高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用解讀

魏述琦

摘 要：本文從高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合的作用入手，通過(guò)實(shí)際案例簡(jiǎn)要介紹筆者在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的主要思路和方法，對(duì)（學(xué)生）理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)原理具有積極影響，從而簡(jiǎn)化解題步驟，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 解題

“數(shù)”與“形”是高中數(shù)學(xué)中最為重要的兩個(gè)組成部分[1]，二者相輔相成，通過(guò)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換，能夠提高解題速度，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而更好的理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提升（學(xué)生的）解題能力。

一、高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合的作用

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中重要的解題方法之一，“數(shù)”指的是代數(shù)，“形”代表幾何，這兩者都是數(shù)學(xué)中的重要分支。解題時(shí)采用數(shù)形結(jié)合具有極高的優(yōu)勢(shì)，一方面，利用“形”使“數(shù)”直觀化，便于思考，獲得解題思路；另一方面，利用“數(shù)”使“形”抽象畫(huà)，從而精確的研究“形”的具體特征和內(nèi)涵，找到解題切入點(diǎn)[2]。這種數(shù)形結(jié)合的解題方法，能夠幫助我們了解到數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的關(guān)系，同時(shí)將“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題步驟，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題過(guò)程中，與題目條件相互博弈，從而獲得數(shù)學(xué)解題樂(lè)趣和成就感，培養(yǎng)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信。

二、高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

1.高中數(shù)學(xué)集合解題中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

在三年高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)集合與數(shù)形結(jié)合具有很大聯(lián)系，利用維恩圖、數(shù)軸圖像來(lái)解決集合問(wèn)題，使解題思路更加清晰，即便是復(fù)雜的集合問(wèn)題，也能夠通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解答。因此，筆者在集合解題中經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合解題方式，久而久之，（學(xué)生）對(duì)集合概念、特點(diǎn)、原理掌握能力有所提高[3]，解答節(jié)省了時(shí)間，提升了集合解題速度。例如，習(xí)題：某班共計(jì)37名學(xué)生報(bào)名參加唱歌、舞蹈、畫(huà)畫(huà)三個(gè)第二課堂小組。每人至少參加一個(gè)第二課堂小組，在沒(méi)參加唱歌小組的學(xué)生中，參加舞蹈小組人數(shù)是參加畫(huà)畫(huà)小組的2倍，只參加唱歌小組的人數(shù)比剩下參加唱歌小組的多1人，只參加一個(gè)第二課堂小組的學(xué)生中有50%沒(méi)有參加唱歌小組。問(wèn)，只參加舞蹈小組的人數(shù)？參加唱歌小組的人數(shù)？在這道習(xí)題中，各種變量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，很難樹(shù)立條件之間的關(guān)系，筆者將三個(gè)小組人數(shù)看做集合，分別將參加唱歌、舞蹈、畫(huà)畫(huà)小組的學(xué)生人數(shù)設(shè)為A、B、C；只參加一個(gè)小組的人數(shù)設(shè)為a、b、c；參加其中兩個(gè)小組的人數(shù)設(shè)為e、f、g；三個(gè)小組全部參加的人數(shù)設(shè)為g，最后通過(guò)維恩圖可以清晰獲得三個(gè)小組人數(shù)之間的關(guān)系（如圖一），利用方程就能夠輕松得出結(jié)果。

2.高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

函數(shù)本身就是“數(shù)”與“形”的結(jié)合，因此，采用數(shù)形結(jié)合方式來(lái)解答函數(shù)問(wèn)題是最為基礎(chǔ)的能力。一方面，“數(shù)”為“形”總結(jié)規(guī)律，使“形”的數(shù)量關(guān)系得以體現(xiàn)；另一方面，“形”是“數(shù)”的表現(xiàn)，通過(guò)“形”能夠直觀了解“數(shù)”的變化趨勢(shì)[4]。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)之中，作為數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容，題目類(lèi)型和變式較多，如果能夠掌握數(shù)形結(jié)合的規(guī)律，通過(guò)轉(zhuǎn)變“數(shù)”與“形”的解題角度，可使復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化。例如，題目：如果0﹤m﹤n﹤1，判斷mm﹤mn、nm﹤nn、mm﹤nm、是否正確？這一題目的條件較少，不容易找到清晰的解題思路，筆者在遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，會(huì)假設(shè)m、n為具體數(shù)值，通過(guò)具體數(shù)值畫(huà)出函數(shù)圖像，從而判斷其正確性。通過(guò)這種“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的方式，將函數(shù)與其圖像相互聯(lián)系，能夠輕松獲得各個(gè)變量之間的關(guān)系，縮減解題時(shí)間。

3.高中數(shù)學(xué)方程和不等式解題中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

筆者認(rèn)為，不等式是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的難點(diǎn)，很多不等式題目變量太多，解題時(shí)需要考慮的因素過(guò)多，在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，存在較多困難，尤其是一元二次不等式方面，題目難度較大。而將數(shù)形結(jié)合思想引入到一元二次不等式解題中，將不等式轉(zhuǎn)化成為函數(shù)圖像，可有效降低解題難度，從而直觀的進(jìn)行分析，因此，數(shù)形結(jié)合是解一元二次不等式題目最為有效的方法。例如，題目：x2y≥xy+x，求x解集。這一元二次不等式題目可先畫(huà)出二次函數(shù)圖像，根據(jù)方程拋物線(xiàn)開(kāi)口情況確定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，從而得出解集范圍，再套入到原題目方程中，即可得出x的解集。這種方式中，現(xiàn)將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，再通過(guò)對(duì)“形”的分析，得出“數(shù)”的范圍，最后回歸到“數(shù)”中，解得答案，有效簡(jiǎn)化整個(gè)解題過(guò)程，將抽象的“數(shù)”，用直觀的“形”表現(xiàn)出來(lái)，從而幫助筆者理清解題思路，提高一元二次不等式解題效率。

4.高中數(shù)學(xué)解析幾何解題中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

解析幾何雖然作為幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是解析幾何與代數(shù)之間存在極強(qiáng)的關(guān)系[5]，利用代數(shù)思想來(lái)解答解析幾何題目，能夠有效提升解題速度，為解題帶來(lái)新的方法和思路，降低題目難度。例如，題目：在拋物線(xiàn)y2=4x中存在點(diǎn)K，已知，點(diǎn)K距離點(diǎn)A的距離為m，點(diǎn)K與拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)的距離為n，如果m+n為最小值，求得點(diǎn)K的坐標(biāo)。這一題目中存在較多條件，但如果畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，就能夠發(fā)現(xiàn)其中一些條件是無(wú)用的，諸如m和n與題目本身沒(méi)有關(guān)系，僅僅是一個(gè)概念，因此只要畫(huà)出準(zhǔn)線(xiàn)l，KA與l相互垂直，并保證其距離最短，就能夠得出點(diǎn)K的具體坐標(biāo)為（1/4，-1）。通過(guò)這種方式，將數(shù)形相互結(jié)合，轉(zhuǎn)換解題切入點(diǎn)，能夠找到更為簡(jiǎn)潔和方便的解題方法。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合在函數(shù)解題、集合解題、方程和不等式解題及幾何解題中均存在重要作用，促使筆者找到更為簡(jiǎn)單和直接的解題思路，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目簡(jiǎn)單化，抽象的題目具象化，對(duì)解題速度和解題準(zhǔn)確率具有積極影響，因此，同學(xué)們應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)中的合理、靈活運(yùn)用，從而擴(kuò)寬數(shù)學(xué)解題思維，提升數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)

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[2]唐卓雅.高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)體會(huì)[J].大科技，2017（29）：27.

[3]黃江寧.高中數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用探討[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高一二版），2015（12）

[4]周明陶.數(shù)形結(jié)合解題思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].考試與評(píng)價(jià)，2017（4）

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