巧用方法提高解決數(shù)列的運(yùn)算能力

摘 要：研究近年數(shù)學(xué)高考數(shù)列選擇填空題的解題方法，對考生及老師都有著重要的意義。通過方法的分類，針對不同方法在數(shù)學(xué)高考不同題目的應(yīng)用程度及其位置進(jìn)行研究，指導(dǎo)高中生備戰(zhàn)高考數(shù)列題的復(fù)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；解題方法；運(yùn)算能力

數(shù)列內(nèi)容包括：①等差等比數(shù)列的基本概念，②等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，③數(shù)列的通項、求和及其應(yīng)用。要解答好高考數(shù)列題目，必須扎實牢固地掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識及其應(yīng)用，熟練掌握數(shù)列及極限常見題型的解法與技巧，并能將其靈活運(yùn)用。

一、 利用等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識解答

主要考查等差數(shù)列的概念以及其求和公式，掌握好等差數(shù)列的概念及其求和公式，利用一般的方法即可解答。

例 已知等差數(shù)列{an}中，a2=17，a4=17，則前10項和s10=（ ）

A. 100

B. 210

C. 245

D. 285

解析：題目已知條件中，數(shù)列是等差數(shù)列，充分利用等差數(shù)列的概念，并且題目中已知a2=7，a4=17，利用數(shù)列遞推公式an=am+（n-m）d，n>m，從而a4=a2+（4-2）d，代入得：d=5，a1=2，所以a10=47，從而s10=10×（a1+a10）2=245。

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及其求和，題目給了任意兩項，通過通項公式建立方程組，從而求出首項和公差，進(jìn)而用求和公式求解。

二、 巧用等差、等比數(shù)列的知識解答

根據(jù)題目的條件，靈活運(yùn)用題目給的已知條件進(jìn)行解答。

例1 已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前9項的和s9=（ ）

A. 138

B. 95

C. 72

D. 63

解析：數(shù)列是等差數(shù)列，由a2+a4=4①a3+a5=10②①式中a2+d=a3，a4+d=a5，因此，①+2d=②，即4+2d=10，d=3，而a4=a2+2d，從而代回①式，a2+a2+2d=4，

a2=-1，a1=-4，因此s9=a1n+n（n-1）2d=72。

點評：題目已知的是兩個等式，式中均是兩數(shù)列中的兩項，兩個方程兩個未知數(shù)肯定求不出來，所以，需要將其中的一項利用通項公式用另外的項表示出來。

例2 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3S6=13則S6S12=（ ）

A. 310

B. 13

C. 18

D. 19

解析：等差數(shù)列，S3S6=3a1+3d6a1+15d=13，因此a1=2d，同理S6S12=6a1+15d12a1+66d=310。

點評：題目已知的是數(shù)列和的第一個比值的關(guān)系，要求得是比值的關(guān)系，因此像這類題目我們需要的是化簡已知和所要求得的比值關(guān)系，得出最簡的等式，一般二者會存在直接的代數(shù)關(guān)系，從而求解了這道題。

例3 設(shè)所以Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2+a5=0，則S5S2=（ ）

A. 11

B. 5

C. -8

D. -11

解析：8a2+a5=8a1q+a1q4=0，左右兩邊同除以a1q得8+q3=0，q=-2。所以S5S2=1-q51-q2=-11。

點評：此兩題充分利用題目進(jìn)行化簡求解，雖不能直接求出未知量，但經(jīng)過化簡后均可消去，從而直接得出結(jié)果，在高考中這類的題目也不乏出現(xiàn)。

三、 巧用等差、等比數(shù)列的兩個常用性質(zhì)解題

在等差數(shù)列中，ap為am，an的等差中項，則2ap=am+an，且若p+q=m+n，

則ap+aq=an；ap為am，an的等比中質(zhì)，則a2p=aman，且若p+q=m+n，

則apaq=aman。巧用這兩個重要性質(zhì)，解答題目更簡單。

例 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=（ ）

A. 52

B. 7

C. 6

D. 42

解析：{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列中p+q=m+n，

則apaq=aman；a1a2a3=（a1a3）a2=（a22）a2=a32=5；a7a8a9=（a7a9）a8=（a28）a8=a38=10，

從而a32a38=（a2a8）3=（a5a5）3=（a25）3=（a53）2=5×10=50，a4a5a6=52。

點評：本題均為等比數(shù)列，題目給的兩個等式含有三項，并且其中的兩項積利用數(shù)列的性質(zhì)可以用第三項來表示，從而求出中間的項，恰好所要求的也可以用所求出的這兩項表示，進(jìn)而得到解答。

四、 結(jié)合函數(shù)、解析幾何等知識進(jìn)行求解

例 設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是 。

解析：等差數(shù)列，S5=5a1+10d，同理S6=6a1+15d，則S5S6+15=（5a1+10d）（6a1+15d）+15=15（2a12+9a1d+10d2）+15=0，整理得2a12+9da1+10d2+1=0，是一個關(guān)于a1的一元二次方程，說明此方程有數(shù)解，從而Δ=（9d）2-4×2×（10d2+1）=d2-8≥0，即d2≥8，即d≥22或d≤-22。

數(shù)列知識主要考查概念、性質(zhì)通項、求和，利用題目已知條件，通過變換，便可求解。通過數(shù)學(xué)高考數(shù)列題中的基本方法與技巧，可以較大提高自己的運(yùn)算能力，省時高效。雖然其題型復(fù)雜多變，但是萬變不離其宗，只要掌握好其題型特點及相應(yīng)的解題方法，善于歸納總結(jié)，找出共性，以不變應(yīng)萬變。

作者簡介：

韋月明，廣西壯族自治區(qū)南寧市，南寧市第四十二中學(xué)。endprint