內(nèi)部為一個釘子數(shù)時的面積進行比較。

第二，把你的發(fā)現(xiàn)有序地匯總到組長的表格中。

第三，觀察表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

內(nèi)部釘子數(shù) 面積與“n÷2”相比增加了面積S

生匯報，投影展示表格中的數(shù)據(jù)。

內(nèi)部釘子數(shù)a 面積與“n÷2”相比增加了面積S 3 2 S=n÷2+2 4 3 S=n÷2+3 5 S=n÷2+4 6 5 S=n÷2+5 4

師生交流得出：S=S=n÷2+a-1。

5.探究活動五

師：對于這樣的發(fā)現(xiàn)，是不是對所有的釘子板上的多邊形都有用呢？請同學(xué)們自己獨立操作，在釘子板上任意圍一個多邊形，并把相關(guān)數(shù)據(jù)填寫在小組的表格中，驗證這個規(guī)律是否正確。

成員編號 邊上釘子數(shù)n內(nèi)部釘子數(shù)a面積S 是否符合規(guī)律①②

生匯報驗證結(jié)果。并交流：a=0，即內(nèi)部沒有釘子數(shù)的情況。

續(xù)表

6.全課總結(jié)

師：今天這節(jié)課，老師和同學(xué)們一起研究了“釘子板上的多邊形面積”（補充板書：面積）。我們通過從特殊到一般的方法，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，并驗證了規(guī)律的正確性。其實這正是許多數(shù)學(xué)家們在研究數(shù)學(xué)時所用的方法。今天的這個發(fā)現(xiàn)，就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理（Pick），它是由奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的，《格點與面積》這本書就是專門介紹這一知識的，有興趣的同學(xué)可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍中了解皮克定理。

三、教后反思

1.高頻操作，提高思維訓(xùn)練的可視性

“皮克定理”的專題教學(xué)與許多專題教學(xué)有類似之處：旨在探索一些數(shù)學(xué)規(guī)律，其數(shù)學(xué)思維性較強，操作機會與數(shù)學(xué)活動課相比較少。如何讓學(xué)生擁有更多的操作機會，讓學(xué)生在動手又動腦的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這是備課時遇到的較大難題。在第一次教學(xué)嘗試之后，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的動手不夠，便立即將教學(xué)的第一著眼點放到高頻、有序的操作活動，嘗試建構(gòu)了“五次動手操作”，讓高頻率的動手操作貫穿整個教學(xué)過程，讓學(xué)生的智慧在其指尖跳躍，讓學(xué)生的思維可視度提高。

2.問題驅(qū)動，體現(xiàn)探究過程的思維性

規(guī)律性知識的本身是靜態(tài)的，是死的，只有其探究過程的思維性才能賦予它靈魂，如果在教學(xué)中只將結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生，側(cè)重于對結(jié)論的應(yīng)用，就將導(dǎo)致學(xué)生的思維僅停留在簡單的模仿階段。教學(xué)的第二著眼點在于：知識發(fā)現(xiàn)、獲取的過程，通過每個“活動要求”中問題的精心設(shè)計，通過問題驅(qū)動整個探究過程，讓探究過程時刻閃現(xiàn)思維的火花。

3.步步為營，彰顯數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的層次性

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系。”如何讓“皮克定理”的發(fā)現(xiàn)過程彰顯層次性，讓學(xué)生在一步一步探索活動中，逐漸接近數(shù)學(xué)本質(zhì)，這是本課的另一著眼點。在教學(xué)中，通過層次鮮明的五次探究活動，從表及里，從特殊到一般，從固定到任意，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的層次性、邏輯性，感受數(shù)學(xué)的嚴謹。

[1]劉濯源.思維可視化：減負增效的新支點[J].中小學(xué)管理，2014（6）.

[2]葉新東.未來課堂環(huán)境下的可視化教學(xué)研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2014.

[3]朱東妮.提升小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的探析[J].基礎(chǔ)教育研究，2016（2）.

[4]彭錢群.提升小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的策略[J].教育觀察，2014（12）.

戚洪祥，1980年生，男，江蘇鹽城人，現(xiàn)任江蘇省鹽城市第一小學(xué)教育集團督導(dǎo)室主任，江蘇省首批教學(xué)名師，江蘇省333工程高層次人才培養(yǎng)對象，中學(xué)高級教師。