跳躍擴散模型及其在期權定價中的應用分析

高宇 郝森

摘 要：為了捕捉股票價格波動中的跳躍成分，更精確的為期權定價，莫頓在布萊克和斯科爾斯的模型的基礎上提出了跳躍擴散模型，拓展了期權定價的研究。后續(xù)學者在莫頓的跳躍擴散模型的基礎上進一步拓展了對該模型的研究。本文梳理了應用跳躍擴散模型為不同的期權進行定價，通過文獻綜述說明莫頓的跳躍擴散模型在期權定價方面是更加符合現(xiàn)實情況的模型，有著良好的應用前景和可操作性。

關鍵詞：跳躍擴散模型；期權定價；參數(shù)估計

1引言

在布萊克和斯科爾斯的期權定價模型中，通過對股票服從的價格過程建模，認為股票價格服從一個幾何布朗運動。然后通過伊藤引理求出歐式期權價格所服從的一個伊藤過程。在這兩個描述價格過程的偏微分方程中，有一個共同的波動項。通過消除這個波動項，布萊克和斯科爾斯建立了著名的布萊克-斯科爾斯微分方程。通過求解該微分方程，求出了歐式看漲期權的顯示解。

在布萊克-斯科爾斯模型所做的假設中，第一條就是股票的價格服從一個幾何布朗運動。在這之后，許多學者都對該模型的假設條件進行了放松，使之能夠更加符合現(xiàn)實的市場情況。許多模型都側重于調(diào)整所研究過程的波動率以適應動態(tài)的波動率結構，或者調(diào)整漂移項以模擬市場中的均值回歸特征[1]。但是現(xiàn)實的金融市場中，價格和各種比率并不總是連續(xù)變化的，而是會發(fā)生瞬時的跳躍。

這些跳躍產(chǎn)生的影響在期權市場中是很常見的。專家們早已發(fā)現(xiàn)了在股票價格模型中引入跳躍成分的重要性因此他們做了大量努力來講價格跳躍引入模型中，于是就有了泊松型跳躍和跳躍擴散等模型。

2 Merton的跳躍擴散模型

當股票價格服從幾何布朗運動時，隨機微分方程為：

其中μ是單位時間的瞬時期望回報，σ是單位時間的瞬時波動率，Wt是標準維納過程。在這個模型中引入跳躍的方法主要有兩種。第一種是直接加入一個跳躍項，構成所謂的跳躍-擴散模型。第二種方法是對這個過程做時間變換，使維納過程沿不同概念下的時間推移，而不是標準的日歷時間，從而我們就可能是過程產(chǎn)生跳躍。

連續(xù)時間的資產(chǎn)定價模型有兩塊基石：一是維納過程，即布朗運動，它是路徑連續(xù)的隨機過程。如果市場上主要是“普通”事件，“極端”波動僅偶然發(fā)生且符合正態(tài)分布尾部對應的概率，那么就適合用維納過程。第二個就是上面提到的泊松過程，可以對罕見事件導致的系統(tǒng)性跳躍建模，泊松過程是路徑非連續(xù)的過程。

如果將資產(chǎn)的價格變化看做一個事件，那么所謂的“普通”事件所具有的特征就是，資產(chǎn)價格變動的幅度與我們觀察的時間長短成正比。與“普通”事件相對應的就是“罕見”時間。對于“罕見”事件來說，當我們觀察的時間區(qū)間趨于零時，這類時間發(fā)生的概率也是趨于零的。但是事件發(fā)生的規(guī)模，或者說資產(chǎn)價格發(fā)生“罕見”變化的幅度，并不會隨著我們所觀察的時間區(qū)間的縮短而變小。如果“罕見”時間發(fā)生，那么無論是十分鐘觀察一次還是一整天觀察一次，波動的幅度都差不多。

泊松計數(shù)過程似乎是對“罕見”事件進行建模的很好選擇[2]。我們假設隨機變量會在不同的時刻ti（i=1，2，…）發(fā)生跳躍，這些時刻彼此獨立，不可預測，且跳躍幅度一致。在很小的時間區(qū)間Δ，發(fā)生兩次或者兩次以上跳躍的概率忽略不計。在某一段時間t（假設初始時刻記為0時刻）內(nèi)發(fā)生跳躍的總次數(shù)稱為泊松記數(shù)過程，記為Nt。

對于一個泊松過程，在一段小的時間區(qū)間Δ內(nèi)發(fā)生一次跳躍的概率約為

上式可以表明，泊松計數(shù)過程具有以下性質(zhì)：

1）在一段很短的時間區(qū)間Δ內(nèi)，事件至多發(fā)生一次的概率非常接近于1

2）t時刻的已知信息無法預測下一個Δ時間內(nèi)是否會發(fā)生跳躍事件

3）單位時間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)為λ

泊松過程雖然模擬了一些罕見事件發(fā)生，但是泊松過程的假設中，每次發(fā)生跳躍的幅度是1，這就與實際中觀察到的跳躍行為不一致，所以需要對這一點進行修正。我們接下來引入復合泊松過程。

延續(xù)前面的符號，Nt是強度為λ的泊松過程，Y1，Y2，…是一列均值為k的隨機變量。這一系列隨機變量度量了當“罕見”事件發(fā)生時，標的資產(chǎn)發(fā)生的變化。例如，在t時刻的股票價格為St，在一段很小的時間區(qū)間Δ之內(nèi)，“罕見”時間發(fā)生了一次，那么在t+Δ時刻，股票價格變?yōu)镾t+Δ=St×Y。因此，Y-1就衡量了標的資產(chǎn)價格發(fā)生變動的比例。

有了這些說明，我們就可以定義復合泊松過程：

如果設Qt是復合泊松過程，則補償復合泊松過程Qt-kλt是一個鞅過程[3]。

在介紹完幾何布朗運動和泊松過程之后，我們就可以說明由莫頓提出的跳躍-擴散模型：

其中μ是在泊松事件沒有發(fā)生時資產(chǎn)的瞬時期望收益率，σ2是在泊松事件沒有發(fā)生時回報的瞬時方差，dWt是標準的高斯-維納過程，dQt是獨立于維納過程的復合泊松過程，λ是單位時間內(nèi)“罕見”事件發(fā)生的次數(shù)，k=E[Y-1]表明了資產(chǎn)價格當泊松事件發(fā)生時，由泊松事件所帶來的變化的比例（幅度）。

莫頓的跳躍擴散模型的原始形式應該是如下所示：

這個式子表明了，莫頓的跳躍擴散模型是在幾何布朗運動的基礎上直接加上了一項表示跳躍的補償復合泊松過程。之所以加上這一項，而不是直接加上一個復合泊松過程的項，是因為要與有效市場假說保持一致[5]。因為在有效市場中，股票價格的時間序列應該是一個鞅過程。所以對復合泊松過程進行了去趨勢的處理，使之成為一個鞅。

跳躍擴散模型將市場發(fā)生罕見的極端事件時的情況納入了模型的分析框架，相比較于僅僅使用幾何布朗運動對資產(chǎn)價格運動建模，跳躍擴散模型更加符合真實的情況。但是在該模型中，仍然有一些問題需要解決。第一，就是跳躍的頻率λ需要確定；第二，跳躍的幅度需要確認；第三，跳躍的方差需要確認[6]。

3 利用跳躍擴散模型對金融衍生產(chǎn)品定價

學者們將莫頓提出來的這種建模方法應用在了各種不同的衍生品定價的過程中。

在對浮動利率抵押貸款支持證券進行定價時，王明好等考慮到利率受人為或突發(fā)事件的干擾而產(chǎn)生跳躍不連續(xù)的情形，利用跳躍-擴散模型模擬利率隨機過程， 結合我國借款人行為特點建立提前償還比例危險模型， 運用蒙特卡洛模擬方法， 研究了浮動利率抵押貸款支持證券的定價， 討論了利率模型各參數(shù)的變化對定價的影響。經(jīng)模擬發(fā)現(xiàn)：利率跳躍的頻率、跳躍幅度的波動越大， 證券價格越大， 而利率跳躍幅度的均值越大， 證券價格卻越小[7]。在他們所應用的跳躍擴散模型中，模型的泊松過程強度和跳躍幅度等參數(shù)值是先驗設定的，并沒有給出這樣設定的依據(jù)。在對利率進行跳躍擴散模型建模時，各個參數(shù)的選取仍有待進一步驗證。

任玉超等人利用雙冪次變差方法檢測期權標的資產(chǎn)價格是存在跳躍，針對標的資產(chǎn)價格存在跳躍這種情況，借助泊松跳躍擴散模型（JD）與BS定價模型進行對比分析。運用累積量擬合法估計JD的參數(shù)，選取上交所、中金所、香港交易所交易或仿真交易的8只歐式期權的日收盤數(shù)據(jù)，按照期權收盤價樣本的篩選規(guī)則進行數(shù)據(jù)處理得到27371個日收盤數(shù)據(jù)作為研究樣本，借助實證分析檢驗BS模型與JD模型的定價效果。實證結果表明：JD模型是一個比BS模型更現(xiàn)實的模型，其定價效果優(yōu)于BS模型，但兩者均存在普遍低估的現(xiàn)象[8]。

黃國安等假定市場股價滿足跳躍擴散模型，應用測度變換法給出了歐式任選期權的一般均衡價格公式，并提供了兩種數(shù)值方法： Newton-Raphso n迭代和Monte-Carlo模擬法來計算該類期權的價格，分析了模型中一些參數(shù)對期權價格的影響[9]。他們的研究中，并沒有說明模型參數(shù)的選擇標準，同樣也沒有給出能說嗎定價方法精度的比較標準。所以該方法對歐式任選期權的定價效果有待進一步驗證。

張靜等研究不完備市場中，當標的資產(chǎn)的價格出現(xiàn)不連續(xù)跳躍時，亞式期權的定價問題。推導出當標的資產(chǎn)的價格服從跳躍-擴散過程時，具有固定敲定價格算術平均亞式期權的價格下界公式，并通過數(shù)值計算驗證了該下界公式可以近似作為亞式期權的定價公式[10]。他們在文章中也提到，這種運用蒙特卡洛方法計算的是亞式期權的價格下界，以這個下界作為期權價格的近似，更加精確的定價方法仍然有待探索。

李素麗在她的碩士學位論文中分析了在完全外匯市場的假設下，對遵循跳躍擴散過程的匯率模型，研究了外匯期權的定價公式。在利率隨機的情況下，論文分別討論了國內(nèi)外利率受同一個布朗運動的影響和受不同的布朗運動影響時的外匯期權定價公式，并出平價公式[11]。但是直到今天我國采取的仍然是有管理的浮動匯率制度，匯率的波動情況有自己獨特的規(guī)律，和研究中假設的跳躍擴散模型是否相符仍然需要進一步驗證。

4 結論

在考慮到股票價格波動中的跳躍現(xiàn)象后，莫頓提出了跳躍擴散模型來對歐式期權的定價方法進行了研究。在他提出該模型之后，眾多學者對這種模型進行了拓展研究。在應用跳躍擴散模型對各種金融衍生工具，尤其是各種奇異期權定價方面，學者們研究了對壓式期權、任選期權、外匯期權等衍生產(chǎn)品的定價效率問題。本文通過文獻梳理說明了莫頓提出的跳躍擴散模型在期權定價方面有著廣泛的應用前景，并且模型中的參數(shù)是可以通過現(xiàn)有的參數(shù)估計方法得到較好的推斷，說明了莫頓的跳躍擴散模型的實用性。

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[11]李素麗.跳躍擴散模型下外匯期權的定價[D].武漢：華中師范大學，2007

作者簡介：

高宇（1993-），女，漢族，吉林省敦化市人，學生，金融學碩士，單位：蘭州財經(jīng)大學金融學院金融學專業(yè)，研究方向：風險管理.

郝森（1992-），男，漢族，河北省石家莊人，學生，金融工程學碩士，單位：蘭州財經(jīng)大學金融學院金融工程專業(yè)，研究方向：資產(chǎn)定價，風險管理.