小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何課程內(nèi)容的演進(jìn)與思考

【摘 要】新中國建立60多年來，小學(xué)數(shù)學(xué)中圖形與幾何課程內(nèi)容不斷發(fā)生變化。通過對小學(xué)圖形與幾何課程內(nèi)容的演進(jìn)過程進(jìn)行客觀回顧、反思及述評，總結(jié)其特點和規(guī)律，有助于認(rèn)知圖形與幾何的課改進(jìn)程及內(nèi)在邏輯，引發(fā)對小學(xué)幾何課程內(nèi)容的選擇性與適切性、嚴(yán)謹(jǐn)性與可接受性、視覺直觀與動作直觀等問題的深入思考，對指導(dǎo)當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的改革及課程體系的合理建構(gòu)，具有借鑒和啟示意義。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；課程內(nèi)容；圖形與幾何；演進(jìn)與思考

【中圖分類號】G423.04 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）73-0029-05

【作者簡介】劉久成，揚州大學(xué)（江蘇揚州，225002）教育科學(xué)學(xué)院教授，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

20世紀(jì)60年代的“新數(shù)學(xué)”運動，80年代的“回到基礎(chǔ)”運動，導(dǎo)致中小學(xué)幾何課程受到削弱。90年代，國際數(shù)學(xué)教育開始反思幾何教育的價值，幾何的重要地位得到重新確立，并提出了復(fù)興幾何教學(xué)的口號。如今，我國“圖形與幾何”課程的內(nèi)容得到進(jìn)一步拓展，增加了圖形的變換與方位等方面的內(nèi)容，更加重視學(xué)生推理、探究和幾何直觀能力的培養(yǎng)。檢視自新中國成立以來的小學(xué)圖形與幾何課程內(nèi)容的歷史演變過程，總結(jié)其特點和變化規(guī)律，對于進(jìn)一步改革小學(xué)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)、內(nèi)容，建立科學(xué)合理的課程體系具有借鑒和啟示意義。

一、小學(xué)圖形與幾何課程內(nèi)容的演進(jìn)

新中國成立60多年來，教育部先后頒發(fā)了11部小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)），其中，圖形與幾何課程內(nèi)容不斷變化，演變進(jìn)程主要分以下五個階段：

20世紀(jì)50年代。當(dāng)時中國以蘇聯(lián)教學(xué)大綱為藍(lán)本，在內(nèi)容體系、結(jié)構(gòu)形式等方面都仿照蘇聯(lián)，內(nèi)容偏少，難度較低。強調(diào)實用，注重實地測量和幾何求積。在編排結(jié)構(gòu)上采取先直觀認(rèn)識簡單圖形，再進(jìn)一步認(rèn)識圖形的做法被后來所采納；在前三年學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)與計算時，雖然廣泛地使用正方形、長方形、三角形、圓、正方體、長方體等作為教學(xué)素材，但總體上幾何課程主要安排在四、五年級。

20世紀(jì)50年代末至60年代初。在1958年掀起的“大躍進(jìn)”運動中，教育主管部門否定了學(xué)習(xí)蘇聯(lián)經(jīng)驗的做法，各地編寫了多種實驗教材，內(nèi)容革新幅度較大，難度明顯提高，但到了1960年，又開始了反思和調(diào)整。課程內(nèi)容改革主要體現(xiàn)在1963年的大綱（六年制）中，圖形的認(rèn)識內(nèi)容明顯增加，同樣重視測量教學(xué)，顯示了圖形的認(rèn)識和測量并重，并重視通過畫圖來認(rèn)識圖形。在教學(xué)目標(biāo)中首次提出培養(yǎng)空間觀念的要求，開始注意按歐氏幾何概念發(fā)展線索建立教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)體系。

20世紀(jì)70年代末至80年代中期。“文革”結(jié)束后，教學(xué)秩序迅速得到恢復(fù)，1978年頒布的教學(xué)大綱（五年制）采取“精簡”“增加”“滲透”的措施，繼續(xù)按歐氏幾何概念發(fā)展線索建立教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)體系：線→角→面→體。先認(rèn)識圖形，再學(xué)習(xí)相關(guān)的測量（長度、角度、周長、面積、體積）。在一些抽象概念的教學(xué)處理上，注重分階段安排教學(xué)，如“角的認(rèn)識”分兩次進(jìn)行。增加對稱、扇形的認(rèn)識和面積計算，以及土石方計算。注重培養(yǎng)空間觀念，加強形與數(shù)的結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)思想方法。

20世紀(jì)80年代中期至20世紀(jì)末。國家實行九年義務(wù)教育，切實提高全民素質(zhì)，采取課程教材多樣化措施，實行教材編審分開，其間，先后頒發(fā)了三部義務(wù)教育大綱，課程內(nèi)容基本相同，課程彈性有所增強，改課程內(nèi)容分學(xué)期設(shè)計為分年級設(shè)計。

適當(dāng)分階段認(rèn)識圖形，如先直觀認(rèn)識再進(jìn)一步認(rèn)識常見圖形，改變了“一步到位”的編寫方式。幾何內(nèi)容分散安排，貫穿各個年級。加強測量、拼擺、畫圖等實際操作方面的訓(xùn)練。三角形內(nèi)角和、組合圖形、扇形和球列為選學(xué)內(nèi)容。

2001年以來的課程改革。此次改革將幾何課程內(nèi)容定名為“圖形與幾何”，具體包括：圖形的認(rèn)識、測量、圖形的運動和圖形與位置四個部分。強調(diào)以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力為核心，拓展了幾何學(xué)習(xí)領(lǐng)域（圖形的運動，圖形與位置）。在結(jié)構(gòu)順序上，先直觀認(rèn)識常見立體圖形與平面圖形（長方體、正方體、圓柱和球，長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓），再進(jìn)一步認(rèn)識常見圖形，并按點→線→角→面→體的邏輯順序編排，貫穿小學(xué)各個年級。削減了周長、面積、體積的單純計算，增加實踐性、探索性活動，按照實驗→猜想→驗證→概括的邏輯順序設(shè)計內(nèi)容。

二、小學(xué)圖形與幾何課程內(nèi)容演進(jìn)的特點

1.不同時期的課程理念和課程目標(biāo)決定課程內(nèi)容的取舍。

20世紀(jì)50年代，學(xué)習(xí)幾何主要是為了實際應(yīng)用，提高幾何應(yīng)用技能，因而課程內(nèi)容主要是長度、面積、體積的計算，包括線段的測定和測量、畫圖的技能訓(xùn)練。60年代提出發(fā)展學(xué)生空間觀念的要求，形成了培養(yǎng)學(xué)生計算能力、邏輯思維能力和空間觀念三大數(shù)學(xué)能力和解答應(yīng)用題能力，對圖形特征的認(rèn)識更為重視，認(rèn)識的圖形包括：角、平行線和垂線，長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓，以及圓柱、棱柱、圓錐、棱錐，這些內(nèi)容比50年代明顯增加，基本形成圖形的認(rèn)識與測量并重的內(nèi)容體系。80年代至90年代，空間觀念的內(nèi)涵不斷清晰，目標(biāo)更加明確，要求“使學(xué)生逐步形成簡單幾何形體的形狀、大小和相互位置關(guān)系的表象，能夠識別所學(xué)的幾何形體，并能根據(jù)幾何形體的名稱再現(xiàn)它們的表象，培養(yǎng)初步的空間觀念”。課程內(nèi)容的知識點變化不大，但在素材選擇和內(nèi)容安排上，大綱提出“要通過直觀教學(xué)和實際操作，引導(dǎo)學(xué)生在感性材料的基礎(chǔ)上，理解數(shù)學(xué)概念，進(jìn)行簡單的判斷、推理”，“要注意加強測量、拼擺、畫圖等實際操作方面的訓(xùn)練”。21世紀(jì)以來，幾何課程的教學(xué)目標(biāo)，強調(diào)以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。依此，課程內(nèi)容作了較大幅度的調(diào)整，在基本保留直觀幾何、度量幾何傳統(tǒng)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，增加了“圖形的運動”“圖形與位置”內(nèi)容，密切了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系；削減了單純求周長、面積和體積的內(nèi)容；變換思想、坐標(biāo)思想以直觀的形式成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容；增加了許多生活中的幾何，以體現(xiàn)學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)的理念。

2.課程內(nèi)容不斷增加，由注重求積到圖形認(rèn)識與測量并重，再到增加圖形的運動與方位，更加貼近兒童的生活實際。

新中國成立初期，小學(xué)幾何內(nèi)容以度量幾何為主，注重實際測量和求積，包括實地測量，黑板面、窗口、地面、菜園等面積計算，房間、倉庫、地下室、貯藏室等容積計算。60年代初，以及“文革”結(jié)束之后的課程重建，幾何課程內(nèi)容基本不變，均由圖形認(rèn)識與幾何測量組成，圖形的認(rèn)識得到加強。1988年開始實施九年義務(wù)教育大綱，內(nèi)容基本上還是認(rèn)識圖形和測量兩大部分，但注重直觀操作和聯(lián)系兒童實際，并設(shè)置了選學(xué)內(nèi)容，如三角形內(nèi)角和、組合圖形、扇形和球，增加了課程的彈性。進(jìn)入21世紀(jì)，小學(xué)幾何課程內(nèi)容明顯拓展，由圖形的認(rèn)識、測量、圖形的運動和圖形與位置四個部分組成，最為突出的是圖形的運動、方向和位置進(jìn)入了小學(xué)幾何，與兒童的生活實際聯(lián)系更加密切。通過運動、方位來探索圖形的特征和一些性質(zhì)，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間想象力。

3.內(nèi)容結(jié)構(gòu)從集中直線式到分散交替式，從注重知識體系到強調(diào)實踐應(yīng)用，體現(xiàn)學(xué)科特點和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

20世紀(jì)50年代，幾何內(nèi)容以獨立單元集中安排在四、五年級，編排過于集中。60年代初至80年代初，在內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排上，基本按歐氏幾何概念發(fā)展線索建立教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)體系：線→角→面→體。先認(rèn)識圖形，再學(xué)習(xí)相關(guān)的測量（長度、角度、周長、面積、體積），采取直線式編排方式，并集中在中高年級。80年代以后，人們認(rèn)識到小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何不是以幾何公理體系為基礎(chǔ)，而是以生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)的，基本的幾何概念學(xué)習(xí)宜于從現(xiàn)實生活材料中進(jìn)行抽象概括，基本規(guī)律的探索應(yīng)基于解決實際問題的需要。小學(xué)生的生活實踐告訴我們，他們形成幾何概念時，最先感受到的是空間物體，點、線、面的認(rèn)識必須以空間物體為依托，因此，小學(xué)生在認(rèn)識圖形時宜從簡單的幾何體出發(fā)。1984年8月，在澳大利亞阿得雷德市召開的第五屆國際數(shù)學(xué)教育會議上，關(guān)于幾何教學(xué)，大會也特別提出：“要提供能夠吸引學(xué)生的教學(xué)材料，應(yīng)把三維的教學(xué)材料放在二維的教學(xué)材料之前。”因此，自1988年以來，小學(xué)教材一般是讓學(xué)生先直觀認(rèn)識簡單的幾何體和常見的平面圖形，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)，即采取“三維、二維、一維”到“一維、二維、三維”的交替式安排，并且將幾何內(nèi)容分散在各個年級。圖形認(rèn)識的要求由辨認(rèn)（直觀認(rèn)識階段）→認(rèn)識（概念學(xué)習(xí)階段）→探索證明（主要在中學(xué)階段），體現(xiàn)思維的不斷深化，具有層次性，改變了“一步到位”的結(jié)構(gòu)方式。內(nèi)容呈現(xiàn)更多地結(jié)合現(xiàn)實情境，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活，對于解決問題、增長智慧有不可替代的作用。

三、對小學(xué)圖形與幾何課程內(nèi)容的進(jìn)一步思考

新世紀(jì)以來，小學(xué)圖形與幾何課程如何深化改革，仍然是值得探討的問題。

1.小學(xué)應(yīng)該開設(shè)什么樣的幾何課程。

幾何學(xué)的發(fā)展歷史告訴我們，人們認(rèn)識幾何是從直觀幾何（實驗幾何）開始的。人們最初想到用簡單的幾何圖形去做裝飾工藝品，去構(gòu)造建筑物；隨后由于土地測量等計算的需要，又產(chǎn)生了度量幾何，如：測量長度、面積、體積等。隨著人類文明的發(fā)展，幾何學(xué)作為一門科學(xué)誕生，其成果主要反映在大約公元前300年歐幾里得《幾何原本》中。此時的幾何特征是概念性的。隨后，由于透視畫的出現(xiàn)誕生了射影幾何，幾何與代數(shù)的融合誕生了解析幾何，數(shù)學(xué)分析運用于幾何產(chǎn)生了微分幾何，特別是由于《幾何原本》中第五公設(shè)的研究，產(chǎn)生了非歐幾何，幾何學(xué)的不斷發(fā)展，使得研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變性質(zhì)（形象地說就是允許伸縮、扭曲，但不許割斷、粘合）的拓?fù)鋵W(xué)成了獨立的數(shù)學(xué)分支，人們已經(jīng)認(rèn)識到幾何的多樣性。但是，哪些能夠進(jìn)入到中小學(xué)？有學(xué)者認(rèn)為：學(xué)校教育的早期，教學(xué)歐氏幾何是重要的，應(yīng)該鼓勵學(xué)生去研究簡單的幾何圖形，并探索這些圖形的性質(zhì)。歐氏幾何建立了一種最簡單、最直觀、最能為小學(xué)生所接受的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生利用這樣的模型去思考、去探索，可以使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)推理的力量。當(dāng)然，低年級接近歐氏幾何的方式必須是非形式的和解釋性的，而把系統(tǒng)化留給較高年級。幾何學(xué)有區(qū)別于其他數(shù)學(xué)的特點，現(xiàn)代幾何中有許多問題是小學(xué)生能夠理解的，比如，哥尼斯堡七橋問題、一筆畫問題、麥比烏斯帶問題、英國數(shù)學(xué)家哈密頓提出的“旅行世界”問題等。這些問題并非歐氏幾何中的問題，也無須要求學(xué)生了解相應(yīng)幾何領(lǐng)域的概念系統(tǒng)，但它對于培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力都很有幫助。

小學(xué)幾何課程應(yīng)更多地聯(lián)系生活實際，向?qū)W生展示幾何在生活和生產(chǎn)實踐中的應(yīng)用，并且告知這些應(yīng)用會影響他們的生活。本次課程改革強調(diào)幾何變換，是指導(dǎo)思想上的變化，讓圖形“動起來”，在“運動和變換”中來研究和揭示圖形的性質(zhì)。這可以加深對圖形性質(zhì)的本質(zhì)理解，也可以提升學(xué)生的幾何直觀能力。在小學(xué)，幾何屬性的數(shù)量表示也是值得關(guān)注的領(lǐng)域。我們已經(jīng)看到，用代數(shù)的方法研究幾何具有重要的教育價值，現(xiàn)行中學(xué)教材中引進(jìn)向量幾何的成功做法就是很好的說明。在小學(xué)適當(dāng)滲透坐標(biāo)思想，用數(shù)對或者方向與距離表示位置都是學(xué)生能夠理解運用的知識，也是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

2.嚴(yán)謹(jǐn)性與學(xué)生可接受性相結(jié)合。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何與作為數(shù)學(xué)科學(xué)中的幾何存在明顯差異。數(shù)學(xué)科學(xué)中的幾何有完整的知識體系，有嚴(yán)密的邏輯體系，屬于論證幾何的性質(zhì)，其中任何一部分的知識都能在這個體系中找到它存在的確定性。小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何屬于數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，呈現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，是幾何學(xué)中最基礎(chǔ)的、經(jīng)過教學(xué)法加工的、適合于小學(xué)生學(xué)習(xí)的課程內(nèi)容。歷史地看，幾何內(nèi)容有如下幾個特征：直觀的、計算的、概念的、代數(shù)的、功利的、實用的。在設(shè)計小學(xué)課程時必須作出選擇。我們認(rèn)為，小學(xué)幾何應(yīng)凸顯其直觀性。內(nèi)容呈現(xiàn)要強調(diào)情境設(shè)置，體現(xiàn)從生活到數(shù)學(xué)、由直觀到抽象的特點。比如，學(xué)生認(rèn)識角時，通?？偸亲寣W(xué)生先觀察鐘面上時針和分針，剪刀的刀口、紙扇的兩邊等，抽象得到形狀不同的角，再進(jìn)一步分析角所具有的特征：一個頂點兩條邊。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材既要根植于兒童的生活實際，又要言之有據(jù)，形成循序漸進(jìn)、互相連接的邏輯框架。經(jīng)驗表明，小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何不可能跳過早期的直覺階段，而把幾何局限于形式的、代數(shù)的特征之中。對幾何事實、概念的全面理解，應(yīng)采取螺旋上升的方式，在不同水平上對同一課題進(jìn)行教學(xué)。現(xiàn)行小學(xué)幾何教材讓學(xué)生先直觀認(rèn)識簡單的幾何形體，再進(jìn)一步學(xué)習(xí)的循環(huán)式、交替式安排，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律。不過，圖形概念的建立應(yīng)堅持科學(xué)性，注意低、高年級之間，以及小學(xué)與中學(xué)之間的相互銜接。數(shù)學(xué)家蘇步青認(rèn)為，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫要堅持“混而不錯”的原則，從而保持一定的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中用行駛的火車、景區(qū)的纜車作為平移的事例，以拖拉機的車輪印、運動場上的雙杠作為平行直線的例子就容易產(chǎn)生誤解?；疖囀且諒澋?，纜車能沿直線行走嗎？拖拉機的車輪印雖間距相等但它不一定總沿直線行駛，雙杠給人以兩條線段的印象，作為平行直線還是要超越經(jīng)驗，想象成無限延長而不相交的兩條直線。

3.重視視覺直觀與動作直觀的運用。

心理學(xué)研究表明，小學(xué)生對圖形的認(rèn)識，形成和發(fā)展空間觀念要依靠直觀教學(xué)手段。這種直觀手段主要有視覺直觀和動作直觀兩種。

視覺直觀。視覺直觀就是觀察，是一種積極的感知活動。小學(xué)生的觀察要遵循：從感知強刺激成分到感知弱刺激成分；從認(rèn)識單一要素到認(rèn)識要素之間的關(guān)系。比如：認(rèn)識長方體時，應(yīng)依面、頂點、棱的順序展開，逐步認(rèn)識長方體的三個要素；在呈現(xiàn)要素之間關(guān)系的時候，要依次分別探討面與面、面與棱、棱與棱之間的關(guān)系。認(rèn)識圖形時，還要注意從感知標(biāo)準(zhǔn)圖形到感知變式圖形，比如：當(dāng)我們從肯定例證中抽象出平行線后，要讓學(xué)生觀察非水平或非豎直方向兩直線平行的變式圖形，觀察畫出的兩條不一樣長的平行線等，進(jìn)行辨別，說明理由，以凸顯平行線的本質(zhì)屬性。

動作直觀。主要有兩種：操作實驗和畫圖。操作實驗包括圖形的折疊、拼擺、割補、測量、制作等。需要視覺、觸覺、運動覺的協(xié)同活動，在不同年級都會得到廣泛應(yīng)用，是發(fā)展空間觀念的有效手段。根據(jù)皮亞杰的研究，學(xué)生動手畫圖可以反映學(xué)生對幾何概念的理解。比如，過兩點畫線段，可以讓學(xué)生感受線段的特征：直的、有兩個端點、可測量長度；過直線外一點，畫已知直線的平行線、垂線、垂線段，可以促進(jìn)學(xué)生體會平行公理、垂線的唯一性，垂線段最短等性質(zhì)；用圓規(guī)畫圓，可以讓學(xué)生感受圓的特征：有一個圓心、半徑都相等。

在幾何教學(xué)中，量一量、比一比是獲得數(shù)量及其關(guān)系認(rèn)識的實驗方法，操作說理是獲得數(shù)學(xué)知識的直觀方法，演繹推理則是給出數(shù)學(xué)規(guī)律的邏輯方法。小學(xué)幾何知識的學(xué)習(xí)以直觀實驗為主，但也要將合情推理與論證推理相結(jié)合，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

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