從“想不到”到“想得到”到“想得清”

尉貴生

【摘要】文章通過對一個常見數(shù)列不等式證明過程中學(xué)生出現(xiàn)的思維障礙分析，挖掘該類問題的本質(zhì)內(nèi)涵和問題背景，從而提升問題解決過程中的思維深刻性和邏輯嚴密性.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);歸納;分析

一、想不到

在一次學(xué)生的課外作業(yè)中，筆者布置了下面一道數(shù)列不等式的證明題：已知n∈N*，求證：1+12+13+…+1n<2n.

由于筆者所帶的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較好，盡管當時學(xué)生還沒有學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法，我認為總會有部分學(xué)生能證明這個不等式.而事實上，在作業(yè)反饋時，居然沒有一位同學(xué)能正確做出解答，這是我事先“想不到”的！

在第二天作業(yè)講評時，我給出了該不等式的證法.

證明 由n∈N*，1n=22n<2n+n-1=2（n-n-1），

得1+12+13+…+1n<2[（1-0）+（2-1）+（3-2）+…+（n-n-1）]=2n.

在學(xué)生看了給出的證法之后，在感嘆放縮之精妙的同時，又給出了一聲嘆息：“想不到”！

這兩個“想不到”引起了我的思考.一方面，我們在進行解題教學(xué)的時候，我們忽略了學(xué)生的認知構(gòu)建，忽略了學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主體這一基本原則.另一方面，對一些數(shù)學(xué)問題的解答，我們自己也常常憑借經(jīng)驗進行直接搬用、套用和模仿，缺少對問題本質(zhì)的深層次思考.如果按照這樣的教學(xué)模式長此以往，我們學(xué)生的思維也會變得越來越僵化，思路也會變得越來越單一，我們每個人的大腦都將變成別人思想的跑馬場，這將是教育的悲哀.

那么，怎么樣才能讓學(xué)生從“想不到”到“想得到”呢？

二、想得到

事實上，從不等式的結(jié)構(gòu)形式來看，不等式左邊是一個數(shù)列的前n項和（無限的），右邊是一個給定的根式（有限的），要來比較兩者的大小，一種思路是將不等式左邊進行求和化簡，把無限項轉(zhuǎn)化為有限項，再對有限項與有限項進行比較大小，但要對不等式左邊直接進行放縮求和，思路似乎也不是很順暢，這也就陷入了“有方向但想不到”的境地.

另一種想法是，干脆把不等式右邊的有限項轉(zhuǎn)化為無限項的和，使兩邊都擁有“一樣多”的無限項，通過比較每一項的大小來研究它們各自和的大小，由此，我們有了下面的想法.

不妨記數(shù)列an=1n，{an}的前n項和為Sn=1+12+13+…+1n，記另一個數(shù)列為{bn}，它的前n項和為Tn=2n.則當n≥2時，有bn=Tn-Tn-1=2（n-n-1），上式對n=1也適合，故bn=2（n-n-1）.下面只要比較an=1n與bn=2（n-n-1）的大小即可，而bn=2（n-n-1）=2n+n-1>2n+n=1n=an，對n∈N*都成立，故Tn>Sn，即證.

對上述證法，我們可以得出如下性質(zhì).

性質(zhì)1 數(shù)列{an}和{bn}滿足an>bn，對n∈N*都成立，則∑nk=1ak>∑nk=1bk.

對性質(zhì)1，我們做適當?shù)念惐?，還可得到如下結(jié)論.

性質(zhì)2 數(shù)列{an}和{bn}滿足an>bn>0，對n∈N*都成立，則：∏nk=1ak>∏nk=1bk.

例1 已知n∈N*，求證：2·4·6·…2n1·3·5·…（2n-1）>2n+1.

證明 記數(shù)列an=2n2n-1，數(shù)列{bn}的前n項積記為Tn=b1·b2·…bn=2n+1，則當n≥2時，有bn=TnTn-1=2n+12n-1，上式對n=1也適合，故bn=2n+12n-1，n∈N*.由于an=2n2n-1=4n22n-1>4n2-12n-1=2n+12n-1=bn>0，故2·4·6·…2n1·3·5·…（2n-1）>31·53·…2n+12n-1=2n+1.

三、想得清

上面是我們通過對無限與有限的相互轉(zhuǎn)化來研究該數(shù)列不等式的證明，并且也給出了這一類不等式證明的通法，當然，這類問題我們也可用數(shù)學(xué)歸納法來嘗試，而數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是要把無限問題通過遞推轉(zhuǎn)化成有限問題來處理.

除了對該不等式的結(jié)構(gòu)特征做分析思考之外，其實，我們還可以從“形”的角度來做進一步研究，借助“形”我們對問題本質(zhì)進行更深入的理解.

記f（x）=1x，作出圖像如右圖所示，把區(qū)間[0，n]等分成n個小區(qū)間：[0，1]，[1，2]，…[n-1，n]，過每一個區(qū)間右端點作x軸的垂線與f（x）=1x相交，如圖所示作出n個小矩形，記這n個小矩形的面積和為Sn，則Sn=1+12+13+…+1n.又由于f（x）=1x與x=0，x=n，y=0所圍成的曲線的面積為∫n01xdx=2x|n0=2n，由圖顯然可得Sn<∫n01xdx，即得所證不等式.

按照上面的想法，其實，我們還可以得到下列不等關(guān)系：

對n∈N*，有2（n+1-1）<1+12+13+…+1n<2n.