老調(diào)新彈，平中出奇

楊永鐸

[摘? 要] 數(shù)學(xué)中有不少陳年舊題，其實(shí)這些舊題中蘊(yùn)藏著可貴的教學(xué)資源，如果教師巧妙地加以利用，定會(huì)讓課堂因此而精彩！本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出了幾條讓陳年舊題富有新意的對策.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)課堂;問題設(shè)計(jì);舊問題;新思路

課堂問題是依據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)，把主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容預(yù)設(shè)成具體且有待解決的問題. 一個(gè)好的課堂問題，不僅能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓他們掌握、鞏固數(shù)學(xué)知識，而且能及時(shí)地反饋教學(xué)信息，促進(jìn)教學(xué)改革，做到有的放矢地因材施教，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

其實(shí)很多傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)問題在教師看來已是陳年舊題，年年出這些題，教師自己也會(huì)有倦怠之感，所以總想找一些新題，可變來變?nèi)ィ仓荒芨淖円幌聰?shù)據(jù). 那怎樣才能讓這些陳年舊題變出新意呢？筆者結(jié)合自身幾年的教學(xué)實(shí)踐，從中總結(jié)出了以下對策.

舊題新用，以不變應(yīng)萬變

舊題，總是用在過去出現(xiàn)的地方，就會(huì)平淡無奇. 學(xué)習(xí)“二元一次方程”時(shí)，教師可在黑板上給出一個(gè)問題：一棵樹上有10只鳥，一位獵人向樹上放了一槍，這時(shí)樹上的小鳥和不在樹上的小鳥各有幾只？此題一出，五花八門的答案便蜂擁而至.

大家都明白，學(xué)生從小學(xué)到初中，這個(gè)問題已經(jīng)接觸過不下三次，小學(xué)時(shí)出現(xiàn)也許是為了訓(xùn)練創(chuàng)新思維，而此處出現(xiàn)又是出于什么目的呢？這道題的很多答案已經(jīng)超出了數(shù)學(xué)思維的范疇，各種所謂的創(chuàng)新早已讓人生厭，如假如樹枝勾住了打死的鳥;假如這槍是無聲手槍;假如這些鳥是聾的……所有的這些假如似乎都是一種鉆牛角尖，但無論答案是多少，如果用方程思想去理解的話，等量關(guān)系為“樹上的小鳥只數(shù)+不在樹上的小鳥只數(shù)=10”. 進(jìn)一步，可設(shè)樹上的小鳥有x只，不在樹上的小鳥有y只，于是可以得到方程x+y=10，從而導(dǎo)出二元一次方程的定義. 此時(shí)學(xué)生的很多想法與爭論已不被大家關(guān)注，學(xué)生關(guān)注的是用方程方法把所有答案都網(wǎng)羅其中. 可見，把舊題與新內(nèi)容結(jié)合起來，在該使用處及時(shí)使用，有時(shí)竟能出現(xiàn)新的一片天地，讓舊題因新知而豐滿，讓新知因舊題而生動(dòng).

老題新解，以悟通超越聽懂

明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》里有一道名題《百僧百饃》：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無增，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁. 題意是：有一百個(gè)和尚吃一百個(gè)饅頭，大和尚每人吃三個(gè)，小和尚每三人吃一個(gè)，問大小和尚各有幾人.

此題出現(xiàn)在了人教版小學(xué)四年級的思考題中，小學(xué)教參里一般采用假設(shè)法：假設(shè)100人都是大和尚，則可以吃饅頭3×100=300個(gè)，比實(shí)際多吃了300-100=200個(gè)，之所以多出來200個(gè)饅頭，是因?yàn)榘哑渲械男『蜕袚Q成了大和尚，現(xiàn)在換回去，每次三個(gè)小和尚換成三個(gè)大和尚，饅頭就增加3×3-1=8個(gè)，所以這多出的200個(gè)饅頭需要換200÷8=25次，所以換成大和尚的小和尚的人數(shù)是25×3=75，大和尚的人數(shù)是100-75=25. 非常難懂吧？不要說小學(xué)生，就是初中數(shù)學(xué)教師都有墜入云海的感覺. 如果把這種解法講給初中生聽，估計(jì)95%的學(xué)生聽不懂. 既然聽不懂，那數(shù)學(xué)教師最好不講，教給他們方法即可. 好在到了初中，解決問題的方法多了，而且不少方法還體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)思想.

初一時(shí)，利用方程思想可以這樣解答：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有（100-x）人. 根據(jù)題意有3x+（100-x）÷3=100，解得x=25. 又100-25=75，所以大和尚有25人，小和尚有75人. 當(dāng)然，也可以設(shè)小和尚有x人，然后運(yùn)用一元一次方程來解，這種方法與設(shè)大和尚的人數(shù)為x的方法類似;還可以設(shè)小和尚有x人，大和尚有y人，通過列二元一次方程組來求解.

學(xué)生通過對這一名題多種求解方法的嘗試，能品嘗到成功的體驗(yàn)，能把數(shù)學(xué)思想與經(jīng)典舊題結(jié)合起來，能解除學(xué)生過去的理解之痛.

到了初二，筆者又給學(xué)生講起了這道題，不過這次是為了幫助學(xué)生建立問題解決的轉(zhuǎn)化思想——此時(shí)學(xué)生已有解決“雞兔同籠”問題的經(jīng)驗(yàn). 具體思路如下：由于小和尚三人吃一個(gè)饅頭，每人只吃三分之一個(gè)饅頭，思考起來比較吃力，不妨將所有大饅頭都切割成三個(gè)小饅頭，于是問題就變成：三百饅頭一百僧，大僧九個(gè)更無增，小僧一人分一個(gè)，大小和尚各幾丁. 然后利用前面講過的方法去思考——比如“雞兔同籠”問題中的假設(shè)法，這種解法會(huì)省去分?jǐn)?shù)參與思考的麻煩，使問題變得更為明朗.

初三復(fù)習(xí)時(shí)，筆者再次將這一問題搬入課堂，這次是為了復(fù)習(xí)函數(shù).

問題1：請問100個(gè)和尚中除了大和尚都是小和尚，設(shè)大和尚有x人，那么小和尚的人數(shù)y與大和尚的人數(shù)x之間有什么函數(shù)關(guān)系？

（由于總數(shù)不變，大和尚增加就意味著小和尚減少，有學(xué)生就誤認(rèn)為這是反比例函數(shù). 不過也好，這正是展開討論，趁機(jī)復(fù)習(xí)函數(shù)基礎(chǔ)知識的良機(jī). 當(dāng)學(xué)生列出解析式以后，筆者又讓學(xué)生說說這是什么函數(shù)，為什么.）

問題2：如果有100個(gè)和尚，按大和尚有x人，每人吃3個(gè)饅頭，小和尚每3人吃1個(gè)饅頭來算，這100個(gè)和尚需要吃的饅頭數(shù)y有幾種情形？我們可以通過列表來分析（如表1）. 你能在坐標(biāo)系中找到這些點(diǎn)（x，y）嗎（利用畫圖軟件）？這些點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置有一個(gè)什么特點(diǎn)？

問題2擺脫了原題的問題框架，再一次強(qiáng)化了函數(shù)是一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化的，這一問題能讓學(xué)生再一次經(jīng)歷先描點(diǎn)再連線的函數(shù)圖像形成過程，同時(shí)能再次鞏固一次函數(shù)圖像是一條直線的性質(zhì).

問題3：如果你想找到饅頭數(shù)正好是100的情況，有一種特殊的方法，請看問題2中的圖（圖略），你能找到這個(gè)我們需要的點(diǎn)（x，y）嗎？此時(shí)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與方程之間有什么關(guān)系？

同一個(gè)問題，從小學(xué)四年級到初三多次出現(xiàn)，每次出現(xiàn)的目的都不相同. 學(xué)生通過不同的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想，可以把同一問題逐漸明朗化、簡便化，這能讓他們感覺數(shù)學(xué)確實(shí)是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力工具. 通過這樣多年的時(shí)間穿越，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感情會(huì)與日俱增. 這種做法與有的教師所采用的題海戰(zhàn)術(shù)相比，有天壤之別！

舊題新編，以全面克服片面

教學(xué)“全等三角形的判定”時(shí)，教師給出了一道選擇題：某塊三角形玻璃碎成如圖1所示的兩塊，如果照原樣到店里配一塊，只要帶哪塊去就行了？（?）

A. a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. b

C. a和b? ? ? ? ? ? ? ? D. 哪塊都不行

對于此類三角形玻璃問題，很多教師都接觸過，而且學(xué)生能輕而易舉地得出答案，但有為數(shù)不少的學(xué)生認(rèn)為選B是因?yàn)椴Ａ的兩條斷邊可以補(bǔ)出來. 其實(shí)這背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)原理就是三角形全等——玻璃b屬于“ASA”的情形，可見這一題的設(shè)計(jì)并沒有發(fā)揮出其應(yīng)有的價(jià)值. 如果教師把題稍改一下：“某塊三角形玻璃碎成如圖1所示的兩塊，裂口符合下列特征：AD=2BD，AE=EC，如果照原樣到店里配一塊完整的玻璃，只要帶哪塊去就行了？”加了條件后，AB與AC的長度可以分別由AD與AE按關(guān)系延長適當(dāng)長度而得到，這樣就又多了一種“SAS”的解決方法，答案就顯得比較開放了. 可見，活學(xué)活用在這兒得到了比較充分的體現(xiàn).

再進(jìn)一步，如果不想帶玻璃，有沒有辦法買到需要的玻璃呢？試想：我們都有手機(jī)，拍個(gè)照去行不行？如果不行，需要量幾條邊的長度才行？如果沒有手機(jī)，光用尺子量的方法，又需要量幾條邊呢？這樣一來，問題的開放性更得到了充分的體現(xiàn)，而且把全等三角形的所有情況都納入這一題中了，使訓(xùn)練具備了足夠的厚度.

綜上所述，舊題中蘊(yùn)藏著可貴的教學(xué)資源，陳年舊題一如陳年老酒，只要巧妙地改，準(zhǔn)確地用，慢慢地品，就會(huì)令師生如沐春風(fēng)，讓課堂精彩無限！