多元函數(shù)微分學(xué)中幾個(gè)易混淆的問題探究

張坤

摘 要：多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的拓展。研究多元函數(shù)的極限、偏導(dǎo)、微分是在一元函數(shù)微分學(xué)上自然的推廣，但其中也有區(qū)別。本文主要以舉例的方式探究多元函數(shù)偏導(dǎo)存在與連續(xù)、可微的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：多元函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù) 全微分

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）12-0020-01

1 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系

在一元函數(shù)中函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)則其在這點(diǎn)必連續(xù)，但多元函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在而函數(shù)在這一點(diǎn)不一定連續(xù)。

舉例： 函數(shù)f（x，y）= ， x2+y2≠00， x2+y2=0

根據(jù)二元函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)定義得：

fx（0，0）=

=

= = 0

同理可得fy（0，0）=lim△y→0 =0，該函數(shù)

在（0，0）點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

但lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=lim（x，y）→（0，0）

limx→0 =

該值與實(shí)數(shù)k有關(guān)，不唯一，極限不存在，則該函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處不連續(xù)。

反之，多元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)其在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)也不一定存在。

舉例：函數(shù)f（x，y）=

在點(diǎn)（0，0）處有l(wèi)im（x，y）→（0，0）f（x，y）=

= 0 = f（0，0）

而fx（0，0）=lim△x→0

=lim△x→0

=lim△x→0 （極限不存在）

同理fy（0，0）也不存在。

2 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)可微的關(guān)系

根據(jù)多元函數(shù)可微的必要條件（以二元函數(shù)為例）：若函數(shù)z=f（x，y）在P（x0，y0）處可微分，則函數(shù)在P（x0，y0）處的偏導(dǎo)數(shù) 和 存在，且函數(shù)z=f（x，y）在P（x0，y0）處的全微分為

dz=fx（x0，y0）△x+fy（x0，y0）△y=fx（x0，y0）dx+fy（x0，y0）dy?？芍瘮?shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)必存在。

反之，偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微。

舉例：函數(shù)f（x，y）= ， x2+y2≠00， x2+y2=0

在（0，0）點(diǎn)處fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，即函數(shù)偏導(dǎo)是存在的，但△z-dz=f（0+△x.0+△y）-f（0，0）-fx（0，0）△x+fy（0，0）△y

=

在△x→0，△y→0時(shí)，ρ= →0的過程中，當(dāng)沿著y=kx路徑趨于（0，0）點(diǎn)時(shí)，

= =

= = 不趨于0

即△z-dz不是ρ的高階無窮小，從而由微分的定義知函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處不可微。

3 總結(jié)

學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)內(nèi)容時(shí)，常常注重對(duì)多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、偏微分、全微分的計(jì)算或證明，往往忽略了它們之間的相互關(guān)系，本文通過舉反例的形式探究了多元函數(shù)偏導(dǎo)存在與連續(xù)的關(guān)系（多元函數(shù)偏導(dǎo)存在不一定連續(xù)，連續(xù)也不一定偏導(dǎo)存在）、多元函數(shù)偏導(dǎo)存在與可微的關(guān)系（多元函數(shù)偏導(dǎo)存在不一定可微，可微則偏導(dǎo)必存在）。

參考文獻(xiàn)：

[1] 韓天勇，施達(dá)，楊洪，等編.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）修訂版[M].第2版.北京：科學(xué)出版社，2010：60-68.

[2] 劉玉璉，編.數(shù)學(xué)分析講義[M].第四版.北京： 高等教育出版社，2003：155-164.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，編.高等數(shù)學(xué)[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014.

[4] 蘇德礦，應(yīng)文隆，編.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)講義[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2016.