書頁搭接之摩擦力研究

衛(wèi)夢希 黎立云 王博楠 王園園 王 雪 張小峰

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院力學(xué)系，北京100083)

書頁搭接之摩擦力研究

衛(wèi)夢希1)黎立云2)王博楠 王園園 王 雪 張小峰

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院力學(xué)系，北京100083)

將兩本書以一頁搭一頁的方式聯(lián)接在一起，然后向水平方向兩側(cè)拉伸，紙張間會(huì)產(chǎn)生機(jī)理復(fù)雜的摩擦力，摩擦力的總和可以使搭接結(jié)構(gòu)的極限拉力達(dá)到很大.本文在不同搭接長度及不同搭接頁數(shù)的條件下，對極限拉力進(jìn)行了實(shí)測，得到了搭接長度與搭接頁數(shù)對極限拉力的影響關(guān)系.對摩擦力產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行了分析，給出了理論模型的公式，并通過MATLAB對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行了與實(shí)測數(shù)據(jù)的最小二乘法擬合，得到了半理論半經(jīng)驗(yàn)的摩擦力計(jì)算公式.計(jì)算公式可以為這種特殊聯(lián)接工藝的最大承載拉力計(jì)算提供參考.

相互搭接的書,摩擦力,摩擦二項(xiàng)式定律,最小二乘擬合

將兩本書一頁一頁地搭接在一起，在水平拉力作用下，紙張間會(huì)產(chǎn)生摩擦力.文獻(xiàn) [1]采用實(shí)驗(yàn)的方法對紙張間的摩擦力進(jìn)行了探究，得出搭接長度及搭接頁數(shù)是影響紙張間摩擦力的主要因素.另外，在中央電視臺(tái)2016年的一期《加油向未來》的電視節(jié)目中，實(shí)驗(yàn)人員采用上述的方式將兩本黃頁電話簿搭接在一起，在兩輛卡車的牽引下，測得最大牽引力相當(dāng)于7.25噸，如圖1.上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都表明，在不借助任何外力以及粘結(jié)劑的情況下，搭接粗糙柔軟結(jié)實(shí)的書頁便能夠產(chǎn)生很大的摩擦力，也許可以將這種現(xiàn)象應(yīng)用于某些工程實(shí)際，作為一種特殊的聯(lián)接工藝.本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步實(shí)測了總摩擦力隨搭接長度與搭接頁數(shù)的變化規(guī)律，并對摩擦力的產(chǎn)生機(jī)理作了定量的分析.

通過單一的庫侖摩擦定律對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了綜合分析，發(fā)現(xiàn)與實(shí)測數(shù)據(jù)吻合得不太理想.通過參閱大量文獻(xiàn)資料[210]，看到了專家們對摩擦機(jī)理的一些更為廣泛的分析，他們認(rèn)為摩擦力的產(chǎn)生不僅僅是由于經(jīng)典的庫侖摩擦定律中所提到的物體表面間的凹凸機(jī)械嚙合摩擦力，同時(shí)分子間的吸引力也是摩擦力的一個(gè)重要組成部分.因而本文采用蘇聯(lián)學(xué)者克拉蓋爾斯基(Кралельский)的分子機(jī)械理論，即摩擦二項(xiàng)式定律，將“凹凸機(jī)械嚙合”產(chǎn)生的摩擦力與“分子間吸引力”有機(jī)結(jié)合起來，應(yīng)用于紙張間摩擦機(jī)理的分析，給出了與實(shí)測結(jié)果比較吻合的力學(xué)模型，通過 MATLAB軟件對模型中的參數(shù)進(jìn)行了最小二乘法擬合，得到了半理論半經(jīng)驗(yàn)的摩擦力計(jì)算公式.計(jì)算公式可以為這種特殊聯(lián)接工藝的最大承載拉力計(jì)算提供參考.

1 紙張間的摩擦力實(shí)驗(yàn)測試

沿普通A4紙的寬度方向?qū)⑵溲b訂成冊進(jìn)行實(shí)驗(yàn) (單本裝訂冊的頁數(shù)分別為 20頁,30頁,40頁,50頁).實(shí)驗(yàn)過程中 (如圖 1(b))，將頁數(shù)相同的兩個(gè)裝訂冊按一定的搭接長度(搭接長度L分為2cm,4cm,6cm,8cm,10cm)以一頁搭一頁的方式搭接在一起，水平放置在桌面上，然后用量程500N的彈簧測力計(jì)以平行于紙張方向的力緩慢向兩側(cè)拉伸，直至該搭接結(jié)構(gòu)破壞為止，記下每次實(shí)驗(yàn)中的最大摩擦力數(shù)值,對于每組實(shí)驗(yàn)均做5次，取平均值，以減小誤差.

表1是在不同搭接長度與不同搭接頁數(shù)下的紙張間總摩擦力實(shí)驗(yàn)值.當(dāng)紙張的搭接長度一定時(shí)，隨著搭接頁數(shù)的增加，摩擦力呈現(xiàn)急速增長的趨勢.在搭接過程中，固定住A4紙的寬度方向，沿其長度方向搭接.

圖1

表1 本文的總摩擦力實(shí)測結(jié)果(頁寬度D=21cm)

本實(shí)驗(yàn)并未采用搭接面積作為實(shí)驗(yàn)變量，主要是考慮到沿不同的搭接方向而保證搭接面積相同時(shí)，其拉力實(shí)測結(jié)果有很大差異.本文是就沿A4紙長度方向搭接的聯(lián)接結(jié)構(gòu)作分析的.

需要特別說明的是對于搭接長度、搭接頁數(shù)更大的情況，沒有實(shí)測數(shù)據(jù)，因?yàn)榭偟睦瓌?dòng)力超出了人力可及的范圍，需要平臥拉力機(jī)才能進(jìn)行實(shí)驗(yàn).作者曾試圖進(jìn)行垂直方向的拉伸實(shí)驗(yàn)，想使用常規(guī)的縱向拉力機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，但因垂直拉伸極大地減弱了頁面重力的作用，使得頁面之間的聯(lián)結(jié)變得松散，實(shí)驗(yàn)過程不好操控，最后放棄了這種實(shí)驗(yàn)方案.

表2是文獻(xiàn)[1]的水平拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)驗(yàn)方案與本文相同，只是A4紙張品牌不同，實(shí)驗(yàn)環(huán)境(溫度、濕度、大氣壓)不同，導(dǎo)致頁面間的物理參數(shù)稍有不同，在此一并進(jìn)行分析.

表2 文獻(xiàn) [1]的總摩擦力實(shí)測結(jié)果 (頁寬度 D=21cm)

2 摩擦力的機(jī)理分析與MATLAB數(shù)值擬合

2.1 摩擦力的機(jī)理分析與模型的建立

通過參閱大量的摩擦學(xué)文獻(xiàn)[210]，作者想建立起紙張間摩擦力的基本力學(xué)模型，然后結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，運(yùn)用 MATLAB軟件擬合得到摩擦力計(jì)算公式的基本參數(shù).

近現(xiàn)代以來，摩擦學(xué)理論有了很大的發(fā)展，作者對一部分摩擦學(xué)理論進(jìn)行了梳理，形成了本文的理論框架，以適用紙張間摩擦力的特殊性.根據(jù)機(jī)械嚙合理論，摩擦力主要是由表面的凹凸形狀所造成的，當(dāng)兩個(gè)表面接觸時(shí)，其凹凸部分互相嚙合而形成摩擦，即機(jī)械嚙合摩擦力[23].經(jīng)典的庫侖摩擦定律為

其中F機(jī)械為機(jī)械嚙合摩擦力，μ為由機(jī)械嚙合摩擦力所決定的摩擦系數(shù)，F(xiàn)N為正壓力.

對于本文的紙張間的摩擦力實(shí)驗(yàn)，總摩擦力的大小是頁面間摩擦力“疊加”的結(jié)果.由于頁面重力的影響，自上而下，兩張紙間的正壓力FN是逐步增加的，所以頁面間的摩擦力也是逐步增加的，需要推導(dǎo)出總摩擦力隨搭接長度變化及頁數(shù)變化的計(jì)算公式.首先以搭接頁數(shù)為4頁的結(jié)構(gòu)為例，來計(jì)算總摩擦力大小，如圖2所示，然后可推廣到計(jì)算M(每本裝訂冊為M/2頁)個(gè)頁面之間的總摩擦力.其中A0=L×D為沿A4紙長度方向搭接時(shí)，兩張相互摩擦的紙張之間的接觸面積.

圖2 搭接頁數(shù)M=4時(shí)總摩擦力計(jì)算示意圖

由于紙張的柔軟性，圖2中4個(gè)頁面實(shí)際上是貼在一起的.設(shè)ρ=0.08kg/m2為紙張的面密度，g為重力加速度，則第1,2兩頁紙間的摩擦力為F12=μρgA0,第 2,3 頁之間的摩擦力為 F23=2μρgA0，第3,4頁之間的摩擦力為F34=3μρgA0，因此，機(jī)械摩擦力因而可推出，當(dāng)搭接頁數(shù)為M 時(shí)，總的機(jī)械嚙合摩擦力為

即

從式 (3)可以看到，表達(dá)式中只有一個(gè)未知系數(shù)μ，通過用本文及文獻(xiàn)[1]中的實(shí)測結(jié)果對式(3)用最小二乘法擬合，得到的摩擦系數(shù)μ大于1，大量的文獻(xiàn)資料表明，機(jī)械嚙合摩擦力系數(shù)μ的范圍應(yīng)該在0至1之間.這表明，基于庫侖摩擦定律來分析紙頁之間的摩擦力應(yīng)該是不盡全面的，需要找到一種更為合理而又全面的摩擦理論來解釋紙張間的摩擦力的產(chǎn)生機(jī)理,這就需要摩擦二項(xiàng)式定律[4-6]

式中F分子為分子間吸引力，α是由分子間吸引力所決定的系數(shù)，A為物體相互摩擦作用的總面積.

在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著拉力的增加，紙張間的相互吸附現(xiàn)象趨于明顯，尤其隨著搭接頁數(shù)的增加，頁面吸附更為緊密，摩擦力增長更為迅速.由此，作者認(rèn)為應(yīng)該將式(4)中分子間吸引力的影響考慮進(jìn)來，才能使得計(jì)算模型更為合理.

為了將表1中摩擦力隨搭接頁數(shù)的增加而呈現(xiàn)出的急速增長趨勢表達(dá)出來，在考慮分子間吸引力的基礎(chǔ)上，本文將分子間吸引力的表達(dá)式重新定義為

(M?1)為總的相互接觸面的β次冪，以此體現(xiàn)摩擦力隨搭接頁數(shù)的增加而呈現(xiàn)出的快速指數(shù)式增長趨勢.再結(jié)合庫侖摩擦定律，將總的摩擦力F定義為

2.2 MATLAB數(shù)值擬合結(jié)果分析

再次應(yīng)用MATLAB對機(jī)械嚙合摩擦力所決定的系數(shù)μ和分子間吸引力所決定的系數(shù)α,β進(jìn)行最小二乘法擬合,結(jié)果如下.

2.2.1本文實(shí)驗(yàn)的數(shù)值擬合結(jié)果

其中系數(shù)μ約為0.62，與機(jī)械嚙合摩擦系數(shù)的取值范圍相符.系數(shù)α和β分別約為0.0042和3.以下是實(shí)驗(yàn)結(jié)果與MATLAB擬合結(jié)果的對比分析.

圖 3中的散點(diǎn)圖是本文實(shí)測的總摩擦力 F隨搭接長度L的變化情況；實(shí)線是半理論半經(jīng)驗(yàn)公式(7)的擬合曲線.由圖3可看出，除L很小時(shí)誤差稍大外，總摩擦力F與搭接長度L基本呈線性關(guān)系.

圖3 摩擦力F隨搭接長度L的變化趨勢

圖4的散點(diǎn)圖是本文實(shí)測的總摩擦力F隨搭接頁數(shù)M 的變化情況；實(shí)線是半理論半經(jīng)驗(yàn)公式(7)的擬合曲線.由圖4可看出，總摩擦力F與搭接頁數(shù)M 呈快速增長的非線性關(guān)系.實(shí)測值與模擬計(jì)算式(7)吻合很好.

圖4 摩擦力F隨搭接頁數(shù)M 的變化趨勢

圖5表示的是摩擦力F隨搭接長度L及搭接頁數(shù)M 變化的三維擬合圖像.散點(diǎn)圖是實(shí)驗(yàn)值，光滑曲面是由式(7)所繪的半理論半經(jīng)驗(yàn)擬合曲面.

圖5 摩擦力F隨搭接長度L與搭接頁數(shù)M 的變化趨勢

2.2.2 文獻(xiàn)[1]實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果

將本文的摩擦力計(jì)算模型應(yīng)用于文獻(xiàn)[1]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到如下的結(jié)果

其中機(jī)械嚙合摩擦力所決定的系數(shù) μ約為 0.28，與機(jī)械嚙合摩擦系數(shù)的取值范圍相符合，分子間吸引力所決定的系數(shù) α和 β分別約為 0.0017和 3.圖6～圖8是表2實(shí)驗(yàn)結(jié)果與式(8)的擬合結(jié)果的對比.

從圖6可看出，在搭接長度L很小時(shí)，實(shí)測數(shù)據(jù)與式(8)有較大偏差，當(dāng)搭接長度比較大時(shí)，總摩擦力F與搭接長度L基本呈線性關(guān)系.

從圖7可看出，總摩擦力F與搭接頁數(shù)M 呈快速增長的非線性關(guān)系.實(shí)測值與模擬計(jì)算式(8)吻合得很好.圖8表示的是文獻(xiàn)[1]的摩擦力F隨搭接長度L及搭接頁數(shù)M變化的三維擬合圖像.散點(diǎn)圖是實(shí)驗(yàn)值，光滑曲面是由式(8)所示的擬合曲面.

圖6 總摩擦力F隨搭接長度L的變化趨勢

式(7)與式(8)所擬合的兩種實(shí)驗(yàn)，即使實(shí)驗(yàn)方式完全相同，由于紙張品牌不同，實(shí)驗(yàn)環(huán)境(溫度、濕度、氣壓)不同，系數(shù)μ,α稍有差別，這是正常的結(jié)果.如果沿A4紙的寬度方向搭接，其頁面接觸緊密程度與沿長度方向搭接有很大不同，即使兩種方式的搭接面積相同，也會(huì)由于μ,α,β的擬合值不同導(dǎo)致總的拉動(dòng)力不同.

圖7 摩擦力F隨搭接頁數(shù)M 的變化趨勢

圖8 摩擦力F隨搭接長度L與搭接頁數(shù)M 的變化趨勢

2.2.3 摩擦力模型的應(yīng)用

針對文中引言部分提及的電視節(jié)目中兩本黃頁電話簿搭接在一起的實(shí)驗(yàn)，作者嘗試采用摩擦力計(jì)算式(6)進(jìn)行估算.對于機(jī)械嚙合摩擦力所決定的摩擦系數(shù)μ、分子間吸引力所決定的系數(shù)α以及系數(shù)β的取值由文獻(xiàn)[1]中實(shí)驗(yàn)與本文實(shí)驗(yàn)的MATLAB數(shù)值擬合結(jié)果的算術(shù)平均值給出.取式 (6)的系數(shù)μ=0.45，α=0.00295，β=3，那么

取黃頁電話簿的紙張密度為普通 A4紙的密度，即 ρ=0.08kg/m2；頁寬度取 A4紙的長度方向，D=30cm；搭接長度取A4紙寬度方向的一半，L=10cm.由于不能得到黃頁電話簿的詳細(xì)搭接頁數(shù)，在此，將搭接頁數(shù)作為變量區(qū)間處理，得到摩擦力F計(jì)算值列于表3.

由表 3可以得出，當(dāng)搭接頁數(shù)由600頁(每本300頁)增加至1000頁(每本500頁)時(shí)，摩擦力由20kN(約 2噸)增加至 90kN(約 9噸)，與電視節(jié)目中的最大牽引力72500N(約7.25噸)處于同一數(shù)量級，可見模型式(6)計(jì)算值與實(shí)測值有很好的一致性.

表3 摩擦力隨搭接頁數(shù)變化的模型計(jì)算值

3 結(jié)論

(1)本文通過大量的實(shí)驗(yàn)測得了在不同搭接長度與不同搭接頁數(shù)下，兩本書(A4紙裝訂本)搭接在一起時(shí)的總摩擦力.

(2)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：總摩擦力F隨著搭接長度L的增大而線性增大；隨著搭接頁數(shù)M的增大快速增大，呈現(xiàn)指數(shù)式增大的趨勢.

(3)利用兩套實(shí)驗(yàn)結(jié)果，結(jié)合MATLAB軟件的擬合，給出了兩個(gè)半理論半經(jīng)驗(yàn)的總摩擦力計(jì)算公式.并利用模型公式對電視節(jié)目中的摩擦力實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出了理論計(jì)算，與現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很好的吻合度.利用這些公式，也可以對其他的書頁搭接情況做出分析和估算，可為這種特殊聯(lián)接工藝的設(shè)計(jì)作出計(jì)算參考.

致謝感謝楊嘉陵教授、周宏偉教授對本工作的肯定和啟發(fā)，感謝劉兵權(quán)、劉小珍、史久暢、朱天賜、李坤其、王之東對本文工作的幫助.

1蔣昱行，成果，廖威等.兩本相互交疊的書之間摩擦力的實(shí)驗(yàn)測試.北京力學(xué)會(huì)第19屆學(xué)術(shù)年會(huì)，北京，2013

2溫詩鑄，黃平.摩擦學(xué)原理(第4版).北京：清華大學(xué)出版社，2012

3張嗣偉.基礎(chǔ)摩擦學(xué).東營：中國石油大學(xué)出版社，2000

4崔海霞，陳建敏，周慧娣.奇妙的摩擦世界.北京：科學(xué)出版社，2010

5余俊，徐真，趙冬初等.摩擦學(xué).長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1984

6黃平，孟永鋼，徐華.摩擦學(xué)教程.北京：高等教育出版社，2008

7劉正林.摩擦學(xué)原理.北京:高等教育出版社，2009

8溫詩鑄.納米摩擦學(xué).北京：清華大學(xué)出版社，1998

9 Bhushan B.摩擦學(xué)導(dǎo)論.葛世榮譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006

10葛世榮，朱華.摩擦學(xué)的分形.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005

FRICTION MECHANISMS OF OVERLAPPED SHEETS OF TWO BOOKS UNDER HORIZONTAL UNIAXIAL TENSION

WEI Mengxi1)LI Liyun2)WANG Bonan WANG Yuanyuan WANG Xue ZHANG Xiaofeng
(School of Mechanics and Civil Engineering,China University of Mining and Technology(Beijing),Beijing 100083,China)

Combining two books by overlapping alternately their sheets,the integrated structure generates a great friction between the paper sheets when both spines are under horizontal tensile force.The correlation between the length of overlapping and the number of sheets of overlapping is obtained by experiments.A semitheoretical and semi-empirical friction calculation formula is obtained by the MATLAB numerical simulation and the predictions are in good agreement with the experimental data.The formula could provide a reasonable and reliable prediction of the ultimate bearing capacity for the integrated structure.

overlapped book sheets，friction，binomial law of friction，least square fitting

O313.5

A

10.6052/1000-0879-17-140

2017–05–02收到第1稿，2017–06–12 收到修改稿.

1)E-mail:13681411932@163.com

2)黎立云，教授，主要從事斷裂與強(qiáng)度力學(xué)研究.E-mail:lly@cumtb.edu.cn

衛(wèi)夢希,黎立云,王博楠等.書頁搭接之摩擦力研究.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(6):597-601

Wei Mengxi,Li Liyun,Wang Bonan,et al.Friction mechanisms of overlapped sheets of two books under horizontal uniaxial tension.Mechanics in Engineering,2017,39(6):597-601

(責(zé)任編輯:胡 漫)