平面向量數(shù)量積的運(yùn)算策略

卓曉萍

【摘要】平面向量是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，它融數(shù)、形于一體，是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的有力工具.平面向量的引入大大拓寬了解題的思路和方法，它溝通了“數(shù)”與“形”，是數(shù)形結(jié)合的典型范例;可以刻畫向量的投影、長(zhǎng)度、面積、體積等度量問題，還可以像數(shù)、字母一樣進(jìn)行運(yùn)算，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的載體.

【關(guān)鍵詞】平面向量數(shù)量積

平面向量的數(shù)量積運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，也是高考的重要考點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空的壓軸題中，近幾年高考命題的頻率比較高，不僅考查了平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法同時(shí)還考查了運(yùn)算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.考生在處理這類問題時(shí)，經(jīng)常感到無助，不知從何處入手，學(xué)生對(duì)平面向量的概念和性質(zhì)往往理解不夠，隨便套用實(shí)數(shù)、平面幾何的性質(zhì)，從而導(dǎo)致解題失誤.解題過程如何快捷有效，重在讓解題方法形成方法論.通過對(duì)近幾年各個(gè)省份有關(guān)平面向量數(shù)量積問題的高考題和模考題進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，本文以2016四川高考（10）的變式為例，說說平面向量數(shù)量積運(yùn)算的策略.

例 平面內(nèi)，等邊△ABC邊長(zhǎng)為23，|AP|=1，PM=MC，求BM·BC的取值范圍.

向量的數(shù)形雙重身份為作圖提供了依據(jù)，平面向量基本定理的課堂教學(xué)為向量轉(zhuǎn)化提供了直覺，數(shù)學(xué)的化簡(jiǎn)意識(shí)為轉(zhuǎn)化的選擇提供了方向.

分析

什么是數(shù)量積？首先考慮定義法.BM·BC=|BM|·|BC|·cos〈BM，BC〉，根據(jù)定義，求兩向量的模和夾角或者從幾何定義即從投影的角度分析，因點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，|BM|，〈BM，BC〉都是變量，而且它們之間相關(guān)關(guān)系不明朗，從投影的角度出發(fā)也不能直觀看出其變化規(guī)律，因此，難點(diǎn)突破的關(guān)鍵是：如何表達(dá)M點(diǎn)的變化，點(diǎn)M的變化是否有規(guī)律？

解法（一） 基向量法.用主動(dòng)點(diǎn)、已知點(diǎn)表達(dá)點(diǎn)M的變化規(guī)律.解題難點(diǎn)是M點(diǎn)的變化，而點(diǎn)M變化源頭是點(diǎn)P的變化，點(diǎn)P變化特征已知.根據(jù)平面向量基本定理，BM=12（BC+BP）.把BM轉(zhuǎn)化成BC和BP，接下來是否具有可操作性？BP是否顯性展示了點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)特征？BP是否可以優(yōu)化轉(zhuǎn)化？BP=BA+AP，AP模確定，信息量?jī)?yōu)于BP.

BM·BC=12（BP+BC）·BC=12（BA+AP+BC）·BC=12BA·BC+12BC2+12AP·BC=12×23×23×12+12×23×23+12|AP|×|BC|×cosθ=3+6+12×23×cosθ，θ∈[-π，π]，

∴BM·BC∈[-3+9，3+9].

解法（二） 坐標(biāo)法.通過坐標(biāo)關(guān)系表達(dá)點(diǎn)M的變化特征.在題目現(xiàn)有條件下建立坐標(biāo)系是否可行？如何建立？突破點(diǎn)是表達(dá)點(diǎn)P的坐標(biāo).思考方向是點(diǎn)P的軌跡方程，即點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系清晰，點(diǎn)B，C坐標(biāo)簡(jiǎn)潔易表達(dá)，因此，以a點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中x軸與BC平行.

由|AP|=1得點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=1，C（3，-3），B（-3，-3），設(shè)點(diǎn)M（x，y），

x2P+y2P=1，xP+3=2x，yP-3=2yx-322+y+322=14，①

點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)32，-32為圓心，以12為半徑的圓.

BM·BC=（x+3，y+3）·（23，0）=23x+6.②

由①得x∈-12+32，12+32，

BM·BC∈[-3+9，3+9].

下面是解題思維導(dǎo)圖：

平面向量基本定理為我們用活向量提供了機(jī)會(huì)，基向量法是解決向量數(shù)量積問題的一個(gè)基本法，把未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量，滲透化歸轉(zhuǎn)化思想.在扎實(shí)概念定理基礎(chǔ)之上進(jìn)行方法系統(tǒng)化，有利于學(xué)生升華理解，開闊思維，在新的探究中積極主動(dòng)的進(jìn)行實(shí)踐，達(dá)到融會(huì)貫通，觸類旁通，形成自己的學(xué)習(xí)策略，最終落實(shí)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

平面向量基本定理為向量的解題提供了工具，平面向量基本定理的自然又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程性教學(xué)，為定理的理解奠定了扎實(shí)的根基和思維方式，在新知的教學(xué)過程中創(chuàng)造培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑，各個(gè)環(huán)節(jié)落實(shí)到位，引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的方法”學(xué)新知，用“數(shù)學(xué)的眼光”看世界，逐步形成適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，也有利于提升教師的智慧和教學(xué)的有效性，從而打造“智慧課堂”，創(chuàng)設(shè)“幸福校園”.