具有垂直傳播及感染期的乙肝傳播模型

陶玉杰，馮賀平

(1.通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134000;2.河北軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能工程系，河北 保定 071000)

具有垂直傳播及感染期的乙肝傳播模型

陶玉杰1，馮賀平2

(1.通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134000;2.河北軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能工程系，河北 保定 071000)

研究具有垂直傳播和感染期的乙肝病毒感染模型,考慮了發(fā)生率函數(shù)為非線性時(shí)模型的性質(zhì)，以乙肝的平均感染期作為時(shí)滯，利用Routh-Hurwite判別法得到了系統(tǒng)的疾病消失的平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的條件,找到了基本再生數(shù)R0,通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù),證明了地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.

乙肝模型;時(shí)滯;全局漸近穩(wěn)定;非線性發(fā)生率;垂直傳播

由乙肝病毒引起的乙型肝炎在世界范圍內(nèi)流行,乙肝感染威脅人類的健康,兒童及青壯年特別容易受到病毒的侵襲[1].乙型肝炎在中國(guó)流行廣泛,是一種危害很大的疾病[2].因此,研究乙肝的流行趨勢(shì)、傳播規(guī)律及有效控制它的傳播是亟待解決的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)模型在傳染病的傳播方式及疾病的控制研究方面有著重要的應(yīng)用[3-4].用數(shù)學(xué)模型描述乙肝的傳播動(dòng)態(tài)能夠?yàn)橐腋蔚念A(yù)防和控制提供一定的參考[5-7].周蘭等[8]提出了適合中國(guó)國(guó)情的乙肝傳播動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型;龐建華等[9]通過(guò)模型分析了疫苗及其他的控制手段對(duì)控制乙肝傳播的影響;王開(kāi)發(fā)等[10]提出了在有限區(qū)域內(nèi)帶有擴(kuò)散及時(shí)滯的乙肝病毒感染模型;馬之恩等[11]研究了具有空間分布及飽和發(fā)生率的乙肝傳播模型;邱志鵬等[12]研究表明,雖然乙肝接種的增加直接影響艾滋病毒傳播的減少,但是乙肝接種比例增加可能間接導(dǎo)致 HIV 流行的異常加速.

1 模型介紹

乙肝不僅通過(guò)日常生活傳播,更主要的是家族之間的垂直傳播.中國(guó)的乙肝患者中30%～50%是母嬰之間垂直傳播的.感染乙肝病毒的父母生育的新生兒在一出生的時(shí)候就可能已經(jīng)被感染,導(dǎo)致乙肝的傳播即具有水平傳播又有垂直傳播的特性[13-14].

在本文中,考慮了具有垂直傳播、非線性發(fā)生率βSpI及乙肝病毒感染期的乙肝傳播模型(1).模型中考慮了對(duì)乙肝感染者的連續(xù)治療策略,假設(shè)S(t)、I(t) 及R(t)分別表示t時(shí)刻的乙肝易感者、乙肝病毒感染者以及康復(fù)者的數(shù)量.具體模型如下:

S′(t)=bm(S+R)-βSpI-bS+q′δI,

I′(t)=βSpI-βe-δτSp(t-τ)I(t-τ)+qδI-δI-γI-αI,

(1)

R′(t)=γI+βe-δτSp(t-τ)I(t-τ)-bR+bR+bm′(S+R)+αI.

模型的參數(shù)意義如下:

1)t時(shí)刻人口總數(shù)N=S+I+R,假設(shè)易感者和康復(fù)者生育的新生兒為易感者，感染者生育的沒(méi)有被感染的新生兒也為易感者.

2)常數(shù)b>0表示乙肝感染者及康復(fù)者的出生率及死亡率，δ表示感染者的出生率和死亡率.正常數(shù)γ為乙肝感染者的自然恢復(fù)率，q(q≤1)為乙肝感染者的垂直傳播率,記q′=1-q，q′

3)βSpI表示易感者與乙肝病毒攜帶者接觸的發(fā)生率,其中β為乙肝患者與易感者接觸的有效傳染率.τ>0為乙肝病毒的平均感染期，βe-bτSp(t-τ)I(t-τ)表示經(jīng)過(guò)感染期τ后康復(fù)的個(gè)體數(shù)量.

2 主要結(jié)果

2.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

S′(t)=bm(1-I)-βSpI-bS+q′δI，

(2)

I'(t)=βSpI-βe-δτSp(t-τ)I(t-τ)qδI-δI-γI-αI.

定義

(3)

定理1如果R0<1,對(duì)所有的τ≥0,系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0(m,0) 局部漸近穩(wěn)定;如果R0>1,無(wú)病平衡點(diǎn)E0(m,0) 不穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)滿足下面的方程:

bm(1-I)-βSpI-bS+q′δI=0;

(4)

βSpI-βe-δτSpI+qδI-δI-γI-αI=0.

顯然，系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)為E0(m,0).在平衡點(diǎn)E0(m,0) 處將系統(tǒng)線性化,令S(t)=X(t)+m，I(t)=Y(t),則

X′(t)=-bX(t)+(q′δ-βm-bm)Y(t),

Y′(t)=(βmp+qδ-δ-γ-α)Y(t)-βe-δτmpT(t-τ).

可以得到上面特征方程的其中一個(gè)特征根為λ1=-b<0,而另外一個(gè)特征根λ2由下面方程λ-βmp+βmpe-(δ+λ)τ+δ+γ+α-qδ=0決定.

令f(λ)=λ-βmp-βmpe-(δ+λ)τ+δ+γ+α-qδ，如果R0>1,對(duì)于實(shí)數(shù)λ,可得

因此，f(λ) =0 有一個(gè)正實(shí)根.故如果R0>1,無(wú)病平衡點(diǎn)E0(m,0) 不穩(wěn)定.

若R0<1，平衡點(diǎn)E0(m,0)局部穩(wěn)定.否則，Reλ≥0 與Reλ=(δ+γ+α-qδ)(R0e-Reλτcos(lnλτ)-1)≤(δ+γ+α-qδ)(R0-1)矛盾.因此,當(dāng)R0<1時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定.

定理2如果R0<1,對(duì)所有τ≥0,系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0(m,0) 全局漸近穩(wěn)定.

2.2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

如果R0>1,系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn)E1(S*，I*),其中

得到下面結(jié)論:

定理3如果R0>1,條件(7)及(9)滿足,則對(duì)于所有的τ≥0,系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)E1(S*，I*)全局漸近穩(wěn)定.

證明 令S(t)=X(t)+S*，I(t)=Y(t)+I*,得到線性化系統(tǒng)

由線性化系統(tǒng)得特征方程

λ2+Aλ+B+(Cλ+D)e-λτ=0,

(5)

其中

A=δ+γ+α-qδ-βS*p+βe-δτS*p+b,

B=(b+βI*S*p-1)(δ+γ+α-qδ-βS*p)+βI*S*(p-1)(βS*p+bm-q′δ),

C=βS*pe-δτ,

D=(b+βI*S*p-1)βS*pρ-δτ-(βS*p+bm-q′δ)βe-δτI*S*(p-1).

當(dāng)τ=0時(shí),特征方程變?yōu)?/p>

λ2+(A+C)λ+(B+D)=0

(6)

由式(5)可以看到當(dāng)且僅當(dāng)

A+C>0,B+D>0,

(7)

所有的特征根都是負(fù)的.

當(dāng)τ≠0 時(shí),如果λ=ωi是特征方程(5)的根,有

-ω2+De-ωτi+Aωi+B+Dωe-ωτi=0,

分離實(shí)部與虛部,得到

B-ω2+Cωsinωτ+Dcosωτ=0,

Aω+Cωcosωτ-Dsinωτ=0.

將上面的2個(gè)方程平方相加,得到如下的多項(xiàng)式方程

ω4+(A2-C2-2B)ω2+B2-D2=0,

(8)

得

易得

A2-C2-2B>0，B2-D2>0.

(9)

因此,當(dāng)R0>1時(shí)方程(8)沒(méi)有正實(shí)根,相應(yīng)的可以證明,當(dāng)R0>1 時(shí),系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)E1(S*，I*) 是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

接下來(lái),討論系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)E1(S*，I*) 全局漸近穩(wěn)定的充分條件,首先給出下面的引理.

引理1[15]對(duì)所有的ξ∈[-τ,0),系統(tǒng)(1)滿足初始條件S(ξ)=S(0)>0，I(ξ)=I(0)>0及R(0)>0,則對(duì)于t>0,系統(tǒng)(1)的解S(t)、I(t)及R(t) 都是正的.

引理2[15]對(duì)所有的ξ∈[-τ,0),系統(tǒng)(1)滿足初始條件S(ξ)=S(0)>0，I(ξ)=I(0)>0及R(0)>0，則S(t) ≤max{1,S(0)+I(0)+R(0)}=M.

定理4對(duì)所有的ξ∈[-τ,0)，系統(tǒng)(1)滿足初始條件S(ξ)=S(0)>0，I(ξ)=I(0)>0及R(0)>0,當(dāng)R0>1時(shí),疾病感染期τ滿足

其中M=max{1，S(0)+I(0)+R(0)},地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

證明 令S(t)=X(x)+S*，I(t)=Y(t)+I*,R(t)=Z(t)+Z*,得到下面的線性化系統(tǒng)

接下來(lái),為了證明平衡點(diǎn)E1(S*，I*，R*) 的全局穩(wěn)定性,構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

ρ(X(t)+Y(t))[-bX(t)-(γ+bm+α)Y(t)-βpe-δτI*S*(p-1)X(t-τ)-

βe-δτS*pY(t-τ)]+Y(t)[βpI*S*(p-1)X(t)+βS*pY(t)-βpe-δτI*S*(p-1)X(t-τ)-

βe-δτS*pY(t-τ)+(qδ-δ-γ-α)Y(t)]+Z(t)[βpe-δτI*S*(p-1)X(t-τ)+

βe-δτS*pY(t-τ)+(γ+α-bm′)Y(t)-bZ(t)]=

-bρX2(t)-bZ2(t)-[ρ(bm+γ+α)-(qδ-δ-γ-α)-βSp]Y2(t)+[βpI*S*(p-1)-

ρb-ρ(bm+γ+α)]X(t)Y(t)+(γ+α-bm′)Z(t)Y(t)-ρβpe-δτI*S*(p-1)X(t)X(t-τ)-

(βρe-δτS*p+βe-δτS*p)Y(t)Y(t-τ)-(βρe-δτS*pX(t)Y(t-τ)-(ρβpe-δτI*S*(p-1)+

βρe-δτI*S*(p-1))Y(t)X(t-τ)+βρe-δτI*S*(p-1)Z(t)X(t-τ)+βe-δτS*pZ(t)Y(t-τ).

對(duì)上面的乘積項(xiàng)利用Cauchy-Chwartz不等式，可得不等式

令V(t)=V1(t)+V2(t),得到Lyapunov函數(shù)，則

將不等式V1(t)帶入，得

3 結(jié)論

本文研究了具有垂直傳播及感染期的乙肝傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).模型中根據(jù)疾病傳播的特征采用了非線性發(fā)生率，考慮了乙肝的垂直傳播特性,并且引入了乙肝的平均感染期，因此模型符合問(wèn)題實(shí)際,通過(guò)分析得到了疾病消失與否的基本再生數(shù)R0,利用Routh-Hurwite判別法研究了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)證明了平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性,為制定和評(píng)測(cè)乙肝的防治策略提供一定的理論依據(jù)和參考.參 考 文 獻(xiàn)：

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HepatitisBvirusinfectionmodelwithverticaltransmissionandinfectionperiod

TAOYujie1,FENGHeping2

(1.Department of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua 134000，China; 2.Intelligent Engineering Department,Hebei Software Institute,Baoding 071000,China)

Hepatitis B virus infection model with vertical transmission and infection period were studied.By consider the epidemic models with nonlinear incidence rate，making infection period as time delay,and making use of Routh-Hurwite criterion to prove that condition of disease-free equilibrium is local asymptotic stability,we obtained a basic reproductive numberR0and proved the global asymptotic stability of endemic equilibrium by using the Lyapunov functional method.

HBV epidemic model; time delay; global asymptotic stability; nonlinear incidence rate; vertical transmission

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.06.002

2017-02-17

吉林省教育廳資助項(xiàng)目(吉教科合字[2015]441)

陶玉杰(1975—),女,吉林通化人，吉林通化師范學(xué)院副教授,主要從事微分方程及應(yīng)用控制方面的研究.

E-mail:369387310@qq.com

O175

A

1000-1565(2017)06-0567-05

王蘭英)