含參數(shù)的一元二次不等式解法的教學探究

蘇春蓉

【內(nèi)容摘要】本論文是對含參數(shù)一元二次不等式解法的教學進行探究以及設計，目標就是為了讓高中生深刻理解和掌握含參數(shù)一元二次不等式的解法，經(jīng)過教師的課堂教學，讓學生容易接受含參一元二次不等式的解法，也為各位教師提供一些教學參考。

【關鍵詞】參數(shù)?一元二次不等式的解法?教學

在含參一元二次不等式的教學中，教師的作用非常重要，怎么設計含參一元二次不等式的教學方案，是教學的重要基礎，本論文就是對含參一元二次不等式的教學進行分析和探究。

一、含參數(shù)的一元二次不等式解法的教學目標

關于高中含參數(shù)的一元二次不等式解法的教學目標一般都三個特點：第一，先教簡單的知識點，等學生了解了基礎知識再深度延伸和拓展;第二，合理的運用劃歸的思想，就是教師指導學生把含參數(shù)的一元二次不等式進行變形，回歸數(shù)學的本質(zhì)上面進行解題;第三，把變形后的不等式和原先的不等式進行比較，引導和啟示學生掌握含參數(shù)的一元二次不等式的本質(zhì)解法，使學生的思想更加的活躍，實現(xiàn)靈活運用的目的。在高中的數(shù)學大綱中明確要求，學生不僅要掌握一元二次不等式的系統(tǒng)知識，還要掌握這些知識之間的聯(lián)系。此外，學生還需要靈活掌握其解決有關知識的解題技巧和能力。一元二次不等式是非常重要的，其在幾何方程、函數(shù)和三角關系之間起著連接的作用，是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的知識點，其教學的難點就是怎么分類和討論一元二次不等式的參數(shù)問題。

高中大綱中規(guī)定含參一元二次不等式的教學目標：一方面，讓學生掌握基本知識、培養(yǎng)解決問題的能力，教師要指導和幫助學生深入的熟悉一元二次不等式的基本知識，并靈活的掌握含參數(shù)的一元二次不等式的求解過程和方法，正確的討論一元二次不等式的參數(shù)，提高學生的解決問題的技巧和能力，運用數(shù)形結(jié)合的方法，把含參數(shù)的不等式進行化簡、轉(zhuǎn)化、討論參數(shù)，進而提高學生綜合能力;另一方面，教師要通過教學讓學生知道參數(shù)代表的作用，這樣才可以根據(jù)參數(shù)的分類標準，進行正確的討論。這樣通過教師引導學生分析含參數(shù)的一元二次不等的求解方法有利于提高學生學習數(shù)學的興趣，還能讓學生開發(fā)自己的創(chuàng)新精神。

二、教學步驟

在含參數(shù)一元二次不等式的解法教學之前，學生熟悉和掌握了一元二次不等式的基本知識以及解題的過程，也熟悉了一元二次不等式的系數(shù)就是常數(shù)的解題方法，能靈活的掌握各種解題過程和方法。教師在教學生含參數(shù)一元二次不等式的解法時，首先把學生分成幾個小組，之后再利用各個小組的討論來實現(xiàn)之后的教學，教師要引導每一個小組成員認真的分析和探索把一元二次不等式中的系數(shù)變成參數(shù)之后，該怎么樣求解，然后指導學生把一元二次不等式和含參數(shù)的一元二次不等式放一起對比研究，認真分析區(qū)別和聯(lián)系，探索出這兩種不等式解法的相同地方，并指導學生把含參數(shù)的一元二次不等式進行變形，回到一元二次不等式求解方法上來，讓學生慢慢了解參數(shù)在一元二次不等式中的地位和用處，這樣學生才能快速的知道和熟悉解決含參數(shù)的求解思路、方法、流程。教師逐層遞進，一步步的引導學生發(fā)現(xiàn)、并掌握含參一元二次不等式的解題流程。

1.引入含參數(shù)的一元二次不等式的解法

教師讓同學們討論不等式（1-b）x-b>b2，最后根據(jù)學生的討論結(jié)果，教師再歸納解法，原不等式變形就是x2+（1-b）x-b>0，經(jīng)過和之前學過的一元二次不等式的解法對比分析發(fā)現(xiàn)，這道題就是把之前的系數(shù)變成了參數(shù)，教師要指導學生發(fā)現(xiàn)這個變化，然后進行求解;求解過程：由x2+（1-b）x-b>0，因式分解得（x+1）（x-b）>0，解出方程的兩個根是x1=1，x2=b;當b>-1的時候，利用圖像能夠得到：x∈（-∞，-1）∪（b，+∞）;當b=-1的時候，得出不等式的解是x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）;當b<-1的時候，利用函數(shù)圖像能夠得出x∈（-∞，b）∪（-1，+∞）。這個題經(jīng)過教師指導的，由變式讓學生進行討論和探索，并得到基本含參數(shù)不等式的解法思路、方法以及流程。通過教師的扮演，讓學生更直觀明確書寫的格式和規(guī)范性。

最后，教師總結(jié)含參數(shù)的一元二次不等式的一般求解方法。例如 ax2+bx+c=0（a>0），方程的兩根是x1，x2且x10 （a>0）的解集是x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞），假設ax2+bx+c=0 （a<0），方程的兩根是x1，x2且x10 （a<0）的解集是x∈（x1，x2），教師要題型學生注意二次項系數(shù)的正負，影響不等式的ax2+bx+c>0 （a≠0）的解集。此外，ax2+bx+c=0 （a>0）中當b2-4ac>0，并且兩個方程的根x1，x2且x10 （a>0）的解集是x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）;假設ax2+bx+c=0 （a>0）中b2-4ac=0并且兩個方程的根x1，x2且x1=x2，然而不等式的解是x∈（-∞，x1）∪（x1，+∞）;假設ax2+bx+c=0 （a>0）中b2-4ac<0，則方程無解，不等式的解集是空集。這里要重點注意一元二次方程的判別式會影響對應的一元二次不等式的解。因此，同學們在求解含參一元二次不等式時一定要注意對二次項系數(shù)，對應方程的判別式，以及根的大小的討論。

2.關于含參數(shù)的一元二次不等式解法的討論

例題：求一元二次不等式x2-2x+b>0的解

解題步驟：由x2-2x+b=0，有判別式b2-4ac=4-4b=0，得到b=1，因此本題要進行三方面的討論：當b<1的時候，得到判別式Δ=1-b>0，對應方程的兩個根是x1=1+1-b，x2=1-1-b， x1>x2，因此不等式的解集是x∈（1+1-b，+∞）∪（-∞，1-1-b）;當b=1的時候Δ=0，方程的兩根相等，不等式的解集是x∈（-∞，1）∪（1，+∞）;當b>1時，Δ<0，對應方程沒有實數(shù)根，不等式的解集為R。此題因為二次項系數(shù)是確定的，也就是確定了一元二次不等式對應二次函數(shù)圖像的開口方向，因此只僅僅討論了判別式。講完，不妨可以對此題進行變式：bx2-2x+1>0，讓學生再從二次項系數(shù)及判別式分別進行討論，強化分類意識。

結(jié)束語

本文簡單的介紹了含參一元二次不等式的解法以及教師教學時的策略方法，通過具體實例介紹含參一元二次不等式的兩種解法類型，希望為以后教師的教學提供幫助。

（作者單位：江蘇省江陰市第二中學）