初中幾何教學(xué)中的一題多變

馬春燕

【摘要】初一數(shù)學(xué)的幾何學(xué)習(xí)，是學(xué)生們學(xué)習(xí)的難中之最，然而初一幾何又是整個(gè)初中幾何的基礎(chǔ)和入門，是幾何教學(xué)的關(guān)鍵和重點(diǎn).作為教師，應(yīng)盡可能地創(chuàng)造條件，讓學(xué)生把每一道幾何題目的基本構(gòu)架“理”清楚，也就是把幾何圖形的本質(zhì)“看”透徹，達(dá)到解一題通一類的效果.在實(shí)踐教學(xué)中，我經(jīng)常采用一題多變，通過一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的看圖能力和畫圖技能，便于學(xué)生們在實(shí)戰(zhàn)解題中不斷總結(jié)，時(shí)刻培養(yǎng)學(xué)生的解題思維和創(chuàng)新思維.

【關(guān)鍵詞】一題多變；興趣；創(chuàng)新

學(xué)生從小學(xué)跨入初中，存在很多的不適應(yīng).初一的學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中會感到茫然和無措，尤其是初一數(shù)學(xué)的幾何學(xué)習(xí)，更是學(xué)生們學(xué)習(xí)的難中之最.由于圖形變化多端，解題方法多種多樣，有的學(xué)生拿到題目根本就無從下手.究之緣由，還是對解決幾何問題的思維沒有形成，方法沒有掌握.然而初一幾何是整個(gè)初中幾何的基礎(chǔ)和入門，是幾何教學(xué)的關(guān)鍵和重點(diǎn)，作為教師，應(yīng)盡可能地創(chuàng)造條件，讓學(xué)生把每一道幾何題目的基本構(gòu)架“理”清楚，也就是把幾何圖形的本質(zhì)“看”透徹.在實(shí)踐教學(xué)中，我經(jīng)常采用一題多變，效果甚佳，既培養(yǎng)了學(xué)生的解題興趣，也能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

一、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的看圖能力

所謂看圖，是指觀察、分析和認(rèn)識幾何圖形.通過看圖，不僅能找到圖形中的已知條件和證明內(nèi)容，還要知曉幾何圖形的內(nèi)在構(gòu)成和聯(lián)系，從而達(dá)到解一題通一類的效果.這樣充分滿足了學(xué)生的成就感，激發(fā)了學(xué)生的解題興趣，從而迸發(fā)出創(chuàng)新思維.

（一）在初一數(shù)學(xué)第七章平面圖形的認(rèn)識（二）中，遇到這樣一道題目：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，則BE與DF有何位置關(guān)系？試說明理由.

給出題目后，我要求學(xué)生自己先思考，有完整解題思路的學(xué)生到講臺上來講解，當(dāng)然，有不同想法的也可以上講臺表達(dá)自己觀點(diǎn).這樣做有利于滿足學(xué)生的表現(xiàn)欲望，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.2分鐘后，嘉惠同學(xué)很自信地走到講臺，給同學(xué)們講解自己的想法.我將她的思路總結(jié)一下分3部分，第一步證∠1+∠3=90°，第二部分證∠1+∠AEB=90°，從而∠3=∠AEB，第三部分就是通過∠3=∠AEB，證明BE∥DF.剛說完，佳龍同學(xué)立即走上講臺，表達(dá)自己的不同觀點(diǎn)，他說“可以證同位角∠2=∠DFC，得BE∥DF”.第三名同學(xué)笑著來到講臺，他告訴大家，他想到用同旁內(nèi)角互補(bǔ)來證明兩直線平行，那就必須通過第二名同學(xué)的∠2=∠DFC，由∠DFC+∠DFB=180°，得∠2+∠DFB=180°，得BE∥DF.有點(diǎn)煩瑣了.

對于這個(gè)問題，半數(shù)學(xué)生都是有思路、有把握的，分析完整后，接著就根據(jù)自己的想法把證明寫下來.規(guī)范書寫很重要，所以我在黑板上板書證明過程.接下來就給出此題的變式練習(xí).

（二）把題目中的“∠A=∠C=90°”改成“∠A=∠C”，其余條件不變，試問上述結(jié)論還成立嗎？為什么？

此題雖與上一題大同小異，既然有異，就不能完全用上述證明過程來證明.在觀察學(xué)生們比較茫然時(shí)，我會提示大家：如果繼續(xù)用同位角相等得兩直線平行，就是要找到∠3=∠AEB，怎么證？需要學(xué)生們開動腦筋，積極思考.果不其然，沒過一會兒，就有學(xué)生舉手示意，知道怎么證明了，由∠1+∠3=180°-∠A，∠1+∠AEB=180°-∠A，從而∠3=∠AEB，繼續(xù)得BE∥DF.這樣的變式告訴學(xué)生們，當(dāng)題目的已知條件和圖形的結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生本質(zhì)上的變化時(shí)，我們的解題思路就可以續(xù)用.

（三）如圖，在四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE∥DF，試說明∠A與∠C又是什么關(guān)系？

這道題圖形雖然與（二）完全相同，但是把已知條件的一部分與結(jié)論互換，這就涉及原命題與逆命題的關(guān)系.很多學(xué)生會下意識地給出∠A=∠C的結(jié)論，可是在證明中卻無法合理說明.其實(shí)，由平行得∠3=∠AEB，∠2=∠DFC，表示∠A=180°-（∠1+∠3），∠C=180°-（∠1+∠3），最終∠A=∠C.可以看出，這樣的證明與原題變化較大，告誡學(xué)生，有些看似差不多的問題，其實(shí)證明過程卻有很大不同，證明思路也不一樣，需要學(xué)生們對題目認(rèn)真分析，仔細(xì)看圖，獨(dú)立研究，創(chuàng)新思維，不能被束縛在圖形當(dāng)中，要真正做到解一題通一類的效果.

二、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力

所謂畫圖，就是根據(jù)已知條件，獨(dú)立而正確地畫出圖形，注意“題”與“圖”的對應(yīng)關(guān)系，使所畫圖形符合題意.要解對一道題目，正確畫圖是先決條件，然而有更多的學(xué)生在畫圖環(huán)節(jié)中再遇困難，在近幾年的數(shù)學(xué)中考試卷中，要求考生先畫圖，再解題的比比皆是.所以，我們要從初一抓起，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力.

在教學(xué)中，下面這道題目是經(jīng)典，復(fù)習(xí)課必講.然而怎么講，需要教師好好思考.我依然采用一題多變，變的是什么？可以是把3張圖形結(jié)合一起，可以是把“角平分線”變?yōu)椤敖堑膎平分線”，而我在課堂上，是將題目的呈現(xiàn)方式改變.

（一）已知：在△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，且BO，CO相交于點(diǎn)O，試探索∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

看到圖形，學(xué)生們歡心雀躍，對此題很有把握，個(gè)個(gè)躍躍欲試，我找了一名平時(shí)較靦腆的學(xué)生到講臺上來講解，聲音雖小了點(diǎn)兒，但思路還是很清晰的.他用三角形的內(nèi)角和來證明，由∠1+∠2=12（180°-∠A），∠BOC=180°-（∠1+∠2），得∠BOC=90°+12∠A.當(dāng)然，也有學(xué)生表示，可以通過作輔助線延長BO，用三角形外角的性質(zhì)來完成. 由∠BOC=∠BDC+∠2，∠BDC=∠1+∠A，得∠BOC=∠1+∠2+∠A，又因?yàn)椤?+∠2=12（180°-∠A），所以∠BOC=90°+12∠A.

學(xué)生們非常開心，歡樂地把這道題解決了，滿臉洋溢著幸福的笑容，我也在大家的滿懷期待中拋出了下一題.

（二）已知：BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分線，BO、CO相交于O，試根據(jù)已知條件畫出圖形，并探索∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系.

大家很輕松地拿起鉛筆，在稿紙上畫起圖來，漸漸地，漸漸地，淅淅聲小了，更小了，有的學(xué)生開始拂額，有的摸頭發(fā)，有的拿起橡皮擦拭……我知道他們難住了，提示到：請大家仔細(xì)閱讀題目條件，根據(jù)已知條件畫圖.慢慢地，有兩三名學(xué)生畫對了，過了一會兒，我又看到幾名學(xué)生畫對了，再等了一會兒，還是有半數(shù)學(xué)生不會畫啊.我請第一個(gè)畫好的學(xué)生上黑板演示，當(dāng)圖形一出，不會畫的學(xué)生恍然大悟，原來，他們把外角選取不恰當(dāng)，主要就是外角平分線交不到一塊兒去呀，不是讓外角平分線的反向延長線相交啊.看來，還是讀題不仔細(xì)，也是畫圖沒有章法啊.

只要圖形畫對，證明就很容易啦，可以繼續(xù)選擇三角形的內(nèi)角和證明，也可以結(jié)合外角性質(zhì)來證明.此時(shí)，他們已經(jīng)有了心理準(zhǔn)備.給出第3題.

（三）已知：BD為△ABC的角平分線，CO為△ABC的外角平分線，它與BO的延長線交于點(diǎn)O，試探索∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

我看到學(xué)生們非常謹(jǐn)慎地拿起筆，很小心地畫著圖，經(jīng)過上一題的教訓(xùn)，他們對自己的畫圖幾番嘗試，好多學(xué)生順利完成，露出欣慰的笑容.畫好的學(xué)生還會主動幫助周邊尚未成功的.然后大家對照圖形，解決此題.

在這樣的學(xué)習(xí)中，他們失敗過，但更多的是成功，是那每一次完美的解題帶給他們的自信，是那每一次異于他人的解題思路帶給他們的自豪，是那每一次由失敗轉(zhuǎn)為成功的無限喜悅.從而激發(fā)了學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的更多熱情，激發(fā)了他們的創(chuàng)新思維.

在幾何學(xué)習(xí)的教與學(xué)中，教師精心選題，善于激發(fā)學(xué)生，通過一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的看圖能力和畫圖技能，從而形成解決問題的方法.學(xué)生積極思考，不斷總結(jié)，通過一題多變，看到圖形的本質(zhì)結(jié)構(gòu)和畫圖的方法要點(diǎn)，掌握一類題相似的解題思想，在實(shí)戰(zhàn)解題中不斷總結(jié)，不斷創(chuàng)新.