KooN表決結(jié)構(gòu)多階段馬爾可夫模型簡(jiǎn)化算法

王海清, 喬丹菊, 劉祥妹, 許小林

(1.中國(guó)石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島 266580; 2.中國(guó)石油獨(dú)山子石化公司,新疆獨(dú)山子 833699)

KooN表決結(jié)構(gòu)多階段馬爾可夫模型簡(jiǎn)化算法

王海清1, 喬丹菊1, 劉祥妹1, 許小林2

(1.中國(guó)石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島 266580; 2.中國(guó)石油獨(dú)山子石化公司,新疆獨(dú)山子 833699)

針對(duì)傳統(tǒng)多階段馬爾可夫模型CMM(conventional multi-phase Markov)在建模過(guò)程中存在分析過(guò)程復(fù)雜、維數(shù)爆炸等問(wèn)題,提出一種多階段馬爾可夫模型簡(jiǎn)化算法SMM(simplified muti-phase Markov)。對(duì)該方法與CMM方法、IEC61508解析式方法中的計(jì)算負(fù)荷與精度進(jìn)行數(shù)值分析。結(jié)果表明:采用SMM方法的計(jì)算結(jié)果與CMM方法的基本一致,在維持計(jì)算精度的同時(shí)避免了CMM方法中復(fù)雜的多階段馬爾可夫建模過(guò)程,極大地降低了計(jì)算量,使得安全儀表系統(tǒng)中失效概率計(jì)算更加快速且準(zhǔn)確。

多階段馬爾可夫模型; 異型冗余設(shè)備; SMM方法; 失效順序

安全聯(lián)鎖系統(tǒng)是降低石化裝置風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)鍵技術(shù)措施,其中異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的需求失效概率計(jì)算一直是難點(diǎn)問(wèn)題。安全儀表系統(tǒng)(safety instrumented system, SIS)是在發(fā)生危險(xiǎn)事件時(shí)通過(guò)執(zhí)行特定安全儀表功能避免或降低因事故造成的人員、設(shè)備、環(huán)境等損失的安全控制系統(tǒng)。馬爾可夫模型是安全儀表功能回路(safety instrumented function,SIF)可靠性建模的主流方法之一。工程實(shí)際中,由于子系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)會(huì)隨著階段測(cè)試發(fā)生改變,故對(duì)執(zhí)行多次測(cè)試的SIS系統(tǒng)行為進(jìn)行建模時(shí),傳統(tǒng)的馬爾可夫模型具有一定的局限性,通常需采用多階段馬爾可夫建模方法。目前,Markov建模方法研究大都不考慮異型冗余、在線局部測(cè)試、失效順序的影響,當(dāng)分析較復(fù)雜的冗余結(jié)構(gòu)時(shí),建模過(guò)程易出錯(cuò)、計(jì)算也更為復(fù)雜而不可行。郭海濤等[1]提出用馬爾可夫模型計(jì)算安全儀表系統(tǒng)可靠性指標(biāo),通過(guò)對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)先迭代相乘降低計(jì)算量;Mechri等[2]通過(guò)使用轉(zhuǎn)換馬爾可夫鏈并考慮共因失效,非完全測(cè)試等因素建立更為全面的安全儀表系統(tǒng)不可用性模型;Innal等[3]提出受部分測(cè)試和全周期測(cè)試影響的多階段馬爾可夫模型。Brissaud等[4]基于簡(jiǎn)化公式,考慮部分測(cè)試和全周期測(cè)試的影響,提出同型KooN結(jié)構(gòu)的失效概率計(jì)算公式;Jin等[5]對(duì)文獻(xiàn)中的公式做了擴(kuò)展,融入了共因失效的影響;Zhang等[6]建立了異型設(shè)備構(gòu)成的2oo3結(jié)構(gòu)的馬爾可夫模型,但未推導(dǎo)出KooN結(jié)構(gòu)的Markov模型。鑒于此,筆者提出一種全新的簡(jiǎn)化算法SMM,以連續(xù)多階段馬爾可夫模型[7]為框架,綜合考慮在線局部測(cè)試、異型冗余和失效順序等多個(gè)影響因素,創(chuàng)新推導(dǎo)出KooN異型冗余表決結(jié)構(gòu)的多階段馬爾可夫模型簡(jiǎn)化算法,在避免復(fù)雜建模過(guò)程的同時(shí)維持計(jì)算精度。

1 異型冗余結(jié)構(gòu)的多階段馬爾可夫模型簡(jiǎn)化算法

目前,SIS的現(xiàn)場(chǎng)檢驗(yàn)測(cè)試一般分為在線局部測(cè)試和離線周期測(cè)試[3]。系統(tǒng)的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效由兩部分構(gòu)成,其中由在線局部測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)失效簡(jiǎn)稱PT失效,另一部分由離線周期測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)失效簡(jiǎn)稱FT失效。危險(xiǎn)未檢測(cè)失效率為

λDU=λPT+λFT=θλDU+(1-θ)λDU.

(1)

式中,λPT為在線局部測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;λFT為離線周期測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;θ為λPT占λDU的比率。

由于PT失效和FT失效的檢測(cè)周期不同,故系統(tǒng)失效順序會(huì)影響平均停止工作時(shí)間。在簡(jiǎn)化多階段馬爾可夫模型時(shí),應(yīng)先確定不同失效順序?qū)?yīng)的不同平均停止工作時(shí)間,然后計(jì)算每種失效順序的平均需求失效概率,并對(duì)所有失效順序的失效概率求和得到KooN結(jié)構(gòu)的失效概率,其算法流程見圖1。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,除最后一個(gè)失效元件考慮危險(xiǎn)檢測(cè)失效外,其他之前已發(fā)生失效的元件的危險(xiǎn)檢測(cè)失效均被忽略。KooN結(jié)構(gòu)的失效順序可以歸結(jié)為3類:

(1)首個(gè)元件發(fā)生PT失效。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)元件發(fā)生PT失效時(shí),接下來(lái)無(wú)論失效序列為何種類型,失效一定發(fā)生在在線局部測(cè)試間隔TPT內(nèi),考慮維修的影響,則第i個(gè)發(fā)生未檢測(cè)失效(PT失效或 FT失效)元件的平均停止工作時(shí)間為

(2)

式中,MRTPT為PT失效的平均維修時(shí)間。

當(dāng)首個(gè)元件發(fā)生PT失效時(shí),異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的失效概率[8-10]為

(λDU,an-k+1tPT,n-k+1+λDD,an-k+1MTTR),n>k,

(3)

λDU,ax=λPT,ax+λFT,ax,

(4)

(5)

式中,在ax中x表示第x個(gè)失效元件,其中對(duì)任意x有ax∈[1,n],即第x個(gè)失效元件可以是元件1到n中任意一個(gè);λDU,a1為第1個(gè)失效元件的在線局部測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;λDU,ax為第x個(gè)失效元件的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;λPT,ax為第x個(gè)失效元件的在線局部測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;λFT,ax為第x個(gè)失效元件的離線周期測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;λDD,an-k+1為第n-k+1個(gè)失效元件的已檢測(cè)危險(xiǎn)失效率。

(2)所有元件均發(fā)生FT失效。所有失效均發(fā)生在離線周期測(cè)試間隔T1內(nèi),考慮維修的影響,則第i個(gè)FT失效元件的平均停止工作時(shí)間為

(6)

式中,MRTFT為FT失效的平均維修時(shí)間。

則當(dāng)所有元件均發(fā)生FT失效時(shí),異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的失效概率為

其中

(7)

式中,λPT,al為第l個(gè)失效元件的離線周期測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;tFT,l為第l個(gè)失效元件的離線周期測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效的平均停止工作時(shí)間;λFT,an-k+1為第n-k+1個(gè)失效元件的離線周期測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率;λPT,an-k+1為第n-k+1個(gè)失效元件的在線局部測(cè)試檢測(cè)出的未檢測(cè)危險(xiǎn)失效率。

(3)從首個(gè)失效元件開始連續(xù)發(fā)生s個(gè)FT失效,隨后發(fā)生1個(gè)PT失效。由于該P(yáng)T失效元件與之前發(fā)生的s個(gè)FT失效的失效區(qū)間不一致,較前兩種情況分析復(fù)雜,假設(shè)離線周期測(cè)試時(shí)間間隔比在線局部測(cè)試時(shí)間間隔大很多,因此在計(jì)算該P(yáng)T失效的平均停止工作時(shí)間時(shí),忽略FT失效數(shù)量,均近似看作發(fā)生s=1個(gè)FT失效后發(fā)生PT失效的平均停止工作時(shí)間[9]。

假設(shè)在一個(gè)離線周期測(cè)試間隔內(nèi)執(zhí)行m次在線局部測(cè)試(T1=mTPT)且每個(gè)在線局部測(cè)試階段的開始時(shí)刻均初始化為0,故無(wú)論P(yáng)T失效發(fā)生在任何階段,積分區(qū)間均為[0,TPT],而FT失效的失效時(shí)間則須累積增加t+jTPT(其中j=1,2,3,…,m-1),因此失效順序?yàn)镕T-PT的平均失效概率為

(8)

概率密度函數(shù)為

(9)

發(fā)生1個(gè)FT失效,隨后發(fā)生一個(gè)PT失效,則此PT失效的平均停止工作時(shí)間為

(10)

該P(yáng)T失效發(fā)生后,接下來(lái)元件的失效順序無(wú)論為何種類型,失效一定發(fā)生在部分測(cè)試間隔TPT內(nèi);與式(1)不同的是在計(jì)算第i個(gè)失效元件的平均停止工作時(shí)間時(shí),其失效數(shù)應(yīng)以發(fā)生第一個(gè)PT失效算起,即i-s,因此,第i個(gè)失效元件的平均停止工作時(shí)間為

(11)

則從首個(gè)失效元件開始連續(xù)發(fā)生s個(gè)FT失效,隨后發(fā)生1個(gè)PT失效時(shí),異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的失效概率為

(12)

綜上所述,基于多階段馬爾可夫模型的異型冗余結(jié)構(gòu)PFD簡(jiǎn)化計(jì)算公式[8-10]為

(13)

圖1 SMM算法流程Fig.1 Flow chart of SMM approach

整個(gè)導(dǎo)出的SMM的計(jì)算流程如圖1所示。首先計(jì)算出失效元件均為PT失效時(shí)的需求失效概率PFD3,然后依據(jù)n-k的值判斷計(jì)算首個(gè)元件發(fā)生PT失效時(shí)的計(jì)算式PFD1、PFD2,若n-k>1,則須進(jìn)一步計(jì)算首個(gè)元件開始連續(xù)發(fā)生s個(gè)FT失效,隨后發(fā)生1個(gè)PT失效的失效概率PFD4,按照此流程最后得出異型冗余結(jié)構(gòu)的失效概率。

2 在線局部測(cè)試與元件失效順序的影響對(duì)比

以IEC61508為指導(dǎo),考慮在線局部測(cè)試對(duì)PFD計(jì)算的影響,推導(dǎo)出異型冗余系統(tǒng)PFD計(jì)算模型為

(14)

由式(14)可知,當(dāng)TPT=T1時(shí),無(wú)在線局部測(cè)試,系統(tǒng)僅執(zhí)行離線周期測(cè)試;當(dāng)T1=mTPT(m>1)時(shí)，即一次離線周期測(cè)試間隔內(nèi)執(zhí)行m次在線局部測(cè)試?？梢?m越大(在線局部測(cè)試間隔越小),系統(tǒng)的失效概率也逐漸減小。目前,由于很多企業(yè)也通過(guò)采用在線局部測(cè)試策略以延長(zhǎng)離線周期測(cè)試周期，為了準(zhǔn)確評(píng)估系統(tǒng)的失效概率有必要在推導(dǎo)簡(jiǎn)化算法時(shí)考慮在線局部測(cè)試的影響。

此外,IEC61508標(biāo)準(zhǔn)中給出的簡(jiǎn)化公式忽略了失效順序?qū)γ總€(gè)失效元件的平均停止工作時(shí)間的影響,則其第i個(gè)發(fā)生失效的通道ai的平均停止工作時(shí)間[11]為

(15)

實(shí)際應(yīng)用中,系統(tǒng)每個(gè)失效元件的平均停止工作時(shí)間會(huì)受到元件失效順序的影響。為方便說(shuō)明,以同型1oo2結(jié)構(gòu)為例,采用IEC61508方法,求得的1oo2結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效的平均停止工作時(shí)間為

(16)

假設(shè)所有元件失效率均相同,采用SMM方法,求得1oo2結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的平均停止工作時(shí)間為

(17)

根據(jù)以上分析可知,在線局部測(cè)試和元件失效順序均是失效概率計(jì)算不可忽略的重要影響因素。

3 SMM模型計(jì)算負(fù)荷與精度的數(shù)值分析

為了研究CMM、SMM、IEC61508三種方法的計(jì)算負(fù)荷,推導(dǎo)出3種方法計(jì)算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所需浮點(diǎn)次數(shù)(floating-point operations per second,FLOPS)公式[12]。

IEC61508計(jì)算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)所需浮點(diǎn)次數(shù)SIEC為

(18)

由于一個(gè)N×N的矩陣相乘一次需要2N3次浮點(diǎn)運(yùn)算,而且采用CMM方法時(shí),計(jì)算t小時(shí)的失效概率時(shí)矩陣需相乘t次,因此,計(jì)算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)所需浮點(diǎn)次數(shù)SCMM為

(19)

SMM模型中計(jì)算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)所需浮點(diǎn)次數(shù)SSMM為

(20)

幾種常見結(jié)構(gòu)在不同方法下計(jì)算失效概率時(shí)所需浮點(diǎn)次數(shù)見表1。如表1所示IEC61508和SMM方法的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于CMM方法的。

表1 浮點(diǎn)次數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

除了要保證計(jì)算負(fù)荷外,計(jì)算精度也是工程實(shí)際應(yīng)用中備受關(guān)注的問(wèn)題。假設(shè)所有元件失效率均相同,λDU=2×10-6,λDD=3×10-6,θ=0.6,MTTR=MRTPT=MRTFT=8 h,TPT=2 190 h,T1=17 520 h,利用SMM、CMM、IEC61508計(jì)算幾種不同結(jié)構(gòu)的失效概率,并求出不同方法之間的相對(duì)誤差,對(duì)比結(jié)果見圖2。由圖2可知,采用SMM的相對(duì)誤差明顯小于IEC61508,計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖2 幾種KooN結(jié)構(gòu)不同方法之間的相對(duì)誤差Fig.2 Relative error of different approaches for several KooN architectures

4 實(shí)例分析

某化學(xué)反應(yīng)器的高溫/高壓保護(hù)系統(tǒng)如圖3所示。該系統(tǒng)由1oo2表決結(jié)構(gòu)的壓力傳感器、2oo3表決結(jié)構(gòu)的溫度傳感器、1oo2表決結(jié)構(gòu)的邏輯運(yùn)算器和1oo3表決結(jié)構(gòu)的閥門子系統(tǒng)構(gòu)成,相應(yīng)的設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)見表2,其中θ=0.6,MTTR=MRTPT=MRTFT=8 h,離線周期測(cè)試T1=17 520 h(該SIF結(jié)構(gòu)也可以理解為兩個(gè)獨(dú)立SIF結(jié)構(gòu)的串級(jí)觸發(fā),后續(xù)將另文分析其量化差別)。當(dāng)反應(yīng)儲(chǔ)罐中的壓力或溫度超過(guò)限值時(shí),傳感器組(壓力和溫度傳感器)將通過(guò)邏輯運(yùn)算器發(fā)送關(guān)斷信號(hào)給閥門子系統(tǒng),避免造成反應(yīng)失控。圖4為該保護(hù)系統(tǒng)的可靠性框圖。

圖3 化學(xué)反應(yīng)高溫高壓保護(hù)系統(tǒng)Fig.3 HT/HP protection system of chemical reactor(CRPS)

為了分析計(jì)算效率的影響,根據(jù)式(18)～(20),以1oo3結(jié)構(gòu)為例求取不同方法計(jì)算失效概率時(shí)所需的浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù),如圖5所示。用IEC61508方法計(jì)算所需浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)為179次,用SMM方法計(jì)算為254次,且兩種方法浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)不受時(shí)間變化的影響。而CMM方法計(jì)算系統(tǒng)運(yùn)行1 a時(shí)的失效概率運(yùn)算次數(shù)已達(dá)到1.914×1010次,且隨著時(shí)間增加呈線性增長(zhǎng)。此外,在多階段馬爾可夫模型中,當(dāng)系統(tǒng)單元數(shù)量較多時(shí),其轉(zhuǎn)移矩陣維數(shù)會(huì)成指數(shù)性增長(zhǎng),如圖6所示。當(dāng)單元數(shù)量為7時(shí),轉(zhuǎn)移矩陣的維數(shù)為1.386×106達(dá)到了百萬(wàn)級(jí)。采用本文中提出的SMM方法可以顯著地提高計(jì)算效率,減小計(jì)算負(fù)荷。

表2 HT/HP保護(hù)系統(tǒng)設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)Table 2 Data on HT/HP protection system equipment reliability

圖4 HT/HP保護(hù)系統(tǒng)的可靠性框圖Fig.4 Reliability block diagram of HT/HP protection system

圖5 不同方法計(jì)算所需浮點(diǎn)次數(shù)的變化趨勢(shì)Fig.5 Different trends of FLOPS using different approaches

圖6 系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣維數(shù)隨系統(tǒng)單元數(shù)的變化Fig.6 System transfer matrix dimension with number of system units

分別利用CMM方法、SMM方法和IEC61508方法計(jì)算出傳感器組、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的需求失效概率,計(jì)算結(jié)果見表3。對(duì)于1oo2結(jié)構(gòu),當(dāng)TPT=8 760 h時(shí),SMM與CMM的相對(duì)誤差為2.1%,IEC61508與CMM的相對(duì)誤差為11.38%,后者約為前者的5倍;當(dāng)TPT=730 h時(shí),二者的相對(duì)誤差最小,SMM與CMM的相對(duì)誤差為1.4%,IEC61508與CMM的相對(duì)誤差為4.87%,后者仍為前者的3倍多。IEC 61508與CMM方法之間的相對(duì)誤差明顯高于SMM與CMM之間的相對(duì)誤差,盡管隨著測(cè)試間隔的減小,二者相對(duì)誤差均有減小的趨勢(shì),但差異仍然很大。綜合計(jì)算負(fù)荷和計(jì)算精度兩方面考慮,采用SMM方法可以在保證計(jì)算負(fù)荷最小的前提下得到較高的計(jì)算精度,而且采用SMM方法求得的需求失效概率比CMM方法的略大,非常適合實(shí)際工程應(yīng)用中兼顧計(jì)算負(fù)荷和風(fēng)險(xiǎn)保守的需求。

表3 三種不同模型的需求失效概率計(jì)算結(jié)果對(duì)比

5 結(jié) 論

(1)綜合考慮在線局部測(cè)試間隔、異型冗余等影響可靠性的諸多因素,構(gòu)建的SMM計(jì)算模型在不損失計(jì)算精度的前提下,大大減少了計(jì)算量,提高了計(jì)算速度。而且SMM方法比CMM方法結(jié)果略大,從風(fēng)險(xiǎn)控制的角度更趨保守和安全。

(2)系統(tǒng)的在線局部測(cè)試間隔與SMM和CMM方法之間的相對(duì)誤差成正比,縮短在線局部測(cè)試間隔,不僅可以提高SMM方法的精確度,且可以在不改變硬件的條件下提高系統(tǒng)的可靠性,延長(zhǎng)功能測(cè)試周期,提高經(jīng)濟(jì)效益。

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MA Ben, SUN Ziqiang. Quantitative assessment of safety integrity levels based on MBF model[J]. Journal of East China University of Science and Technology(Natural Science Edition), 2016,42(1):97-103.

Asimplifiedmulti-phaseMarkovmodelwithKooNstructure

WANG Haiqing1, QIAO Danju1, LIU Xiangmei1, XU Xiaolin2

(1.CollegeofMechanicalandElectronicEngineeringinChinaUniversityofPetroleum,Qingdao266580,China;2.PetroChinaDushanziPetrochemicalCompany,Dushanzi833699,China)

As the analysis process for the conventional multi-phase Markov (CMM) model is complicated and the dimension explosion may occur, a simplified multi-phase Markov(SMM) approach is proposed in the present study. The numerical analysis is performed to analyze the computational efficiency and accuracy based on this new method, CMM method and IEC61508 analytical formula. The results show that the calculation results by SMM are in good agreement with those of CMM, the former method maintains the calculation accuracy without complicated multi-phase Markov modeling procedure, making the failure probability calculation more quick and accurate.

multi-phase Markov model； non-identical redundant components； SMM approach； failure sequence

2017-01-28

山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR201702160283);國(guó)家重大科技專項(xiàng)(D719-ZGSY-555)

王海清(1974-),男,教授,博士,研究方向?yàn)榘踩珒x表系統(tǒng)、工藝災(zāi)害分析、報(bào)警管理和可靠性RAM分析等。E-mail:wanghaiqing@upc.edu.cn。

1673-5005(2017)06-0147-07

10.3969/j.issn.1673-5005.2017.06.018

X 924.4

A

王海清,喬丹菊,劉祥妹,等. KooN表決結(jié)構(gòu)多階段馬爾可夫模型簡(jiǎn)化算法[J]. 中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2017,41(6):147-153.

WANG Haiqing, QIAO Danju, LIU Xiangmei, et al.A simplified multi-phase Markov model with KooN structure[J]. Journal of China University of Petroleum (Edition of Natural Science), 2017,41(6):147-153.

(編輯 沈玉英)