如何運(yùn)用“線段圖”解決行程問題

謝正榮

(合肥市徽州小學(xué) 安徽合肥)

引言

在一道行程問題解決過程中筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題的正確率很低，講評(píng)時(shí)畫出線段圖后再來理解題意就簡單多了。由此可見畫線段圖是解決這道行程問題的關(guān)鍵。在小學(xué)階段，線段圖在解決行程問題中有著怎樣的作用呢？如何讓線段圖成為學(xué)生解決行程問題而主動(dòng)運(yùn)用的有效策略呢？

一、一道行程問題的解題過程

甲、乙兩車同時(shí)從東西兩地相向開出，8小時(shí)后兩車在距中點(diǎn)32千米處相遇。已知甲車每小時(shí)行56千米，乙車每小時(shí)行多少千米？

學(xué)生呈現(xiàn)的解題過程都是設(shè)乙車每小時(shí)行x千米。列式為8x-32=56×8，解得x=60。列式為8x+32=56×8，解得x=52。列式為8x-32=56×8+32，解得x=64。 列式為8x+32=56×8-32，解得x=48。為什么會(huì)有四個(gè)不同答案呢？原來是“距中點(diǎn)32千米”不知道在算式中怎么表達(dá)。學(xué)生提議畫線段圖幫助理解題意并給大家示范，當(dāng)甲車和乙車相聚點(diǎn)在中點(diǎn)左邊32千米處，也就是甲車的速度比乙車慢：

甲車8小時(shí)行駛的路程+32千米=乙車8小時(shí)行駛的路程-32千米，列式為8x-32=56×8+32。那當(dāng)甲車和乙車相聚點(diǎn)在中點(diǎn)右邊32千米處，也就是甲車的速度比乙車快：

甲車8小時(shí)行駛的路程-32千米=乙車8小時(shí)行駛的路程+32千米，方程是8X+32=56×8-32。由此可見在解決此類問題時(shí),如果學(xué)生能夠依據(jù)信息有序正確地畫出線段圖,就可以發(fā)現(xiàn)這些信息之間的聯(lián)系，自然而然就找到了解決問題的方法。

二、教材中運(yùn)用線段圖策略解決行程問題的梳理

蘇教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教材通過“加、減、乘、除”“千米的認(rèn)識(shí)”以及“時(shí)、分、秒”等內(nèi)容逐步滲透行程問題。最初的行程問題也只是通過簡單的加減法計(jì)算路程和時(shí)間。學(xué)習(xí)乘除法之后的解決問題會(huì)出現(xiàn)“速度”“路程”和“時(shí)間”等名詞，要求學(xué)生理解路程、時(shí)間、速度的概念以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，利用乘除法的原理解決問題。從根據(jù)公式用已知量求未知量到分析題意求平均速度,學(xué)生對(duì)于行程問題的學(xué)習(xí)路徑其實(shí)是從“運(yùn)用固定公式”到“分析數(shù)量關(guān)系”的過程。行程問題路線和方向的變化使題目中的數(shù)量關(guān)系越來越復(fù)雜，這時(shí)就需要借用線段圖將物體的行駛過程直觀地呈現(xiàn)出來，挖掘其中的數(shù)量關(guān)系。

三年級(jí)下冊(cè)教學(xué)畫線段圖解決問題的策略，要求學(xué)生說出數(shù)量之間的關(guān)系，四年級(jí)下冊(cè)利用線段圖解決問題數(shù)量關(guān)系越來越復(fù)雜，五六年級(jí)和方程、分?jǐn)?shù)、比等知識(shí)融合在一起，更加注重學(xué)生分析和解決問題能力的發(fā)展。同時(shí)行程問題由簡單的求出兩地之間的距離、走了多少米、求速度或時(shí)間等擴(kuò)展為復(fù)雜的相遇、相離以及追及問題。由于題型的復(fù)雜化,對(duì)學(xué)生畫圖的能力提出了更高的要求,線段圖的畫法更多樣,應(yīng)用更靈活。

三、用線段圖解決行程問題的實(shí)踐

讓線段圖成為學(xué)生解決行程問題的策略，關(guān)鍵要讓學(xué)生在碰到復(fù)雜關(guān)系的行程問題時(shí)能想到畫圖解決問題的好處，自覺把“畫線段圖”內(nèi)化為自己的解題策略，而這種意識(shí)需要在各個(gè)階段的學(xué)習(xí)中循序漸進(jìn)地慢慢滲透。讓學(xué)生從模仿、實(shí)踐到靈活運(yùn)用，以期達(dá)到對(duì)線段圖在行程問題中初步體會(huì)、充分體驗(yàn)、靈活運(yùn)用的目標(biāo)，力求教學(xué)行程問題的效益達(dá)到最優(yōu)化。

1．從模仿到實(shí)踐，深刻體會(huì)“線段圖”的功效

幾何直觀是2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十大關(guān)鍵詞之一，即利用圖形描述和分析問題，其最直接的方法就是用線段圖或示意圖把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀的表示出來，進(jìn)而使條件與問題之間的聯(lián)系形象、生動(dòng)地呈現(xiàn)出來。教材從三年級(jí)下冊(cè)教學(xué)嘗試?yán)脠D形描述和分析問題，第31頁練習(xí)中用示意圖呈現(xiàn)了一個(gè)簡單的行程問題：少年宮到小悅家的距離是到小華家距離的3倍。求小華家與小悅家的距離以及少年宮到小華家比到小悅家近多少米。(圖1)借助線段圖分析和比較，學(xué)生更容易也更清晰地意識(shí)到這兩個(gè)問題都與“小華家到少年宮的路程”以及“小悅家到少年宮的路程”直接相關(guān)。

在四年級(jí)下冊(cè)在解決問題的策略單元專門教學(xué)畫圖描述問題、分析數(shù)量關(guān)系。課本第54頁練習(xí)八：一輛汽車從相距495千米的甲地開往乙地，行駛3小時(shí)后，剩下的路程比已經(jīng)行駛路程多45千米。求這輛汽車的平均速度。(圖2)：

讓學(xué)生把示意圖補(bǔ)充完整，既幫助學(xué)生學(xué)會(huì)利用畫圖來整理題中的條件和問題，又可明了此題中的數(shù)量關(guān)系。畫圖描述問題的目的不僅在于方便分析數(shù)量關(guān)系，明確解題思路，更在于讓學(xué)生經(jīng)歷自主構(gòu)建線段圖的過程并在這一過程中發(fā)展空間觀念。

五年級(jí)下冊(cè)教學(xué)列方程解決實(shí)際問題，形如ax±bx=c和ax±b×c=d時(shí)，第14頁例10是一個(gè)典型的行程問題:兩地相距540千米，一輛客車和一輛貨車同時(shí)從兩地相向開出，3小時(shí)后相遇?？蛙嚨乃俣仁?5千米/時(shí)，貨車的速度?千米/時(shí)？(圖3)：

條件和問題通過線段圖來整理，圍繞列方程求貨車速度這一目標(biāo)，并借助直觀尋找相應(yīng)的等量關(guān)系，通過比較使他們認(rèn)識(shí)到：依據(jù)等量關(guān)系“客車行的路程+貨車行的路程=總路程”或“速度和×相遇時(shí)間=總路程”，都可以列出合適的方程并由此求出貨車的速度。

第15頁練一練中的實(shí)際問題與例10相似，不同在于這兩艘船是從同一個(gè)碼頭往相反方向開出，告知甲船的速度是26千米/時(shí)，經(jīng)過8小時(shí)兩船相距400千米。求乙船的速度。(圖4)學(xué)生借助線段圖整理?xiàng)l件和問題，明確題中的等量關(guān)系并列方程解答。

到六年級(jí)，行程問題、分?jǐn)?shù)、比等知識(shí)融合在一起，第30頁的第2題：一輛汽車從甲地開往乙地，已經(jīng)行駛了全程的30%，離乙地還有140千米。這輛汽車行駛了多少千米？(圖5)：

根據(jù)題意先把線段圖補(bǔ)充完整，看圖說說依據(jù)“已經(jīng)行駛了全程的30%” 可以想到什么？再借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系以此選擇合適的策略來解決問題并逐步形成相應(yīng)的策略意識(shí)。

蘇教版教材中把線段圖補(bǔ)充完整的過程讓學(xué)生充分感受到線段圖的基本畫法和特征，再通過看圖理解題意找出等量關(guān)系又讓學(xué)生感受到線段圖可以把抽象的文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為直觀的圖形，可以化隱形為顯性把題目中隱藏的信息直觀呈現(xiàn)出來，如：甲、乙兩車同地自西向東行駛，甲車速度為每小時(shí)48千米，乙車速度為每小時(shí)72千米。甲車開出2小時(shí)后乙車開出，幾小時(shí)后甲車追上甲車？(圖6)：

設(shè)x小時(shí)后乙車追上甲車，通過畫圖后得到隱含條件:乙車x小時(shí)行駛的路程比甲車x小時(shí)行駛的路程多96千米。方程為(72-48)x=2×48，解得x=4。

2．靈活運(yùn)用，讓線段圖“內(nèi)化”為解決行程問題的策略

行程問題在每個(gè)學(xué)期的練習(xí)中都會(huì)以一定的頻率出現(xiàn)，借助線段圖來分析題意,使學(xué)生掌握問題的本質(zhì)，能在準(zhǔn)確理解等量關(guān)系的基礎(chǔ)上,建構(gòu)起行程問題的數(shù)學(xué)模型,日積月累可以使線段圖內(nèi)化為學(xué)生解決行程問題主動(dòng)運(yùn)用的有效工具。因此,當(dāng)學(xué)生在解決行程問題時(shí)能主動(dòng)運(yùn)用“幾何直觀”去思考,此時(shí)利用線段圖解決問題已經(jīng)成為一種有效的解題策略。

在相向和追擊問題中，如上面所提到的五年級(jí)下冊(cè)第14頁例10以及第15頁練一練，還有類似下面的題型：兩車分別以100千米/時(shí)和85千米/時(shí)的速度同時(shí)從A地開往B地。2.5小時(shí)后兩車相距多少千米？這些解決問題中都可以鼓勵(lì)學(xué)生只畫出線段圖的關(guān)鍵部分或在頭腦中想象出線段圖，既達(dá)到了分析數(shù)量關(guān)系的目的，又有利于鍛煉學(xué)生的想象能力，發(fā)展空間觀念，同時(shí)也為學(xué)生提供了適合自身實(shí)際的學(xué)習(xí)方式，使不同層次的學(xué)生都能在解決問題的過程中有所收益，有所發(fā)展。

線段圖是解決行程問題的有效工具，但不是唯一工具，在行程問題的追擊練習(xí)中還會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)環(huán)形跑道的題目，這時(shí)可以靈活運(yùn)用示意來進(jìn)行分析，如：甲、乙兩人沿著400米的環(huán)形跑道同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行。甲的速度為280米/分，乙的速度是240米/分。經(jīng)過多少分鐘甲第一次追上乙？ 甲、乙兩人在環(huán)形跑道上跑步。起跑時(shí)甲在乙前面15米，甲4米/秒，乙6米/秒，兩人都按逆時(shí)針方向跑，多少秒后乙追上甲？這兩題同樣是在環(huán)形跑道上跑步，要求經(jīng)過多長時(shí)間甲第一次追上乙，審題后畫出簡單示意圖可以更清晰地看出這兩題都是同時(shí)同向出發(fā)，由于起點(diǎn)的不同導(dǎo)致第一次相遇時(shí)兩人的路程差也就不同，一個(gè)是在相同時(shí)間內(nèi)甲跑的路程正好比乙多400米，一個(gè)是在相同時(shí)間內(nèi)小紅跑的路程正好比小英跑的路程多15米。如果把題目 中的條件環(huán)形跑道和逆時(shí)針去掉，此時(shí)畫線段圖或畫環(huán)形跑道的示意圖都可用來分析題意。

華羅庚先生曾說過:數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難人微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。線段圖作為幾何直觀的具體表現(xiàn)方式，有著極其重要的地位和作用。教師要從宏觀的角度分析教材，在學(xué)生經(jīng)歷模仿、實(shí)踐到靈活運(yùn)用的實(shí)踐過程后循序漸進(jìn)地實(shí)踐線段圖的教學(xué)價(jià)值。