土力學教學實踐中幾個小問題的思考

祝恩陽 李曉強 杜亞楠

(北方工業(yè)大學土木工程學院,北京100144)

土力學教學實踐中幾個小問題的思考

祝恩陽1)李曉強 杜亞楠

(北方工業(yè)大學土木工程學院,北京100144)

在給本科生講授土力學及與學生的討論中，作者從教學的角度對幾個小問題進行了思考.這些思考包括：將不易理解的知識形象化；通過對比強化土的力學特性；土力學中的歸一化思想與線性化簡化；學生對工程量取值范圍的感覺；以及兩個相近問題的辨析思考.作者將如上的思考體會在文中通過實例一一介紹，期待前輩及同行的批評與指導.

土力學，教學，對比，歸一化，線性化

土力學的產(chǎn)生源于工程實踐.1925年，Terzaghi等[1]提出有效應力原理，自此土力學開始成為一門獨立學科[2].這門學科雖然年輕并處于發(fā)展階段，但建筑物要么建在地上，要么建在地下.因而土力學涉及幾乎所有建筑工程，兼具基礎性、時代性和實踐性[3].近年來，學者們從諸多方面開展了土力學課程的教學研究工作[49].

根據(jù)教學實踐，作者體會土力學既有對經(jīng)典力學理論的借鑒，又有基于實踐的經(jīng)驗化描述.因而，是否可以在介紹土力學知識本身的同時，增加介紹這些知識的來龍去脈以及這些知識所隱含的科學思考方法？這樣做的益處在于，既讓學生體會土力學知識的總結凝練過程，又自然地使學生將課本知識與工程實際相聯(lián)系.下面逐一介紹分享.

1 將不易理解的知識形象化

土顆粒的大小直接影響著土的力學性能.對此，土力學用一條別具特色的顆粒級配曲線進行描述.然而，這種形象直觀的描述方法卻常令不少初學的學生 (其中也包括學生時代的作者)覺得晦澀難懂.作者考慮不妨通過和學生們一起動手來繪制一個簡單而有特色的顆粒級配曲線來講解.

將粒徑不同的五種農(nóng)作物：小米 1mm、綠豆3mm、黃豆5mm、花生7mm、蠶豆9mm，進行配置組合，形成 3個作物組.各組總質量均為 100g.其中：1組里5種農(nóng)作物均有且等量；2組里獨缺黃豆；而3組里又全是黃豆.如表1和圖1所示.

表1 作物組內各種農(nóng)作物的質量

圖中，1組對應的曲線平緩，表征該組各粒徑顆粒齊全，粒徑分布連續(xù)；2組對應的曲線存在平臺，平臺處粒徑變化了,但小于該粒徑顆粒物的含量卻沒有變，表征該組缺乏某一粒徑的顆粒；3組對應的曲線經(jīng)歷陡升段，陡升處粒徑變化不大，但小于該粒徑顆粒的含量卻迅速增大，表征該組顆粒粒徑全集中在陡升處的粒徑大小.可見，顆粒級配曲線將難以用語言描述的顆粒粒徑分布情況通過存在鮮明特征差異的圖像予以展示.

圖1 各組粒徑級配圖

2 通過對比強化土力學特性

土材料的剪切破壞形態(tài)是其摩擦性的直觀表象.對于受σ1和σ3作用的土試樣而言，由于土材料存在內摩擦角?，試樣達到剪切破壞時，破壞面與大主應力σ1作用面成45°+?/2夾角.這常令學生費解.對此，教師可從學生已掌握的材料力學知識入手，通過對比來強化土的力學特性.

材料力學中，單向受拉力σ1的低碳鋼桿件拉伸屈服時，在與桿件軸向成45°的方向上形成剪切滑動面[10]，滑動面應力狀態(tài)位于莫爾圓頂點，對應最大剪應力 τ，如圖 2所示.可見，低碳鋼各面剪切強度相等，與正應力無關.相應地，其抗剪強度線在σ--τ坐標中為一水平線.

圖2 低碳鋼桿件剪切破壞面與應力莫爾圓

而土材料是典型的摩擦材料，材料內部任意面上的剪切強度 τf依賴于該面上的正應力σ與摩擦系數(shù) μ= τf/σ=tan?.故土材料的強度線在 σ--τ坐標中為一傾角 ?的斜線，如圖 3所示.隨加載進行，當莫爾圓擴大至碰到傾斜的強度線時發(fā)生剪切破壞，此時切點處應力狀態(tài)即為剪切破壞面上的應力狀態(tài).該應力狀態(tài)在莫爾圓上位于從莫爾圓頂點再逆時針轉?角度處.相應地在試樣上，剪切破壞面則應相對于45°方向面再逆時針轉動?/2.故而土材料的剪切破壞發(fā)生在與較大主應力作用面成(45°+?/2)夾角面上.

相似地，對比介紹方式還可用于介紹描述正常固結黏土的靜止土壓力系數(shù)經(jīng)驗公式.正常固結黏土中水平應力σh與豎直應力σv之比K0表述為[11]

圖3 土材料剪切破壞面與應力莫爾圓

由式(1)可知，應力比K0與材料的內摩擦性能(以內摩擦角?表征)相關.當材料的摩擦性能很弱時，例如 ?=0，這便是大家熟知的水，同一深度各向壓強相等 σh/σv=1.而當摩擦性能很強時，例如?≈π/2，則幾乎無需水平約束，就可保證材料不向水平向擴張，即σh/σv≈0.這些均可由式(1)反映.此外，文獻[11]針對砂給出了K0的另一種表達，也符合諸上所述.

3 土力學中歸一化思想

砂的孔隙比e很大程度上決定了其強度與變形特性，是描述土材料當前狀態(tài)的一個絕對量.而黏土的含水量w主導影響著土的可塑特性，是描述土材料當前狀態(tài)的另一絕對量.在實際中工程師們更關心的是，砂是比較密一些還是比較松一些；黏土是比較容易成型一些還是比較干硬一些.于是土力學中引入兩個相對量：描述密實程度的相對密實度Dr和描述可塑性程度的液性指數(shù)IL.Dr和IL的構造就體現(xiàn)了土力學中的歸一化思想.

當孔隙比e=emin時，Dr=1砂最密；當孔隙比e=emax時，Dr=0砂最松；而當emin＜e＜emax時，Dr越大砂越密.類似的，當含水量 w=wL為液限時，IL=1黏土最“液”；當含水量w=wP為塑限時，IL=0黏土最“不液”；而當wP＜w＜wL時，IL越大表示黏土越“液”.

有意思的是,式(2)與式(3)將密實程度和可塑性程度均以一個介于0和1之間的數(shù)字來表示.相對密實度Dr越接近1越密；液性指數(shù)IL越接近1越“液”.這與人們對0與1的習慣感受相一致.

4 土力學中線性化簡化

在平面直角坐標系中，直線關系是最容易被確定、推演與應用的.于是土力學中盡可能將變量間的關系通過坐標變換以線性的方式予以描述.

土越壓越難壓，即壓力 p越大土的模量也越大，如圖4(a)所示.對于這樣的e--p關系，土力學選用對數(shù)函數(shù)對其描述.對數(shù)曲線圖4(b)與土e--p關系圖4(a)相似,因而可描述模量隨壓力增大而增大的特點，更重要的是,以對數(shù)函數(shù)進行描述，可使土的壓縮曲線在e--lnp坐標中轉換成為直線，如圖4(c)所示.這為之后建立描述土力學行為的經(jīng)典臨界狀態(tài)理論奠定了基礎[12].

殷桃有過規(guī)則，不再碰軍旅題材。為莫莉解禁，是她真喜愛這個腳色，“她貌似熱鬧，但熱鬧都在他人嘴里，她是個孤單的人?！?/p>

圖4 土壓縮特性的對數(shù)函數(shù)描述

在本科生土力學教學中，線性化簡化的思想還隱含在如下的3個教學內容中：液塑限聯(lián)合測定，地基沉降與時間關系，及土強度參數(shù)的測定.

液塑限聯(lián)合測定方法廣泛應用于土的液限與塑限的測定.質量為76g的圓錐錘錐尖下沉10mm對應的含水量為液限wL，錐尖下沉2mm對應的含水量為塑限wP.圓錐錘下沉深度h與土的含水量w成較好的雙對數(shù)關系[13]

式(4)中，A與B均為擬合參數(shù).含水量與下沉深度在lgw--lgh雙對數(shù)坐標中表現(xiàn)為線性關系.因此，在實際操作中，只需配制 3種 (甚至在理論意義上只需2種)含水量w1,w2,w3土試樣，測定相應的錐尖下沉深度h1,h2,h3.在lgw--lgh雙對數(shù)坐標中即可回歸得到直線方程式(4)，如圖5所示.再在圖中分別讀取錐尖下沉深度為10mm和2mm所對應的含水量，即為相應的液限wL和塑限wP.

圖5 液塑限聯(lián)合測定示意

地基沉降量與時間的關系可由指數(shù)函數(shù)近似描述.t時刻的地基沉降量s(t)可表達為

式中，s∞為地基最終沉降量,a為擬合參數(shù).這表明地基沉降量與時間在exp(?t)--s坐標中成線性關系.故通過觀測有限的沉降量數(shù)據(jù) (t1,s1),(t2,s2),···,(tk,sk)可擬合出exp(?t)--s坐標中的直線方程(5)[14]，如圖6所示.該直線在縱軸上的截距即為最終沉降量.此外，還可通過擬合出的直線讀取對應任一時間ti的地基沉降量si.

圖6 地基沉降與時間指數(shù)關系示意

在“土的抗剪強度”這章，基于庫侖定律的抗剪強度 τf(σ) 表示為

根據(jù)文獻[15],式(6)中的強度參數(shù)c與?通過三軸剪切試驗確定，如圖7所示.然而，在實際操作中3個以上的莫爾圓很可能不存在公切線.這時可啟發(fā)學生進行思考.根據(jù)圖7，剪切破壞時，應力狀態(tài)(σ1f,σ3f)對應的應力莫爾圓與強度線相切，故而

圖7 通過莫爾圓確定土強度參數(shù)示意

這表明，破壞應力狀態(tài)(σ1f,σ3f)滿足式(8)所述的線性方程.因此只需將若干組試驗所得的破壞應力狀態(tài)點 (σ1f,σ3f)逐個繪制在 σ1--σ3坐標中，如圖8所示，而后對這些點進行線性回歸得到參數(shù)k與b,繼而再根據(jù)k與b計算出強度參數(shù)c與?.

圖8 通過線性回歸確定土強度參數(shù)示意

5 工程量取值范圍

既然土力學是實踐性很強的科學，學生在學習時就必須將理論與摸得著的實際建立起深刻聯(lián)系.這就要求學生對數(shù)量有大致估算的能力.

土的天然密度 ρ介于 1.6g/cm3至 2g/cm3之間.保守考慮，可認為土的密度約為水的2倍.這樣一來，1m厚的土的豎向自重應力相當于約 2m高水柱的壓強，亦即20kPa.可依此估計地基中的豎向自重應力.另外，民用建筑物每一層正常使用時的載荷總共不超 20kPa，因而一層樓房的豎向載荷也可考慮為1m厚土的自重，可依此估計建筑物基底壓力.

土內摩擦角 ?≈30°左右，根據(jù)式 (1)，K0≈0.5.故處于側限狀態(tài)的地基土中，側向壓應力約為豎向壓應力的一半.

土力學中一維壓縮線整理在 e--lgσv坐標中，而等向壓縮線整理在 e--lnp坐標中.前者的斜率為壓縮指數(shù) Cc，后者的斜率為 λ. 考慮到 p=(1+2K0)σv/3，則 Cc與 λ間應差一個 ln10的倍數(shù)[16].通過分析得知

因此，通過固結儀進行一維壓縮試驗測得Cc后，將其除以2.3，即可近似得到參數(shù)λ.

6 辨析思考相近的問題

土在一般情況下是不抗拉的.因此，若土與結構面有相互背離的趨勢，則土將與結構面脫開.結構面在脫開部分的應力記為0.土力學教學中，這樣的情形分別出現(xiàn)在基礎反力計算與擋土墻主動土壓力計算中.

若墻后填土重度為γ，黏聚力為c，則主動土壓力σa沿墻后填土深度z的分布表示為[17]

式中 Ka是主動土壓力系數(shù).墻頂 z=0m處，；距墻頂處，σa(z0)=0kN/m.由于擋土墻與土之間不能承受拉應力，直接將該拉應力段的應力略去，即得到墻后主動土壓應力分布.拉應力的略去不影響0應力點位置，也不使壓應力區(qū)發(fā)生應力重分布，如圖9.

圖9 擋土墻主動土壓力分布

與此相似，若長 L寬 B的基礎在長度方向上受大偏心力F作用，當偏心距e＞L/6，距偏心載荷較遠處的基底反力則為拉應力，如圖10所示.由于基底與地基間不能承受拉力，基底與地基局部脫開，需略去拉應力.拉應力略去后，0應力點位置由y=L2/(12e)變?yōu)閥=(L?3e)，壓應力區(qū)發(fā)生應力重分布，最大壓應力由pmax=F(1+6e/L)/(BL)變?yōu)閜max=2F/[3B(L/2?e)]，如圖10所示[18].

圖10 大偏心載荷作用下矩形基礎基底壓應力分布

擋土墻土壓力分布和基底反力分布都是土力學中的典型應力分布問題，然而在處理拉應力區(qū)應力分布問題上卻采取了截然不同的做法.二者的本質差異在于：擋土墻上應力來源于其向遠離填土方向移動，是位移控制加載.而基底應力緣于上部結構載荷作用，是力控制加載.

擋土墻上計算出的拉應力是假定位移控制加載在該段施加成功，使該段墻后填土達到極限平衡狀態(tài)的情形下計算得到的.然而，填土無法承受拉應力致使擋土墻與填土在該段脫開，故該段填土的位移加載根本沒有加上去，擋土墻在該段的應力分布自然也就是0.由于是位移控制加載，假想拉應力區(qū)的脫開并不影響擋土墻壓應力區(qū)位移控制加載的成功施加，故壓應力區(qū)應力分布不變.

基底應力分布是力控制加載，因而基底反力必須與所施加的上部載荷相平衡.這種情況下，若只將拉應力略去而不改變壓應力區(qū)應力分布，則會導致反力與載荷不平衡.故基底應力計算中遇基礎與地基脫開時，必須相應考慮壓應力的重分布.

7 結語

作者介紹了在土力學教學實踐中的一些體會,包括形象傳達、對比強化、歸一化思想、線性化簡化、工程量取值以及相近問題辨析.希望在對比、演繹中使學生更充分地體會到土力學的科學性與實踐性.

1 Terzaghi K,Peck RB.Soil Mechanic in Engineering Practice.Warwickshire:Read Books Ltd,2013

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17孫世國，武崇福，劉洋.土力學地基基礎.北京：中國電力出版社，2015

18陳國興，樊良本，陳甦等.土質學與土力學.北京：中國水利水電出版社，2006

TU43

A

10.6052/1000-0879-17-134

2017–04–25收到第1稿，2017–06–19 收到修改稿.

1)祝恩陽，講師，主要從事巖土本構理論的教學與研究.E-mail:zhuenyang@ncut.edu.cn

祝恩陽，李曉強，杜亞楠.土力學教學實踐中幾個小問題的思考.力學與實踐，2017，39(6):612-616

Zhu Enyang,Li Xiaoqiang,Du Ya’nan.Thinking of several problems in soil mechanics teaching.Mechanics in Engineering,2017,39(6):612-616

(責任編輯:胡 漫)