活用分類(lèi)思想，妙解函數(shù)試題

黃璐

[摘? 要] 高考真題對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)備考有借鑒作用，透徹分析數(shù)學(xué)真題可以有效拓展解題思路，其中函數(shù)是高考的必考題型，解題時(shí)合理地選用思想方法可以起到事半功倍的效果，其中分類(lèi)討論是解決函數(shù)問(wèn)題較為常用的方法，可有效降低解題難度，同時(shí)多種思想方法也可以結(jié)合使用，本文將結(jié)合高考真題詳細(xì)講解分類(lèi)討論在函數(shù)問(wèn)題中的使用過(guò)程.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);分類(lèi)討論;數(shù)形;真題

函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)，主要考查學(xué)生的綜合能力，其中思想方法的選取是考查的重點(diǎn)，思想方法選取不當(dāng)，會(huì)造成思維混亂，解題受阻，分析歷年考題，合理選取思想方法是解答函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵.

真題呈現(xiàn)

（2017年全國(guó)卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a;

（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2<f（x0）<2-2.

該題目為高考常見(jiàn)的函數(shù)問(wèn)題，在求解過(guò)程中通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)分析函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)的零點(diǎn)作為分類(lèi)討論的切入點(diǎn)，從而達(dá)到了快速準(zhǔn)確求解的效果. 分類(lèi)討論是研究函數(shù)問(wèn)題最為有效的思想方法，合理地選取分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

考題銜接，深入探究

函數(shù)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的邏輯推理要求較高，解法也相對(duì)靈活，如不能合理地選擇切入點(diǎn)則很容易造成錯(cuò)解、漏解，因此合理選取思想方法則顯得尤為重要，上述考題中采用分類(lèi)討論思想很好地將問(wèn)題簡(jiǎn)化，在歷年考題中也有使用分類(lèi)討論思想解函數(shù)不等式的問(wèn)題.

（2016年天津卷）已知函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3;

解決上述問(wèn)題的核心是定位a值的分界點(diǎn)，然后以此為依據(jù)進(jìn)行分類(lèi)討論，最終通過(guò)比較端點(diǎn)函數(shù)值與極值的大小來(lái)解決問(wèn)題，該思想方法簡(jiǎn)化了思路，實(shí)現(xiàn)分析的全面性、條理性，對(duì)于鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性具有極大幫助.

拓展研究，方法綜合

分類(lèi)討論思想也可以與數(shù)形結(jié)合思想相配合來(lái)研究函數(shù)問(wèn)題，合理利用圖像可以確定討論標(biāo)準(zhǔn)，找準(zhǔn)討論方向，為下一步的分類(lèi)討論打下基礎(chǔ).

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線;（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析：（1）略.

（2）繪制函數(shù)g（x）的圖像，如圖1，可知x>1時(shí)，g（x）<0;當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=0;當(dāng)0<x<1時(shí)，g（x）>0，結(jié)合h（x）的定義，可分以下三種情況討論：

當(dāng)x>1時(shí)，h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，h（x）在（1，+∞）內(nèi)無(wú)零點(diǎn);

本題目難度較大，求解過(guò)程中充分利用了函數(shù)圖像的特點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)的幾何意義進(jìn)行分類(lèi)討論，從而降低了解題的難度，正是對(duì)圖像的分析為分類(lèi)討論找到了切入點(diǎn)，是典型的數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論配合使用的解法，該思路對(duì)于學(xué)生的解題有著啟示作用.

總之，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題首先需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)有效利用思想方法則可以輔助解題，分類(lèi)討論是求解函數(shù)問(wèn)題行之有效的思想方法，合理利用則可以使思路清晰，過(guò)程流暢，保證求解的嚴(yán)謹(jǐn)性.另外思想方法并不是單一使用的過(guò)程，將數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論配合使用，則可以使抽象問(wèn)題具體化，準(zhǔn)確定位分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，快速找到討論的切入點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)解題的高效性.