重視過(guò)程 培養(yǎng)能力 提高素質(zhì)
——談我對(duì)“三角形內(nèi)角和定理”一課的處理

吳晉

（昆明經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一中學(xué)，云南昆明 650217）

重視過(guò)程 培養(yǎng)能力 提高素質(zhì)
——談我對(duì)“三角形內(nèi)角和定理”一課的處理

吳晉

（昆明經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一中學(xué)，云南昆明 650217）

數(shù)學(xué)課程改革以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)，注重科學(xué)探究，提倡學(xué)習(xí)多樣化，“從生活走向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)走向社會(huì)”。實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)就是連接數(shù)學(xué)和生活的紐帶。因此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師應(yīng)運(yùn)用自己的智慧和魅力不斷地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和發(fā)散思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生大膽實(shí)驗(yàn)，小心求證，能使學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)問(wèn)題的理解不落俗套，敢于求異；在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)能夠不拘一格，多方設(shè)法。這既能擺脫習(xí)慣思維的束縛，拓寬思維范圍，又能使創(chuàng)造性思維能力得到發(fā)展，以適應(yīng)當(dāng)前素質(zhì)教育的需要。本文作者以人教版《八年級(jí)數(shù)學(xué)》上冊(cè)中11.2“三角形內(nèi)角和定理”探索的一節(jié)公開(kāi)課為例，采用自主探索的方式，讓他們?cè)趧?dòng)口、動(dòng)眼、動(dòng)耳、動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)筆的過(guò)程中去體驗(yàn)、感悟，去探究、發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生不但理解掌握了這一定理，而且從中學(xué)到了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，體會(huì)到勇于探索的快樂(lè)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)；學(xué)習(xí)多樣化；創(chuàng)新精神；實(shí)踐能力

新課程的教學(xué)理念告訴我們，教師在教學(xué)過(guò)程中，主體作用應(yīng)該逐漸隱蔽、逐漸減少，應(yīng)讓學(xué)生的主體凸現(xiàn)出來(lái)，讓他們自己去體驗(yàn)、感悟，去探究、發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)要適應(yīng)現(xiàn)代教育的改革要求，進(jìn)一步強(qiáng)化素質(zhì)教育最主要的是對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)素質(zhì)的教育，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中受到科學(xué)方法、科學(xué)思維和科學(xué)態(tài)度等多方面的訓(xùn)練，這對(duì)他們今后從事任何職業(yè)都將受益無(wú)窮。

“寓教于樂(lè)”是對(duì)青少年教育的一條基本原則，我們每個(gè)人的啟蒙教育都是從游戲中開(kāi)始的?，F(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材比以往數(shù)學(xué)教材增加了許多探究，其中更是增添了不少學(xué)生思考及教學(xué)活動(dòng)。

筆者在上《八年級(jí)數(shù)學(xué)》上冊(cè)中11.2“三角形內(nèi)角和定理”探索的一課時(shí)，就做了一點(diǎn)這方面的嘗試。筆者將這節(jié)課設(shè)計(jì)為探索性課，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生不斷進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作、觀察、抽象出幾何圖形，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用邏輯思維、推理、歸納等方法，通過(guò)不斷的“實(shí)驗(yàn)——結(jié)論——再實(shí)驗(yàn)——再結(jié)論”，用自主探索的方式完成，使學(xué)生不但理解掌握這一定理，而且從中學(xué)到了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，體會(huì)到勇于探索的快樂(lè)。并且這樣的過(guò)程可以更好地培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力和發(fā)散思維能力。在“提出問(wèn)題——求解問(wèn)題——解決問(wèn)題”的過(guò)程中加強(qiáng)了探究意識(shí)。為今后有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 透視教材

眾所周知，“三角形內(nèi)角和定理”是人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十一章第二節(jié)的內(nèi)容。“三角形內(nèi)角和定理”是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，是“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，三角形的內(nèi)角和定理是從 “數(shù)量關(guān)系”來(lái)揭示三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系的，這個(gè)定理是任意三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，它是學(xué)習(xí)以后知識(shí)的基礎(chǔ)，并且是計(jì)算角的度數(shù)的重要定理之一。在解決四邊形和多邊形的內(nèi)角和時(shí)都將轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來(lái)解決。其中輔助線的作法是把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)、用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，三角形內(nèi)角和定理在理論和實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。因此它是平面幾何中的一條重要定理，它的探索過(guò)程是一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。

1.1 從探索方法來(lái)看

“三角形的內(nèi)角和”其定理的抽象性和知識(shí)的復(fù)雜性比前面的知識(shí)高了一個(gè)層次。前面的學(xué)習(xí)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出的，通過(guò)觀察、試驗(yàn)等可以尋找規(guī)律，但是由于觀察可能有誤差，試驗(yàn)可能受干擾，考察對(duì)象可能不具有一般性等原因，一般說(shuō)由觀察、試驗(yàn)等所產(chǎn)生的結(jié)論未必正確。例如，讓一個(gè)班的學(xué)生每人任意畫(huà)一個(gè)三角形，再量出它的每個(gè)內(nèi)角，計(jì)算三個(gè)內(nèi)角的和，得到的結(jié)果未必全是180°，可能有的會(huì)比180°大一些，有的會(huì)比180°小一些。因此僅通過(guò)觀察、試驗(yàn)等就下結(jié)論有時(shí)也缺乏說(shuō)服力。例如，即使不考慮誤差等因素，當(dāng)上面觀察的所有結(jié)果全是180°時(shí)，學(xué)生還會(huì)有疑問(wèn)：“不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們畫(huà)出并驗(yàn)證的只是其中有限個(gè)，其余的三角形的內(nèi)角和是多少呢？能對(duì)所有的三角形都進(jìn)行驗(yàn)證嗎？”事實(shí)上，不管我們經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間，畫(huà)出多少個(gè)三角形，觀察、試驗(yàn)的對(duì)象也是有限個(gè)。因此，要確認(rèn)“三角形內(nèi)角和等于180°”，就不能僅依靠度量的手段和觀察、試驗(yàn)、驗(yàn)證的方法，而必須進(jìn)行推理論證——從道理上得出“無(wú)論三角形的具體形狀如何，它的內(nèi)角和一定等于180°”。從而向?qū)W生說(shuō)明證明的必要性，同時(shí)說(shuō)明今后在幾何里，常常用這種方法得到新知識(shí)，而定理的證明需要添輔助線，讓學(xué)生明白添加輔助線是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（尤其是幾何問(wèn)題）的重要思想方法，它同代數(shù)中設(shè)末知數(shù)是同一思想。

1.2 從教材涉及的內(nèi)容來(lái)看

“三角形的內(nèi)角和”定理涉及的內(nèi)容較多，比如平角定義，添加輔助線解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，歐氏幾何中的平行公理，平行線的性質(zhì)等等，它們之間的關(guān)系緊密相連，內(nèi)容上充分體現(xiàn)認(rèn)知過(guò)程，在講授時(shí)，必須給學(xué)生提供探索與交流的時(shí)間和空間。在教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過(guò)“做數(shù)學(xué)”來(lái)進(jìn)行探索，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)幾何的成份，而實(shí)驗(yàn)幾何是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用。有了一定的經(jīng)驗(yàn)積累，就可以進(jìn)行理論論證。這樣就可以將實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何有機(jī)結(jié)合。而論證幾何在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力方面起著重要作用。“三角形的內(nèi)角和定理”的證明借助了平行公理、平角定義，平行線的性質(zhì)。用輔助線將三角形的三個(gè)內(nèi)角巧妙地轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或兩平行線間的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，為定理的證明提供了必備條件。盡管前面學(xué)生接觸過(guò)推理論證的知識(shí)，且有了初步的論證意識(shí)，但是在論證的格式上，沒(méi)有經(jīng)過(guò)很好的鍛煉。因此定理的證明應(yīng)是本節(jié)引導(dǎo)和探索的重點(diǎn)。輔助線的作法是學(xué)生在幾何證明過(guò)程中第一次接觸，只要教師設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，學(xué)生再由實(shí)驗(yàn)操作、觀察、抽象出幾何圖形，用自主探索的方式完成，并且這樣的過(guò)程可以更好地發(fā)展他們的創(chuàng)造能力和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。如果探索的深度不夠，就不能有效地將?shí)驗(yàn)幾何上升到理論論證幾何的高度。

1.3 從學(xué)生的已有知識(shí)水平來(lái)看

大多數(shù)學(xué)生的抽象思維和空間想象能力還比較低，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、判斷、分析、推理時(shí)常常表現(xiàn)出一定的主觀性、片面性和表面性，要能夠正確證明“三角形的內(nèi)角和定理”，必須具有一定的邏輯思維及推理能力，還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形作更全面的思考，通過(guò)一題多解，初步體會(huì)思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，在數(shù)學(xué)觀念上要有所更新。

2 展示教法

在教學(xué)方法上，筆者采用了新課標(biāo)倡導(dǎo)的“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式，積極引導(dǎo)學(xué)生全員動(dòng)手、思考、理解和探索。筆者采取了如下的教學(xué)方法：首先作好演示實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生在頭腦中先建立起感性認(rèn)識(shí)，為升華到理性認(rèn)識(shí)作好準(zhǔn)備。但是，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的演示不但要演示操作、演示、觀察，更要演示對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象的分析，通過(guò)學(xué)生畫(huà)、量、撕拼、折拼、觀察等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)、動(dòng)手操作能力及發(fā)展學(xué)生的推理能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。對(duì)比過(guò)去撕紙等探索過(guò)程，體會(huì)思維實(shí)驗(yàn)和符號(hào)化的理性作用。逐漸由實(shí)驗(yàn)過(guò)渡到論證。那種急于用實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)事實(shí)建立概念與歸納規(guī)律，而忽視通過(guò)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)結(jié)論（定理）的能力的做法，顯然與當(dāng)前大力提倡的培養(yǎng)具有創(chuàng)新人才的做法相違背。具體做法如下。

2.1 復(fù)習(xí)舊課，作好鋪墊

數(shù)學(xué)課中的活動(dòng)歸根結(jié)底無(wú)非就是盡量讓學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)眼、動(dòng)耳、動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)情。那么，要使學(xué)生生動(dòng)活潑地動(dòng)起來(lái)，且動(dòng)得有價(jià)值、有新意、有活力，就必須不斷嘗試新的組合、新的形式，要想舊中求新，就必須穩(wěn)中求變。從復(fù)習(xí)舊課開(kāi)始引入新課，充分體現(xiàn)知識(shí)的科學(xué)性和系統(tǒng)性，而且還為本節(jié)課最終的證明打好基礎(chǔ)。認(rèn)真復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的內(nèi)容（相交線與平行線），使學(xué)生明確這樣四點(diǎn)：（1）三角形的內(nèi)角（三個(gè)）：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。（2）平角定義：一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)始邊和終邊在同一條直線上，方向相反時(shí)，所構(gòu)成的角叫平角。1平角=180度。（3）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。（4）平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

2.2 提出問(wèn)題，引入新課

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，以活動(dòng)為主線，擴(kuò)大實(shí)驗(yàn)成果。以問(wèn)題導(dǎo)航，借助豐富、活潑、深入的實(shí)踐，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。學(xué)生要獲得真知，就必須在參與活動(dòng)的過(guò)程中體驗(yàn)、嘗試、改造，必須去“做”，因?yàn)椤敖?jīng)驗(yàn)”都是由“做”得來(lái)的?；谶@一點(diǎn)在教學(xué)實(shí)際中可以從以下幾點(diǎn)切入。

［提出問(wèn)題］任意三角形三個(gè)內(nèi)角的和是多少度,你知道嗎?

我們可以嘗試做如下操作。

（1）請(qǐng)每位同學(xué)任意畫(huà)一個(gè)三角形，用量角器認(rèn)真量出這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（強(qiáng)調(diào)，必須三個(gè)都量，不準(zhǔn)只量出兩個(gè)）并記錄（結(jié)果精確到0.1），再將三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求和。很多同學(xué)一個(gè)角一個(gè)角來(lái)量，算出了三個(gè)角度數(shù)的和，結(jié)果并不是正好180°。

（2）折紙方法演示，其中一條折痕要和一邊平行，另二條折痕要和這邊垂直。強(qiáng)調(diào)折后的三個(gè)角頂點(diǎn)重合在一條直線上，說(shuō)明三個(gè)角形成一個(gè)平角，三角形的內(nèi)角和是180°。用這種方法在不同類型的三角形上試一試，讓學(xué)生們分別在銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形上折一折。如圖（1）所示。

圖（1）

還可將直角三角形的兩個(gè)銳角都折向直角，與直角重合，說(shuō)明這兩個(gè)銳角的和是90°，再加上直角，三個(gè)角就是 180°。

（3）撕拼方法，把三個(gè)角中的其中兩個(gè)角撕下來(lái)，拼一拼，也可以拼成一個(gè)平角。演示，讓學(xué)生剪下2個(gè)角后，為避免次序亂了，在角上編號(hào)，剪角時(shí)不是沿著折痕剪，而是任意剪，但是按照編號(hào)順序，很快就拼成了平角，如下圖，思考，這種方法隱含了什么性質(zhì)定理（平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，即剪角拼接后，構(gòu)成2組相等的內(nèi)錯(cuò)角，得AE∥BC，AF∥BC，而經(jīng)過(guò)直線BC外一點(diǎn)A，有且只有一條直線與直線BC平行，可證點(diǎn)E、A、F在同一條直線上，所以∠1、∠2、∠3在點(diǎn)A 形成平角180°）。

可以看出，在這個(gè)探索的過(guò)程中，學(xué)生可以將實(shí)驗(yàn)操作上升到了理論證明的臺(tái)階上。而在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，也引出了添加輔助線的重要思想方法，這種方法是最科學(xué)的一種方法。也是后邊證明方法中的其中之一。學(xué)生體驗(yàn)到了探索的方法。

（4）動(dòng)態(tài)方法演示，用一枝鉛筆EF沿A→B→C→A運(yùn)動(dòng)，鉛筆EF回到起點(diǎn)A時(shí)剛好旋轉(zhuǎn)180°。方法如下：①鉛筆EF從點(diǎn)A出發(fā)（點(diǎn)E在前，點(diǎn)F在后），當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，以B（E）為圓心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠ABC的角度，此時(shí)點(diǎn)F落在線段BC上 （E與B重合）；②鉛筆EF繼續(xù)由B向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，以C（F）為圓心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠BCA的角度，此時(shí)點(diǎn)E落在線段CA上（F與C點(diǎn)重合）；③鉛筆EF繼續(xù)由C向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，以A（E）為圓心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠CAB的角度，此時(shí)點(diǎn)F落在線段AB上（E與A點(diǎn)重合），鉛筆EF到達(dá)最終位置，此時(shí)與起始位置相比，鉛筆EF可以看出剛好剛好旋轉(zhuǎn)180°，而鉛筆EF在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)過(guò)三個(gè)旋轉(zhuǎn)角∠ABC、∠BCA、∠CAB， 即∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，所以可以說(shuō)明“三角形的內(nèi)角和是180°”。

2.3 指出重點(diǎn)，進(jìn)行證明

通過(guò)演示，學(xué)生腦海中有了一定的感性認(rèn)識(shí)，但對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生，還要認(rèn)識(shí)到證明的必要性，思想不能還停留在原來(lái)的認(rèn)識(shí)上，應(yīng)該想得更全面更深刻。因此運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)證明“三角形內(nèi)角和定理”成為本節(jié)課的重點(diǎn)。并且在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形作更全面的思考，通過(guò)一題多解，初步體會(huì)思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展。

（1）引導(dǎo)學(xué)生分析“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)命題的條件和結(jié)論。根據(jù)前面給出的公理和定理，引導(dǎo)學(xué)生的證明思路，避免只看熱鬧，不看門(mén)道。

如圖，已知：△ABC.

求證：∠A+∠B+∠C=180°

方法1：如圖1，延長(zhǎng)BC到D，過(guò)C作CE∥AB，證明∠ACE=∠A，∠ECD=∠B即可。

方法2：如圖 2，過(guò)頂點(diǎn) A作直線 DE∥BC，證明∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C 即可。

方法 3：如圖 3，過(guò) C點(diǎn)作射線 CD∥AB，則∠ACD＝∠A，利用平行線的性質(zhì)也可證得結(jié)論。

圖1

圖2

圖3

學(xué)生通過(guò)自主探索，得出以上幾種輔助線的作法。及時(shí)引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)證明的思想。

（2）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形作更全面的思考，通過(guò)一題多解，初步體會(huì)思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展。在上述問(wèn)題中提出“通過(guò)添加輔助線，運(yùn)用平行線的性質(zhì)，把三角形三個(gè)角‘湊’到一起，構(gòu)成180°”的思路。

在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，是否可以把三角形的三個(gè)角“湊”到邊上的任意一點(diǎn)，把三個(gè)角“湊”到三角形內(nèi)的一點(diǎn)，把三個(gè)角“湊”到三角形外的一點(diǎn)來(lái)證明呢？

方法4：如圖4，在邊BC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作PM∥AB，PN∥AC，只要證明∠MPC=∠B，∠NPB=∠C，∠NPR=∠A即可。

方法5：如圖 5，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn) P，過(guò)P作MN∥AB，QR∥BC，ST∥AC，證明∠SPN=∠A，∠NPR=∠B，∠SPQ=∠C即可。

方法6：如圖 6，在△ABC外任取一點(diǎn) P，過(guò)P作MN∥AB，QR∥BC,ST∥AC， 證明∠SPN=∠A，∠NPR=∠B，∠SPQ=∠C即可。

圖4

圖5

圖6

學(xué)生可依據(jù)自己尋求的思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言條理清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程。

這樣，我們就用多種方法探索并證明了三角形的內(nèi)角和是180°的定理，由實(shí)驗(yàn)幾何上升到理論證明，強(qiáng)調(diào)證明的重要性，以使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，達(dá)到提高學(xué)生邏輯思維能力的目的，要求學(xué)生用所學(xué)的方法去一一驗(yàn)證這個(gè)猜想結(jié)論的正確性。學(xué)生在老師的引導(dǎo)下,參與了問(wèn)題探究的全過(guò)程。不僅對(duì)知識(shí)理解更透徹,掌握更牢固,而且從中受到觀察、猜想、分析與轉(zhuǎn)換等思維方法的啟迪,思維品質(zhì)獲得了培養(yǎng),同時(shí)學(xué)生也從探索的成功中感到喜悅,使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣得到了強(qiáng)化，知識(shí)得到了進(jìn)一步發(fā)展。而在教學(xué)中，變換了多種訓(xùn)練形式，變換出多種題型，變換出多種思維的角度和方法，由此讓學(xué)生活躍起來(lái)，視野開(kāi)闊起來(lái)，情感豐富起來(lái)，個(gè)性發(fā)揮出來(lái)。

新課程所倡導(dǎo)的學(xué)生學(xué)習(xí)方式就是自主、探究、合作。因此數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生的主要活動(dòng)是通過(guò)動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。教師不僅要鼓勵(lì)學(xué)生參與，而且要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，才能使學(xué)生主體性得到充分的發(fā)揮和發(fā)展，讓學(xué)生以研究者的身份，參與包括探索、發(fā)現(xiàn)等獲得知識(shí)的全過(guò)程。教師著力引導(dǎo)多思考、多探索，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及親身參與問(wèn)題的真實(shí)活動(dòng)之中，只有這樣，才能使學(xué)生親身品嘗到自己發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，才能激起他們強(qiáng)烈的求知欲和創(chuàng)造欲。只有達(dá)到這樣的境地、才會(huì)真正實(shí)現(xiàn)主動(dòng)參與。使其體會(huì)到通過(guò)自己的努力取得成功的快感，從而產(chǎn)生濃厚的興趣和求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生學(xué)有動(dòng)力。

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