一般本構(gòu)關(guān)系下巖石失穩(wěn)破裂的尖點(diǎn)災(zāi)變模型研究

胥杰洋，趙忠虎,2，剌 珊

(1.蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 甘肅 蘭州 730000; 2.亞利桑那大學(xué) 工程學(xué)院， 美國 圖森 85721)

一般本構(gòu)關(guān)系下巖石失穩(wěn)破裂的尖點(diǎn)災(zāi)變模型研究

胥杰洋1，趙忠虎1,2，剌 珊1

(1.蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 甘肅 蘭州 730000; 2.亞利桑那大學(xué) 工程學(xué)院， 美國 圖森 85721)

針對(duì)巖石加載過程中的失穩(wěn)現(xiàn)象，以災(zāi)變理論為工具，采用一般的巖石本構(gòu)關(guān)系，研究了巖石試樣在加載過程中的災(zāi)變失穩(wěn)破壞機(jī)制。經(jīng)過理論分析，建立了巖樣單軸壓縮失穩(wěn)的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，得出了巖樣單軸壓縮的失穩(wěn)條件。推導(dǎo)了巖樣失穩(wěn)的尖點(diǎn)災(zāi)變模型在一般本構(gòu)關(guān)系下的平衡方程、分歧點(diǎn)集、全位移參量、位移突跳、全位移等參量與能量突跳的表達(dá)式，進(jìn)而分別討論了這些參量隨試驗(yàn)機(jī)的剛度和系統(tǒng)剛度比的變化狀況。研究結(jié)果表明，試驗(yàn)機(jī)的剛度和系統(tǒng)的剛度比一定時(shí)，巖石加載系統(tǒng)的位移突跳值、全位移參量、全位移和能量突跳值均由系統(tǒng)的剛度比確定；位移突跳值與試驗(yàn)機(jī)的剛度、系統(tǒng)的剛度比成反比關(guān)系；巖石試樣發(fā)生失穩(wěn)破壞時(shí)的能量突跳值與試驗(yàn)機(jī)的剛度、系統(tǒng)的剛度比成反比關(guān)系。

災(zāi)變理論；尖點(diǎn)災(zāi)變模型；失穩(wěn)破壞；剛度比

災(zāi)變理論自20世紀(jì)70年代初創(chuàng)立以來，就引起了諸多學(xué)者的興趣。特別是80年代傳入中國后，我國學(xué)者用其理論在巖石工程領(lǐng)域取得了較多的研究成果。唐春安等[1]通過巖石單軸加載系統(tǒng)并基于特殊的Weibull分布的本構(gòu)方程，提出了巖石破裂失穩(wěn)過程的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，得到了巖石試樣發(fā)生災(zāi)變時(shí)的位移突跳和能量突跳的表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，陳忠輝等[2]以尖點(diǎn)災(zāi)變模型為工具，考慮形狀參數(shù)為m的Weibull分布本構(gòu)方程，獲得了巖石試樣在單軸壓縮破壞時(shí)位移突跳的表達(dá)式，并使用繪圖系統(tǒng)測(cè)試了巖石的位移變化，討論了將災(zāi)變理論運(yùn)用于巖石失穩(wěn)研究的可行性。費(fèi)鴻祿等[3]應(yīng)用災(zāi)變理論研究了試驗(yàn)機(jī)-試樣系統(tǒng)的失穩(wěn)機(jī)制，推導(dǎo)出試樣失穩(wěn)的位移突跳表達(dá)式，最后通過試驗(yàn)驗(yàn)證了理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性。左宇軍等[4]運(yùn)用災(zāi)變理論研究了受靜荷載作用的巖石因擾動(dòng)而導(dǎo)致動(dòng)態(tài)斷裂的過程，建立了失穩(wěn)的雙尖點(diǎn)災(zāi)變模型，給出了巖石動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的判據(jù)。潘岳等[5]進(jìn)一步闡述了巖石系統(tǒng)在動(dòng)力失穩(wěn)時(shí)的總勢(shì)能函數(shù)，探討了失穩(wěn)破裂起始點(diǎn)和終止點(diǎn)與能量釋放的關(guān)系。楊小禮等[6]通過災(zāi)變理論研究了隧道底板的圍巖穩(wěn)定性，獲得了分離圍巖塊體的破壞機(jī)制和輪廓，得到了一個(gè)可靠的破壞模型。劉學(xué)增等[7]建立了深部隧道失穩(wěn)的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，研究了黏彈性隧道圍巖與襯砌在一定服務(wù)年限內(nèi)各參數(shù)之間的關(guān)系。宋瑞剛等[8]研究了穿越斷層破碎帶的深埋隧道圍巖的失穩(wěn)現(xiàn)象，通過尖點(diǎn)災(zāi)變模型獲得其失穩(wěn)的力學(xué)判據(jù)。王心飛等[9]聯(lián)合災(zāi)變理論與水致弱化函數(shù)建立了隧道圍巖的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，從系統(tǒng)剛度比、水致弱化系數(shù)比和幾何力學(xué)參數(shù)等角度分析了隧道圍巖的穩(wěn)定性，并對(duì)隧道塌方提出了預(yù)防性措施。秦四清[10]通過建立巖質(zhì)斜坡的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，研究了斜坡的失穩(wěn)過程。龍輝等[11]在本構(gòu)關(guān)系中考慮了應(yīng)變軟化和水致弱化，用尖點(diǎn)災(zāi)變模型討論了多種因素對(duì)滑坡孕育和觸發(fā)的影響。孫強(qiáng)等[12]基于指數(shù)分布建立了平面滑動(dòng)型斜坡的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，研究了水的應(yīng)力溶蝕效應(yīng)導(dǎo)致的邊坡失穩(wěn)。周利杰等[13]建立了由降雨觸發(fā)的巖質(zhì)斜坡失穩(wěn)的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，研究分析了巖質(zhì)斜坡失穩(wěn)的力學(xué)機(jī)制。

從以上分析可以看出，很多學(xué)者主要應(yīng)用尖點(diǎn)災(zāi)變模型研究了巖石力學(xué)的有關(guān)問題，是因?yàn)槠淇刂谱兞坑?個(gè)，臨界面容易構(gòu)成且比較直觀，所以該模型是應(yīng)用最廣的災(zāi)變模型[14]。目前，研究者大都采用某種特定形式的本構(gòu)關(guān)系，并將其代入到災(zāi)變理論中，然后完成研究工作。但是在這些工作中，采用特定的本構(gòu)關(guān)系不能反映巖石單軸壓縮過程中應(yīng)力應(yīng)變的一般性變化，同時(shí)會(huì)使得整個(gè)推導(dǎo)過程冗長(zhǎng)繁瑣，從而推導(dǎo)結(jié)果無法揭示某些帶有普遍性的規(guī)律。為了彌補(bǔ)以上研究的不足，本文將從一般的巖石本構(gòu)關(guān)系或者力與位移關(guān)系出發(fā)，研究巖石試樣在單軸壓縮狀態(tài)下的災(zāi)變模型，建立巖石失穩(wěn)破裂時(shí)的位移突跳和能量釋放的表達(dá)式，以期加深災(zāi)變理論在巖石力學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用研究。

1 巖石系統(tǒng)位移變化情況及討論

1.1 一般本構(gòu)關(guān)系下巖石加載系統(tǒng)位移變化的理論推導(dǎo)

巖石單軸壓縮系統(tǒng)由巖石試樣和加載系統(tǒng)組成。在試驗(yàn)過程中，巖石試樣與伺服機(jī)都會(huì)發(fā)生不同程度的變形[15]。由于兩者剛度各不相同，所以最終變形量也不相同。因此將巖樣和試驗(yàn)機(jī)分別簡(jiǎn)化為剛度系數(shù)不同的兩段彈簧，并假設(shè)試驗(yàn)機(jī)的剛度為k。將巖樣下端選為固定參考點(diǎn)，試驗(yàn)機(jī)上端受到大小為R的荷載作用，如圖1所示。其中，整個(gè)系統(tǒng)的全位移為a，巖石試樣的位移為u，則加載系統(tǒng)的位移為a-u。

圖1等效巖石單軸壓縮系統(tǒng)

巖石典型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示，該曲線描述了巖石所滿足的本構(gòu)關(guān)系，可用式(1)的函數(shù)表達(dá)。

圖2巖石本構(gòu)關(guān)系

σ=g(ε)

(1)

對(duì)一定截面和長(zhǎng)度的巖樣，可將式(1)改變?yōu)橐话愕暮奢d與位移的關(guān)系

R=f(u)

(2)

式(2)中函數(shù)f隨u的變化是先升后降，所以在下降段存在一拐點(diǎn)。將拐點(diǎn)處變形記為u1，所以有

f″(u1)=0

(3)

在這種條件下，系統(tǒng)的平衡方程(即平衡曲面方程)為

f(u)-k(a-u)=0

(4)

對(duì)圖1所示的巖石單軸加載系統(tǒng)，首先建立該系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)。該系統(tǒng)總勢(shì)能V包括巖石應(yīng)變能E和加載系統(tǒng)的彈性能W兩部分，即

(5)

由V′=0可得出系統(tǒng)的平衡曲面方程為

V′=f(u)-k(a-u)=0

(6)

式(6)也是系統(tǒng)力的平衡條件。對(duì)式(6)微分可得系統(tǒng)歧點(diǎn)集所滿足的條件，即

V″=f′(u)+k

(7)

根據(jù)平衡曲面處處光滑的性質(zhì)，再對(duì)式(7)微分可得系統(tǒng)尖點(diǎn)災(zāi)變模型的尖點(diǎn)。令尖點(diǎn)處巖樣的位移為u，在尖點(diǎn)處有V?=0，即

V?=f″(u)=0

(8)

結(jié)合式(3)，可知在尖點(diǎn)處有

u=u1

(9)

即尖點(diǎn)處的位移值等于巖石本構(gòu)曲線拐點(diǎn)處的位移值。

在尖點(diǎn)u1處將平衡曲面方程用泰勒級(jí)數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，并截取三次項(xiàng)，得到

[f′(u1)+k](u-u1)+f(u1)-k(a-u1)=0

(10)

將式(3)代入式(10)可得

f(u1)-k(a-u1)=0

(11)

引入無量綱的狀態(tài)變量[1]

(12)

把式(12)代入式(11)中并經(jīng)整理，得到一般本構(gòu)方程下尖點(diǎn)災(zāi)變模型的平衡方程

(13)

設(shè)

(14)

則式(13)可簡(jiǎn)化為

x3+Px+Q=0

(15)

式(15)也被稱為尖點(diǎn)災(zāi)變模型的標(biāo)準(zhǔn)形式平衡方程。

在式(14)中，K定義為巖石試樣和試驗(yàn)機(jī)組成巖石加載系統(tǒng)的剛度比[2]，即

(16)

對(duì)于一般本構(gòu)方程下，尖點(diǎn)災(zāi)變模型中狀態(tài)變量x和控制變量P、Q的關(guān)系由式(15)給出。分歧點(diǎn)集由式(17)給出，其為一半立方拋物線。

4P3+27Q2=0

(17)

如果控制變量對(duì)(P、Q)在平面上緩慢變化，只要(P、Q)移動(dòng)時(shí)不跨越分歧點(diǎn)集，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性就不會(huì)發(fā)生變化。若(P、Q)移動(dòng)時(shí)跨越分歧點(diǎn)集，系統(tǒng)性能將發(fā)生突變。

對(duì)于尖點(diǎn)災(zāi)變模型，其分歧點(diǎn)集(即式(17))只有在P≤0時(shí)才成立，即只有在P≤0時(shí)，控制變量對(duì)(P、Q)才能跨越分歧點(diǎn)集。所以由式(16)可知系統(tǒng)發(fā)生災(zāi)變的必要條件是系統(tǒng)剛度比K≤1。

設(shè)控制變量跨越分歧點(diǎn)集時(shí)系統(tǒng)的全位移參量為ξ，由文獻(xiàn)[1]得

(18)

將式(14)代入分歧點(diǎn)集式(17)中，經(jīng)演算可得

(19)

現(xiàn)確定分歧點(diǎn)集上狀態(tài)變量的值。在分歧點(diǎn)集成立的條件下，當(dāng)P=0時(shí)，方程式(15)有三重零根

x1=x2=x3=0

(20)

當(dāng)P<0時(shí)，方程式(15)有三個(gè)實(shí)根，分別是

(21)

(22)

系統(tǒng)跨越分歧點(diǎn)集時(shí)，狀態(tài)變量發(fā)生突跳，其值為

(23)

相對(duì)于失穩(wěn)前后，巖樣變形的突跳為

(24)

由全位移參量的公式，可知產(chǎn)生突跳時(shí)全位移的大小為

a=(1+ξ)u1=

(25)

1.2 一般本構(gòu)關(guān)系下巖石加載系統(tǒng)位移變化的討論

從系統(tǒng)剛度比，即式(16)可知，當(dāng)試驗(yàn)機(jī)的剛度k下降時(shí)，系統(tǒng)的剛度比K也隨之下降；當(dāng)試驗(yàn)機(jī)的剛度k增大時(shí)，系統(tǒng)的剛度比K也增大，即試驗(yàn)機(jī)的剛度k與系統(tǒng)的剛度比K呈正相關(guān)。

綜合分析式(16)、式(19)、式(24)、式(25)可知，試驗(yàn)機(jī)的剛度k和系統(tǒng)的剛度比K一定時(shí)，巖石加載系統(tǒng)的位移突跳值Δu、系統(tǒng)的全位移參量ξ和系統(tǒng)的全位移a均由系統(tǒng)的剛度比K確定，與其它因素?zé)o關(guān)。

當(dāng)系統(tǒng)剛度發(fā)生變化時(shí)，如系統(tǒng)的剛度比K下降時(shí)，由式(19)、式(24)、式(25)并結(jié)合式(16)可發(fā)現(xiàn)，巖樣失穩(wěn)時(shí)的變形突跳值Δu不斷增大，系統(tǒng)的全位移參數(shù)ξ和全位移a非單調(diào)變化。這意味著巖石系統(tǒng)的剛度降低時(shí)，巖樣失穩(wěn)破壞時(shí)所發(fā)生的位移突跳增加。

同理可得，隨著巖石系統(tǒng)剛度比K的增加且滿足K≤1的條件時(shí)，巖樣失穩(wěn)時(shí)的變形突跳值Δu不斷減小，系統(tǒng)的全位移參數(shù)ξ和全位移a呈現(xiàn)非單調(diào)變化。此意味著系統(tǒng)的剛度增大時(shí)，巖樣失穩(wěn)破壞時(shí)所發(fā)生的位移突跳越小。

綜合本節(jié)分析可知，巖石系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)破壞時(shí)，其位移突跳值Δu與系統(tǒng)的剛度比K成反比關(guān)系。

2 巖石系統(tǒng)能量變化情況及討論

2.1 一般本構(gòu)關(guān)系下巖石加載系統(tǒng)能量變化的理論推導(dǎo)

可以利用災(zāi)變前后系統(tǒng)的能量之差來估算失穩(wěn)過程中釋放的能量。將系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)式(5)在u=u1尖點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù)，截取至四次項(xiàng)，得

(26)

將式(12)代入到式(26)中，可得

u1[f(u1)-k(a-u1)]x+b

(27)

其中

(28)

引入無量綱的能量變量U[1]

(29)

將式(27)代入到式(29)中，于是

U=x4+2Px2+4Qx+E

(30)

其中

(31)

由式(30)可得系統(tǒng)突跳前后的能量差為

ΔU=U(x1)-U(x2)

(32)

將式(21)、式(22)的x1，x2值帶入到式(32)中，可得

(33)

2.2 一般本構(gòu)關(guān)系下巖石加載系統(tǒng)能量變化的討論

從式(24)、式(25)、式(33)分析可知，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生式(25)大小的全位移時(shí)，巖樣將發(fā)生式(24)大小的位移突跳，突跳前后釋放的能量差由式(33)計(jì)算得出。

當(dāng)試驗(yàn)機(jī)的剛度k增大時(shí)，系統(tǒng)的剛度比K也增大，且滿足K≤1的條件時(shí)，由式(33)知巖樣失穩(wěn)時(shí)的能量突跳值不斷減小。意味著巖石系統(tǒng)的剛度增加時(shí)，巖樣發(fā)生破壞時(shí)能量的釋放變小。同理，隨著系統(tǒng)的剛度比K變小，巖樣失穩(wěn)時(shí)的能量突跳不斷增加。意味著巖石系統(tǒng)的剛度減小時(shí)，巖樣發(fā)生破壞時(shí)能量的釋放增加。由此可見巖石試樣系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)破裂時(shí)能量的釋放大小ΔU與試驗(yàn)機(jī)的剛度k和系統(tǒng)的剛度比K成反比關(guān)系。

3 一般本構(gòu)關(guān)系下尖點(diǎn)災(zāi)變模型的驗(yàn)證

3.1 巖石試樣本構(gòu)關(guān)系的選取

在文獻(xiàn)[2]中，陳忠輝等基于形狀參數(shù)為m的Weibull分布本構(gòu)方程，研究了巖石在單軸壓縮下的失穩(wěn)突跳，即假定巖石的本構(gòu)方程為

(34)

其中，m是Weibull分布的形態(tài)參數(shù)，θ是標(biāo)度參數(shù)，φ(ε)是概率密度函數(shù)，ε為巖樣應(yīng)變。

考慮式(34)和連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)本構(gòu)關(guān)系，可將式(1)具體化為一本構(gòu)關(guān)系

(35)

其中，σ為巖樣的應(yīng)力，E為巖樣的彈性模量。

對(duì)截面面積為A、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的巖石試樣，可將式(35)轉(zhuǎn)換為力R與位移u的關(guān)系，即分別在式(35)等號(hào)左右兩端乘以A、L，在等號(hào)右端指數(shù)項(xiàng)m次冪內(nèi)乘以L，得

(36)

因應(yīng)力σ與巖樣截面面積A乘積為巖樣所受外力R，應(yīng)變?chǔ)排c巖樣長(zhǎng)度L乘積為巖樣受力后的變形u，所以式(36)經(jīng)整理后為

(37)

式(37)中，λ=EA/L為巖石試樣的初始剛度，u0為一常數(shù)。

3.2 巖石加載系統(tǒng)剛度比、位移突跳及全位移參量的驗(yàn)證

將式(37)代入式(8)中，得

(38)

即

(39)

整理后可得巖石系統(tǒng)的尖點(diǎn)u1的表達(dá)式為

(40)

再將巖樣力與位移的表達(dá)式(37)對(duì)位移u1分別求一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)，并將式(40)代入其中化簡(jiǎn)，可得

(41)

(42)

(43)

將式(41)代入式(16)，可得Weibull分布本構(gòu)模型下巖石系統(tǒng)的剛度比為

(44)

將式(37)、式(41)、式(43)代入式(19)并經(jīng)整理，得到Weibull分布本構(gòu)模型下巖石系統(tǒng)的全位移參量

(45)

將式(41)、式(43)代入式(24)得出Weibull分布本構(gòu)模型下巖樣單軸壓縮失穩(wěn)過程中的位移突跳表達(dá)式為

(46)

本文基于抽象的本構(gòu)關(guān)系，經(jīng)過理論分析得到了巖石單軸試驗(yàn)系統(tǒng)的剛度比(式(16))、全位移參量(式(19))和位移突跳值(式(24))。Weibull分布本構(gòu)方程(式(35))是抽象本構(gòu)關(guān)系的具體形式，將其代入到相應(yīng)的表達(dá)式后，得到了基于Weibull分布本構(gòu)方程的剛度比(式(44))、全位移參量(式(45))和位移突跳值(式(46))。通過對(duì)比本文式(44)、式(45)、式(46)與文獻(xiàn)[2]的剛度比、全位移參量和位移突跳值可知，兩者的理論推導(dǎo)結(jié)果一致。由此可以認(rèn)為，本文基于巖石試樣一般本構(gòu)關(guān)系下所建立的尖點(diǎn)災(zāi)變模型和巖樣破裂過程中的位移突跳值的正確性。同時(shí)表明將尖點(diǎn)災(zāi)變模型運(yùn)用于巖石失穩(wěn)破裂過程的研究是可行的，而且可以通過式(24)對(duì)巖樣失穩(wěn)的位移突跳量進(jìn)行合理預(yù)測(cè)。

4 結(jié) 論

本文基于前人的研究，通過對(duì)巖石試樣單軸壓縮的分析，建立了巖石試樣系統(tǒng)的尖點(diǎn)災(zāi)變模型，得到了以下結(jié)論：

(1) 以巖石在加載系統(tǒng)作用下破裂過程的失穩(wěn)問題為背景，基于一般的本構(gòu)關(guān)系σ=g(ε)和一般的力與位移關(guān)系R=f(u)，推導(dǎo)得出了巖石在加載系統(tǒng)作用下失穩(wěn)破壞的位移突跳和能量突跳表達(dá)式。

(2) 通過對(duì)失穩(wěn)破壞的位移突跳和能量突跳表達(dá)式的討論后認(rèn)為，巖樣失穩(wěn)破壞時(shí)所發(fā)生的位移突跳值與試驗(yàn)機(jī)的剛度、系統(tǒng)的剛度比成反比；能量突跳值與試驗(yàn)機(jī)的剛度、系統(tǒng)的剛度比同樣成反比。

(3) 將抽象的本構(gòu)關(guān)系具體化為Weibull分布的本構(gòu)關(guān)系，得到了Weibull分布下系統(tǒng)的剛度比、全位移參量和位移突跳值，該結(jié)果與文獻(xiàn)[2]的研究結(jié)果一致。驗(yàn)證了本文所建模型的正確性，同時(shí)也說明了將尖點(diǎn)災(zāi)變理論運(yùn)用于研究巖石失穩(wěn)破裂的合理性。

[1] 唐春安,徐小荷.巖石破裂過程失穩(wěn)的尖點(diǎn)災(zāi)變模型[J].巖石力學(xué)與工程學(xué),1990,9(2):100-107.

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CuspCatastrophicModelofRock’sFailureintheGeneralConstitutiveEquation

XU Jieyang1, ZHAO Zhonghu1,2, LA Shan1

(1.SchoolofCivilEngineeringandMechanics,LanzhouUniversity,Lanzhou,Gansu730000,China; 2.CollegeofEngineering,UniversityofArizona,Tucson,AZ85721,USA)

Focusing on the unstable failure of rock in the loading process, this paper analyzed the catastrophic failure mechanism of rock specimens with general equation in the process of uniaxial compression based on the catastrophe theory. Through theoretical analysis, the cusp catastrophe model of rock specimens under uniaxial compression is developed and the catastrophic condition is obtained based on the cusp catastrophe model. Parameters such as balance equation, bifurcation set, parameters of total displacement, displacement jumping, total displacement and the formula of energy jumping are deduced when the cusp catastrophic model of rock specimens is in the general constitutive equation. And then the changing situations of above parameters are discussed with the variation of machine’s stiffness and systematic rigidity ratio. The results show that sudden jump value of displacement, parameter of total displacement, total displacement and sudden jump value of energy of loading system are determined by systematic rigidity ratio when machine’s stiffness and systematic rigidity ratio are constant; The sudden jump value of displacement is inverse proportional to machine’s stiffness and systematic rigidity ratio; The sudden jump value of energy is inverse proportional to machine’s stiffness and systematic rigidity ratio.

catastrophetheory;cuspcatastrophemodel;unstablefailure;rigidityratio

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.06.028

2017-08-01

2017-08-27

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(LZUJBKY-2016-110)；國家留學(xué)基金項(xiàng)目(201606185039)

胥杰洋(1991—)，男，四川江油人，碩士研究生，研究方向?yàn)閹r石力學(xué)。E-mail: xujy15@lzu.edu.cn

TU43

A

1672—1144(2017)06—0143—05