例談數(shù)學(xué)工具在物理解題中的應(yīng)用

金子現(xiàn)

人們常說“數(shù)理不分家”.的確，數(shù)學(xué)和物理同樣具有較高的思維含量，對分析問題、解決問題和邏輯推理的能力要求很高.數(shù)學(xué)為物理學(xué)的發(fā)展提供了嚴密而強大的理論支撐，許多物理問題的解決都要依賴數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)思想，而且問題越高深，對數(shù)學(xué)工具的依賴性就越強.因此，近年來高考物理越來越重視對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題能力的考查，《考試說明》則將“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力”列為高考物理考查的五大能力中的一項，要求學(xué)生“能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論;能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進行表達、分析”.學(xué)好數(shù)學(xué)對物理的學(xué)習大有裨益.下面就以幾道例題分析數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用.

一、解析幾何（曲線方程）

圖1

例1 半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖1所示.頂部有一小物體A，今給它一個水平初速度v0=gR，則物體A可能（? ）.

A.沿球面下滑至M點

B.先沿球面下滑至某點N，然后便離開球面做斜下拋運動

C.按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運動

D.立即離開半圓球做平拋運動

解析 首先對物體受力分析，由牛頓第二定律有

mg-FN=m（gR）2R，得FN=0 N.

這說明，從這個時刻往后，物體將以初速度v0做平拋運動.

但是我們不免會產(chǎn)生疑問：在物體做平拋運動的過程中，會不會與半球體相碰？也就是說，物體做平拋運動的軌跡是與球體永不相交，還是經(jīng)一段時間后與之相交，還是一開始就相交，不能再繼續(xù)做平拋運動？如果單純從物理角度去考慮，不易想出.我們可以換一個思路：物體與半球體相碰，等價于物體做平拋運動的軌跡與半球有無交點，也就等價于物體做平拋運動的軌跡的方程與半球面的方程有無公共解.

順著這樣的思路，我們嘗試利用平面解析幾何的方法來解決.由于物體的平拋運動的軌跡在豎直平面中，我們只需將半球體簡化為一個半圓，在二維平面內(nèi)研究即可.為方便表示，我們以物體的初位置，即半圓的頂點為原點，水平向右方向為x軸，豎直向上方向為y軸建立一個平面直角坐標系如圖2所示.

首先寫出平拋運動的運動方程：

x=gR·t，y=-12gt2.

消去t得

曲線C1：y=-12R·x2（x≥0），

曲線C2：x2+（y+R）2=R2（-R≤y≤0）.

聯(lián)立C1，C2得y2=0，所以x=0，y=0.

因此，曲線C1與C2僅有一個交點（0，0）.也就是說，物塊只在開始時在半球上，此后的任一時刻，二者不會相碰.所以此題選D.

二、基本不等式

例2 如圖3所示，AOC是光滑的直角金屬導(dǎo)軌，AO沿豎直方向，OC沿水平方向，ab是一根金屬直棒，如圖立在導(dǎo)軌上，b端靠近O點.它從靜止開始在重力作用下運動，運動過程中b端始終在OC上，a端始終在OA上，直到ab完全落在OC上.整個裝置放在一勻強磁場中，磁場方向垂直紙面向里，則ab棒在運動過程中（? ）.

A.感應(yīng)電流方向始終是b→a

B.感應(yīng)電流方向始終是a→b

C.感應(yīng)電流方向先是b→a，后變?yōu)閍→b

D.感應(yīng)電流方向先是a→b，后變?yōu)閎→a

解析 判斷感應(yīng)電流的方向，關(guān)鍵是看三角形回路aOb的面積變化.

設(shè)邊aO長為x，bO長為y，ab長為l.則面積S=12xy，

ab棒在運動過程中總滿足條件x2+y2=l2.

看到這兩個式子很容易聯(lián)系到基本不等式，

即a2+b2≥2ab.

因為題目中x，y均為正數(shù)，且平方和為一定值，滿足使用基本不等式的條件，

所以S=12xy≤12·a2+b22=l24.

當且僅當x=y=22l時等號成立.

因此，aO=bO時三角形面積最大，其他任何時刻面積都要小于這個值.又題目中說開始時“b端靠近O點”，運動過程中先是aO<bO，再是aO=bO，再是aO>bO，面積S必然先增大到l24，再減小到0，由楞次定律易得感應(yīng)電流方向先是b→a，后變?yōu)閍→b.故此題應(yīng)選C.

三、三角函數(shù)的恒等變換（輔助角公式）求最值

例3 一物體質(zhì)量為m.置于傾角為α的斜面上.物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ.若要使物體沿斜面勻速向上滑動.求拉力的最小值.

解析 可以看出，對每一個確定的方向，力F都有一個確定的值，使得物塊勻速上滑.

設(shè)F與沿斜面向上方向的夾角為α.將各力沿斜面正交分解如圖4所示.

由于摩擦力提供了沿斜面向下的分量，F(xiàn)必須有沿斜面向上的分量，所以α∈0，π2.

由物塊受力平衡得

Fcosα=μFN+mgsinθ，

FN+Fsinα=mgcosθ，

得F=μmgcosθ+mgsinθμsinα+cosα.

應(yīng)用輔助角公式，得

F=μmgcosθ+mgsinθμ2+1·μμ2+1·sinα+1μ2+1·cosα.

令μμ2+1=cosφ，1μ2+1=sinφ，

則F=μmgcosθ+mgsinθμ2+1·（cosφsinα+sinφcosα）

=μmgcosθ+mgsinθμ2+1·sin（α+φ）.

顯然F的大小僅隨sin（α+φ）的變化而變化，當sin（α+φ）取最大值時F取得最小值.

由于sinφ>0，cosφ>0， 所以φ∈2kπ，π2+2kπ（k∈Z）.

又因為α∈0，π2，所以α+φ∈（2kπ，π+2kπ）（k∈Z）.

因此，當α+φ=π2+2kπ（k∈Z）時，sin（α+φ）有最大值1，F(xiàn)min=μcosθ+sinθμ2+1·mg.

四、導(dǎo)數(shù)求最值

例4 飛行員進行素質(zhì)訓(xùn)練時，抓住長為l的秋千桿由水平狀態(tài)下擺，到達豎直狀態(tài)的過程中如圖5所示，試求飛行員所受重力的瞬時功率的最大值及此時桿與水平方向的夾角θ.

解析 對飛行員從A點到M點由動能定理得

mglsinθ=12mv2，（1）

M點瞬時功率P=mvcosθ.（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式得

P=2m2g3l·sinθcos2θ.（3）

因此，只需求sinθcos2θ的最值即可.

函數(shù)y=sinθcos2θ不易用三角恒等變換化為一個單調(diào)的函數(shù)，因此，用考慮數(shù)學(xué)的兩大工具之一——導(dǎo)數(shù)來求解.

設(shè)f（θ）=sinθcos2θ，θ∈0，π2，

則f′（θ）=cosθ（3cos2θ-2）.

當f（θ）取得最大值時，f′（θ）=cosθ（3cos2θ-2）=0，

得cosθ=0或cosθ=±63.

又因為θ∈0，π2，所以cosθ=63，sinθ=33代入（3）得Pmax=23mg3gl.

此時θ≈0.62（在角度制下，θ≈35.5°）.

五、基本初等函數(shù)（分式函數(shù)、對勾函數(shù)）求最值

例5 在如圖7所示的電路中，R1=1 Ω，R2=2 Ω，滑動變阻器R的最大阻值為2 Ω.在滑動變阻器的滑片P自左向右滑動過程中，求AB間總電阻的最大值.

解析 這種滑動變阻器的連接方式比較特殊.滑片P實際將R分為兩部分：左半部分與R1并聯(lián)，右半部分與R2并聯(lián)，二者再串聯(lián)構(gòu)成總電路.其等效電路圖如圖8所示.

當P向右滑動時，左半部分與R1的并聯(lián)電阻值增大，右半部分與R2的并聯(lián)電阻值減小，總阻值的變化不易判斷，因此，采用定量計算的方法表示出總阻值隨P變化的關(guān)系，再求最值.

設(shè)左半部分電阻為r.根據(jù)串并聯(lián)電路的特點，

R總=rr+1+（5-r）2（5-r）+2=3r2-15r-10r2-6r-7.

這是一個形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f的二次分式函數(shù)，對于此類函數(shù)，往往分離分子中二次項得一次分式函數(shù)，再通過換元等方法化為自變量只在分母上的簡單函數(shù)（如對勾函數(shù)、二次函數(shù)或具有單調(diào)性的函數(shù)），再求值域或最值.即

R總=（3r2-18r-21）+（3r+11）r2-6r-7=3+3r+11r2-6r-7.

令t=3r+11，則r=t-113，

R總=3+tt-1132-6t-113-7=3+9tt-40t+256.

因為r∈[0，5]，所以t∈[11，26].

因此，R總=3+9t+256t-40.

當函數(shù)f（t）=t+256t在[11，26]上取得最小值時，R總?cè)〉米畲笾?

函數(shù)f（t）是一個對勾函數(shù)，其拐點為t=256=16∈[11，26]，

所以當t=16，即r=53時，R總?cè)〉米畲笾礡總max=158 Ω.

從以上幾個例子可以看出，數(shù)學(xué)工具如導(dǎo)數(shù)、不等式、基本初等函數(shù)（三角函數(shù)、對勾函數(shù)）、解析幾何等在物理解題尤其是求最值的問題中發(fā)揮巨大作用，有時甚至是解題的唯一方法.事實上，與單純運用物理方法定性分析不同，數(shù)學(xué)思想和工具能夠讓我們定量地分析問題，精確地描述運動、反映過程，從而使我們更加深刻地理解物理規(guī)律.但是，將物理問題純數(shù)學(xué)化是不可以的，數(shù)學(xué)只是工具，物理思維才是真正的靈魂.因此，只有真正理解物理概念和規(guī)律，并恰當、巧妙地應(yīng)用數(shù)學(xué)工具，才能如魚得水、事半功倍.

【參考文獻】

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