在全等三角形證明教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生多元能力

李能雄

（武平縣桃溪中學(xué)，福建龍巖 364303）

在全等三角形證明教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生多元能力

李能雄

（武平縣桃溪中學(xué)，福建龍巖 364303）

素質(zhì)教育和新課改的深入推進(jìn)，要求在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的多種能力和素養(yǎng)，提升學(xué)生的綜合能力。在初中數(shù)學(xué)三角形教學(xué)中，利用全等三角形的證明過程能夠培養(yǎng)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)能力、邏輯推理能力等多種能力，本文對(duì)此進(jìn)行了探索。

初中英語；課后作業(yè)；英語作業(yè)

引 言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“全等三角形證明”這一內(nèi)容是教材的重要知識(shí)點(diǎn)，其證明過程蘊(yùn)含著豐富思想和方法。在全等三角形證明教學(xué)中能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的多元學(xué)習(xí)能力，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要作用。我結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)此進(jìn)行了深入探索，以期對(duì)教學(xué)有所幫助。

一、培養(yǎng)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)能力

隨著素質(zhì)教育理念在教學(xué)中的深入實(shí)施，提倡在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)能力。我們作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，應(yīng)為學(xué)生的探究學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)：一是加強(qiáng)探究學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，讓學(xué)生掌握探究學(xué)習(xí)的方法技巧，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力；二是為學(xué)生提供探究的問題，可設(shè)計(jì)或利用開放型的三角形證明題讓學(xué)生進(jìn)行探究，并指導(dǎo)學(xué)生掌握探究的思路方法，以提高和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力。

例1.在圖1所示的圖形中，C是AB上的一個(gè)點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形。求證：AN=BM。

圖1

解題分析：我們可用此題進(jìn)行一題多問來培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力。對(duì)此，我們還可以設(shè)計(jì)一些能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突和思維共鳴的一系列問題，讓學(xué)生進(jìn)行探究，通過探究掌握數(shù)學(xué)的思想方法和規(guī)律，從而提高和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。這是一道特殊的以三角形基礎(chǔ)并結(jié)合全等三角形證明的開放型數(shù)學(xué)題，我們可針對(duì)此題設(shè)計(jì)如下問題讓學(xué)生進(jìn)行探究：

問題1：在本題中還有沒有其他相等的邊、角、全等三角形或其他特殊圖形的存在？如果存在，并進(jìn)行證明。

問題2：如果在本題中A、B、C三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，在其他條件都不變的情況下，AN與BM是否還能夠相等？請(qǐng)給出理由并進(jìn)行證明。

二、培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)推理能力

全等三角形的證明過程需要系統(tǒng)的邏輯推理、演繹推理的能力，在解題的過程中能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，對(duì)學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)、工作態(tài)度有重要幫助。由于初中學(xué)生受到認(rèn)知能力、推理能力限制，在全等三角形的證明過程中常常會(huì)出現(xiàn)各種推理錯(cuò)誤。對(duì)此，我們應(yīng)充分利用學(xué)生在解題過程中的各種推理錯(cuò)誤，加以引導(dǎo)，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗妥C明習(xí)慣。例如，學(xué)生在三角形證明過程中常犯的典型邏輯錯(cuò)誤有：虛假理由、循環(huán)證明、偷換命題等邏輯錯(cuò)誤，如果能通過典型問題剖析，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰τ兄匾獛椭?/p>

例2.在如圖2所示的三角形△ABC中，已知AB=AC，AD是頂角A的平分線，并且DE⊥AB，DF⊥AC，兩個(gè)垂足分別是E和F。求證：AD是EF的中垂線。

圖2

解題分析，對(duì)于此題的證明過程我們發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生的證明過程如下：

∵AD是∠A的平分線，并且，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（學(xué)生的理由是：角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等），∴可證明AD是EF的中垂線（理由是：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在該線段的垂直平分線上）。簡單地從表面上來看，似乎證明過程正確。但是仔細(xì)推敲就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)證明過程存在邏輯錯(cuò)誤。因?yàn)閺腄E=DF只能推導(dǎo)出D是EF中垂線上的點(diǎn)，不一定是EF的中垂線AD上的點(diǎn)，因?yàn)檫^點(diǎn)D的直線有許多條，如圖中的虛線所示。所以，這部分學(xué)生在證明中犯了邏輯上的虛假理由的錯(cuò)誤。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)有關(guān)知識(shí)理解不深入，把有關(guān)定理任意推廣引申使用而造成虛假判斷而違犯了邏輯上的充足理由律這個(gè)規(guī)定。我們可引導(dǎo)掌握如下正確的推理證明方法：

∵AD是∠A的平分線，并且，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF。又∵AD是∠EAF的平分線，由三線合一可得出AD是EF的中垂線。運(yùn)用這樣的推理就能形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程。

三、培養(yǎng)學(xué)生的審題解題能力

利用全等三角形的證明還能培養(yǎng)學(xué)生的審題解題能力，特別是對(duì)于一些文字?jǐn)⑹鲱}，需要學(xué)生深入理解文字含義，弄清題意才能正確解題。因此，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力和解題的規(guī)范性對(duì)于提高解題正確率非常重要。

例3.證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。

第一步：仔細(xì)審題，弄清題意。

該題為文字型證明題，既無圖形，又無直觀的已知條件和求證結(jié)果，需要通過審題來弄清題意。區(qū)分已知條件和求證結(jié)果，這也是解題成功的前提。本題的已知條件是：在等腰三角形中作兩個(gè)底角平分線，求證結(jié)果是：兩條角平分線相等。

第二步：按照題意，畫出圖形。

按照題意要求，畫出圖形對(duì)解題有重要幫助，并把題目中的要求盡可能畫在圖上。

第三步：按照要求，寫出題目。

用數(shù)學(xué)語言或符號(hào)寫出題目的已知條件和求證過程。

已知：在△ABC中，AC=AB，BD和CE分別是△ABC兩個(gè)角平分線。求證：BD=CE。

圖3

第四步：分析思考，找到思路。

可采用正向思維、逆向思維、正逆結(jié)合等多種思維方式進(jìn)行思考找到解題思路。如用逆向思維思考過程如下：要證明BD=CE→發(fā)現(xiàn)BD、CE分別存在于△ABD和△ACE中或△BCE和△CBD→只需要證明任意一對(duì)三角形全等即可。

第五步：根據(jù)思路，寫出過程。

按照解題思路，用數(shù)學(xué)符號(hào)或語言寫出解題過程。

證明：

∵AB=AC（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形性質(zhì)）

∵BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線（已知）

∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE（角平分線定義）

∴∠BCE=∠CBD（等量代換）

在△BCE和△CBD中，∵∠BCE=∠CBD，BC=CB，∠CBE=∠BCD

∴△BCE≌△CBD （ASA）

∴BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

第六步：檢查過程，反思思維。

檢查整個(gè)解題過程是否存在遺漏、錯(cuò)誤的地方，并反思解題思路的科學(xué)性，探尋更快捷高效的解題方法，從而提高解題效率和規(guī)范性。

[1]王志玲.全等三角形推理與證明的錯(cuò)誤分析[D].漳州：閩南師范大學(xué)，2015.

[2]王凡.幾何教學(xué)的研究與討論[D].大連：遼寧師范大學(xué)，2015 .

李能雄，1974年10月出生，男，福建龍巖人，現(xiàn)任武平縣桃溪中學(xué)政教主任，多次獲校、鎮(zhèn)級(jí)教書育人先進(jìn)個(gè)人，獲市高中數(shù)學(xué)競賽一等獎(jiǎng)（優(yōu)秀輔導(dǎo)員），獲2008年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)100編委。中學(xué)一級(jí)教師。