高中數(shù)學(xué)思維突破的對(duì)策方法研究

王芝

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)對(duì)思維的要求很高，思維突破的途徑需要研究其原因，需要根據(jù)思維障礙原因“對(duì)癥下藥”. 研究表明，對(duì)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)學(xué)科的概念和規(guī)律進(jìn)行研究，利用“一題多解”的方式和變式的思路，可以有效地幫學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)突破. 研究還表明，思維突破需要一定的理論支撐，尤其是需要學(xué)習(xí)心理中的思維相關(guān)的理論作為支撐.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);思維;思維突破;策略

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，尤其是在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，沒有思維的參與可以說是寸步難行的. 這里所說的思維還不是通常情況下學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題時(shí)自然運(yùn)用的思維，而是指在知識(shí)難度較大、問題難度較高的情況下，學(xué)生的思維受阻時(shí)的思維體現(xiàn). 而這也是考驗(yàn)數(shù)學(xué)教師教學(xué)技巧甚至是技藝的重要時(shí)刻，如何有效地引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)行突破，需要講對(duì)策、找方法. 當(dāng)然，在尋找對(duì)策方法之前，有一個(gè)重要的任務(wù)就是知道學(xué)生在此類情境中思維受阻的原因，這樣所尋找出來的對(duì)策方法才能真正做到“對(duì)癥下藥”. 下面就此問題，談?wù)劰P者的觀點(diǎn)與看法.

高中生數(shù)學(xué)思維受阻的原因探究

思維是人腦對(duì)客觀事物的概括與反應(yīng). 相應(yīng)的，思維障礙就是人在遇到復(fù)雜的客觀事物，使得概括失準(zhǔn)、反應(yīng)困難或出錯(cuò). 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生思維受阻的原因可以從兩個(gè)層面來審視：

一是認(rèn)知層面. 從信息加工理論的角度來看，思維的過程是一個(gè)學(xué)生對(duì)輸入的信息進(jìn)行有效加工，進(jìn)而有效地輸出的過程. 其中，加工對(duì)應(yīng)著思維的核心環(huán)節(jié)，而思維受阻其實(shí)也就是對(duì)輸入的信息沒有能夠有效加工. 而造成這一現(xiàn)象的原因又在于學(xué)生的大腦里缺乏必要的材料，或者雖然有材料但沒有能夠有效地調(diào)用，又或者是材料雖然調(diào)用出來了，但與新信息、新問題相互作用的時(shí)候，由于邏輯出錯(cuò)或者是其他原因，最終導(dǎo)致了結(jié)果出錯(cuò).

認(rèn)知層面雖然看起來比較宏觀，不是太具有“操作性”，但其作為一個(gè)宏觀視角，可以讓教師在遇到任何問題時(shí)都能夠基于認(rèn)知角度進(jìn)行思考，這可讓教師的首次判斷變得更加準(zhǔn)確，因而很有價(jià)值.

二是數(shù)學(xué)學(xué)科層面. 具體到數(shù)學(xué)學(xué)科層面，數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建與問題解決中思維受阻具有顯著的數(shù)學(xué)特征，總結(jié)起來有如下幾條：

原因一：原有數(shù)學(xué)概念或規(guī)律（包括生活知識(shí)以及關(guān)聯(lián)學(xué)科知識(shí)與規(guī)律等）理解不透，導(dǎo)致新信息輸入時(shí)無法有效加工. 根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，有效的學(xué)習(xí)是建立在充足的先前經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性非常強(qiáng)，前面所學(xué)的概念或者是生活經(jīng)驗(yàn)不夠，又或是關(guān)聯(lián)學(xué)科的知識(shí)不到位，那在構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候是會(huì)出現(xiàn)思維障礙的. 比如說學(xué)生學(xué)習(xí)“向量”的概念，就需要物理學(xué)科知識(shí)的速度、位移等概念的支撐，如果這一基礎(chǔ)知識(shí)出現(xiàn)問題（實(shí)際上比較普遍），那向量概念的構(gòu)建過程中，肯定就會(huì)出現(xiàn)思維困境.

原因二：思維方式存在問題，導(dǎo)致不能有效地尋找到數(shù)學(xué)知識(shí)生成或問題有效解決的途徑. 人們常說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生很聰明，這從思維的角度來判斷，實(shí)際上就是思維方式比較靈活. 相應(yīng)的不靈活的表現(xiàn)則是，數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建比較機(jī)械，甚至有學(xué)生會(huì)糾纏于數(shù)學(xué)概念本身，譬如上面提到的“向量”概念，好多學(xué)生會(huì)糾結(jié)于為什么“既有大小，又有方向”的量要叫“向量”，一個(gè)“向”字居然會(huì)讓學(xué)生思維許久，其實(shí)這從概念建立與定義界定的角度來看，根本沒有必要.

原因三：思維定式水平不高導(dǎo)致思維障礙. 思維定式是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)過程中必然會(huì)出現(xiàn)的情形，但根據(jù)心理學(xué)家的研究，思維定式是有水平高低之分的，常見的學(xué)習(xí)方式會(huì)讓學(xué)生無意識(shí)地在某個(gè)水平上形成定式，從而阻礙更高水平的思維形成. 在“向量的運(yùn)算”中一個(gè)典型的現(xiàn)象，就是學(xué)生熟悉了無方向的量的運(yùn)算之后，對(duì)向量運(yùn)算所遵循的三角形規(guī)則、平行四邊形規(guī)則難以接受，這實(shí)際上就是思維障礙導(dǎo)致的新的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的困難.

突破思維障礙的有效策略與方法

梳理思維障礙的形成原因，當(dāng)然是為了尋找突破思維障礙的策略與方法，而既然原因清楚了，那突破思路也就清晰了. 但很顯然的一個(gè)邏輯是，即使知道從上述三個(gè)角度尋找思維障礙的突破辦法，也不意味著策略是有效的，真正有效的策略還是要經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)的. 在此筆者提供三個(gè)得到自身實(shí)踐證實(shí)有效的思路，以與同行共享.

策略一：精確理解數(shù)學(xué)或生活概念，為有效思維培元固本

這本是教學(xué)的基本要求，但卻不意味著想做就能做好. 以上面的“向量”概念建立為例，在該概念建立之前，教師可以跟學(xué)生一起多花點(diǎn)時(shí)間去研究速度、位移等物理量的特點(diǎn)，總結(jié)出其既有大小、又有方向的特征，同時(shí)用例子向?qū)W生向量的運(yùn)算與普通的非向量并不相同，如兩個(gè)大小相等的力成不同的角度，那其作用效果肯定是不同的. 這個(gè)時(shí)候所舉的例子是定性的即可，不需要讓學(xué)生去進(jìn)行定量判斷. 但這個(gè)定性的例子又是必要的，因?yàn)槠淠康脑谟谧寣W(xué)生對(duì)向量概念的理解更完整、更準(zhǔn)確. 事實(shí)也證明，這種多例比較分析結(jié)合概念內(nèi)涵拓展的方式，可以讓學(xué)生更好地理解向量的概念，從而為后面的向量運(yùn)算奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

這一策略類似于心理學(xué)中的精加工策略，其可以讓學(xué)生在對(duì)學(xué)習(xí)素材的不斷加工中獲得能夠支撐數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，從而發(fā)揮突破思維的作用.

策略二：利用“一題多解”培養(yǎng)思維方式多樣性，以拓寬學(xué)生的思維

“一題多解”原本是數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，但近年來由于對(duì)教學(xué)方式的過多關(guān)注，對(duì)應(yīng)試容量的過多強(qiáng)調(diào)，對(duì)這一能夠突破思維障礙的重要方法反而漠視了. 當(dāng)然，在強(qiáng)調(diào)有效教學(xué)、高效教學(xué)的背景下，“一題多解”也需要賦予更多的意義.

例如，在數(shù)列知識(shí)的教學(xué)中，常常會(huì)遇到這樣的例題：已知Sn是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，S3，S6，S9成等差數(shù)列，求證：a2，a5，a8成等差數(shù)列. 證明的思路可以是多元的，簡單來說：

“一題多解”的教學(xué)重點(diǎn)有二：一是拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生想到同一個(gè)問題可以調(diào)用多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)來求解;二是讓學(xué)生比較各種解法，讓學(xué)生看到各種方法的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，這種比較相對(duì)于方法的探尋而言一樣重要，因?yàn)榍罢咧粚?duì)本題有作用，而比較卻可以拓寬學(xué)生的思路以讓后面類似于此的數(shù)學(xué)問題的解決更具思維拓展性與突破性.

策略三：借助變式提升思維水平，為突破思維障礙尋找利器

變式同樣是數(shù)學(xué)教學(xué)的“法寶”，但變式教學(xué)同樣面臨著被邊緣化的境地，原因也同樣是所謂的“費(fèi)時(shí)低效”，實(shí)際上，從學(xué)生思維發(fā)展的角度來看，變式的作用是非常大的. 變式最大的價(jià)值就在于讓學(xué)生能夠圍繞一個(gè)主題開展多角度的思維，也就是學(xué)生的思維必然會(huì)在變式的過程中自然生長、多向發(fā)展.

變式教學(xué)的步驟可以分為兩步：一是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生對(duì)習(xí)題變式的體驗(yàn);二是讓學(xué)生綜合所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行變式. 教師要追求的是后者，因?yàn)槠潴w現(xiàn)著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，也是思維突破的重要契機(jī).

立足學(xué)生思維過程提升思維能力

提升學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維有所突破，歸根結(jié)底要立足于學(xué)生的思維過程，因?yàn)樵谒季S過程中尋找思維突破的最佳途徑，并讓學(xué)生親身經(jīng)歷思維突破的過程，是最直接也最有效的辦法.

這一思路對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟發(fā)是，無論是什么樣的思維突破途徑，都需要教師去預(yù)設(shè)學(xué)生的思維過程，去考慮學(xué)生在思維過程中會(huì)遇到什么樣的困惑，這個(gè)困惑其實(shí)正是教師要研究的地方，因?yàn)槔Щ蟠碇鴮W(xué)生思維受阻或出錯(cuò)的癥狀，從中可以梳理出概念教學(xué)的重點(diǎn)、“一題多解”、數(shù)學(xué)變式的最佳切入點(diǎn).

在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)背景下，從思維的角度去研究教學(xué)有著高度的適切性，一方面，當(dāng)前高考數(shù)學(xué)的命題思路已經(jīng)在向思維質(zhì)量的方向發(fā)展，沒有一定的思維，是難以應(yīng)付當(dāng)前的數(shù)學(xué)高考的;另一方面，研究學(xué)生的思維可以切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，這個(gè)能力恰恰也是核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力. 需要指出的是，對(duì)思維的研究離不開理論幫助，尤其是學(xué)習(xí)心理學(xué)方面關(guān)于思維的表述，這一要求正如上述第一點(diǎn)所進(jìn)行的宏觀層面的分析一樣，沒有這種宏觀視角與專業(yè)的理論的支撐，只憑經(jīng)驗(yàn)是難以支撐對(duì)數(shù)學(xué)思維能力突破的研究的.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中思維突破的關(guān)鍵需要針對(duì)思維障礙尋找方法，需要一定的理論提供支撐，這樣才能真正發(fā)揮思維突破的作用.