例談函數(shù)單調(diào)性及在高考中的應(yīng)用

湯小燕　肖宇

摘 要：本文對(duì)近三年全國(guó)部分省市21套高考數(shù)學(xué)試題中的函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的考查形式及解法進(jìn)行分析，列舉了函數(shù)單調(diào)性在高考中的常考題型，歸納了5種判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性；高考；解題

一、 引言

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，應(yīng)用較為廣泛，它分為單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種。利用函數(shù)的單調(diào)性可以更好地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，本文研究了近三年來(lái)高考函數(shù)單調(diào)性的試題及考點(diǎn)，希望能幫助學(xué)生更好地解決高考中有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題。以近三年高考試卷來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性也是高考的重點(diǎn)，分值在12～32分。

函數(shù)單調(diào)性是每年高考的必考點(diǎn)，每年都在解答題中出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)在選擇、填空題中出現(xiàn)，其中函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用是最?？疾榈膬?nèi)容。在這21套試題中有15套都含有運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍的題型；有16套題都涉及函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間；有12套題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求極值、最值、零點(diǎn)等問(wèn)題?？疾樵囶}的難易程度多變，高中低檔都有出現(xiàn)，這就需要我們對(duì)函數(shù)單調(diào)性靈活的掌握，這樣才能在遇到這種題時(shí)快速地根據(jù)不同的已知條件采用不同的方法解題。

本文對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判別方法進(jìn)行分類、歸納，整理出5種判別方法，并將此類方法應(yīng)用到了2015～2017年全國(guó)部分地區(qū)的高考題中。

二、 函數(shù)單調(diào)性的判別方法

判別函數(shù)的單調(diào)性是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，常常在解答題的第一問(wèn)中出現(xiàn)，難度中等，是學(xué)生很容易得分的題目。求解函數(shù)單調(diào)性方法多樣，在這里簡(jiǎn)述了5種判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，方便大家計(jì)算。

（一） 定義法

利用定義法解題的步驟：①取值（在定義域中任取x1，x2）；②作差[f（x1）-f（x2）或f（x2）-f（x1）]；③變形（方法有因式分解，配方法，有理化……）；④定號(hào)[確定f（x1）-f（x2）或f（x2）-f（x1）的符號(hào)]；⑤判斷（增減性）。

（二） 圖像法

圖像法：即直接作出函數(shù)的圖像，通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地判斷函數(shù)的單調(diào)性，上升為增，下降為減。特別是對(duì)于一些簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)，往往直接畫(huà)出它們的圖像根據(jù)圖像就可以知道其單調(diào)性。

（三） 加減法

這種方法只適用于選擇和填空題，口訣是：增+增=增，增-減=增，減+減=減，減-增=減（在這里為方便記憶增函數(shù)用“增”表示，減函數(shù)用“減”表示），如2017北京卷（理）。

在選擇、填空題中，若遇到這種題，可以先判斷是否屬于加減法中的四種類型，若不屬于則需要按照常規(guī)方法去計(jì)算。

（四） 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則同增異減進(jìn)行判斷

如果函數(shù)y=f（u）在區(qū)間N上具有單調(diào)性（是增函數(shù)或減函數(shù)），函數(shù)u=g（x）在區(qū)間M上具有單調(diào)性，并且對(duì)于任意的x∈M，均有u=g（x）∈N那么：

當(dāng)y=f（u）在區(qū)間N上的單調(diào)性與u=g（x）在區(qū)間M上的單調(diào)性相同（即同增或同減）/相反（即一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)）時(shí)，函數(shù)y=f[g（x）]在區(qū)間M上是增/減函數(shù)。

解題步驟：（1）確定函數(shù)定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)拆分，例y=f（u），u=g（x）；（3）判斷拆分后函數(shù)的單調(diào)性；（4）根據(jù)同增異減進(jìn)行判斷。

（五） 導(dǎo)數(shù)法

這是近幾年高考的熱點(diǎn)，在區(qū)間[a，b]上，若f′（x）>0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上遞增；若f′（x）<0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上遞減。所以可以歸納為“大增小減”。

三、 函數(shù)單調(diào)性在高考中的應(yīng)用

函數(shù)單調(diào)性是高考的必考點(diǎn)，考法多種多樣，既可以單獨(dú)作為一個(gè)考點(diǎn)，也常與其他知識(shí)一起考查，下面根據(jù)考情表的分析，簡(jiǎn)單梳理了函數(shù)單調(diào)性在高考中的?？碱}型。

（一） 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

這類題難度不大，多在選擇題中出現(xiàn)，只要學(xué)生掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性就可完成。如2015·湖南卷（理）。

（二） 通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

這也是高考?？嫉囊环N類型，多在解答題中出現(xiàn)，考查難度多變。解決這種題時(shí)可采用分類討論法和分離參數(shù)法：“分離參數(shù)—構(gòu)造函數(shù)g（x）—求函數(shù)g（x）的最值—求得參數(shù)的值或取值范圍”。如2017·上海卷（理）。

（三） 討論函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

這類題在這三年中考的比較多，一般通過(guò)求導(dǎo)來(lái)解決這類問(wèn)題，有時(shí)也根據(jù)函數(shù)的定義來(lái)解決，通常出現(xiàn)在第一小問(wèn)，難度中等。如2017·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷（理）。

（四） 利用單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值、零點(diǎn)

求函數(shù)的極值、最值是高考?？嫉囊活愵}，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題?？谠E為：先增后減，最大值；先減后增，最小值。如2016·北京卷（理）。

（五） 利用函數(shù)的單調(diào)性證明或解不等式

遇到這類題時(shí)，通常先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，然后將不等式轉(zhuǎn)化為f（A）

四、 總結(jié)

高考對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查，往往考查函數(shù)單調(diào)性兩方面的內(nèi)容，（一） 函數(shù)單調(diào)性的判斷，證明函數(shù)的單調(diào)性；（二） 函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯考查，利用函數(shù)的單調(diào)性使問(wèn)題解決更加快速、簡(jiǎn)潔。所以在學(xué)習(xí)中要熟練地掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，單調(diào)性的判別方法，特別是導(dǎo)數(shù)法。

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作者簡(jiǎn)介：

湯小燕，肖宇，貴州省遵義市，遵義師范學(xué)院。