探究數(shù)列學(xué)習(xí)中的遞推公式問(wèn)題

高千迪

摘 要：本文分析了數(shù)列遞推公式的內(nèi)在含義，并探究由遞推公式求通項(xiàng)公式的辦法。列舉常見(jiàn)的遞推公式形式并給出常見(jiàn)處理方法。歸納總結(jié)題目的內(nèi)在規(guī)律，并結(jié)合典型例題予以說(shuō)明。在變化多端的形式中尋找共同規(guī)律，從而游刃有余的解決數(shù)列的遞推問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)列中的遞推問(wèn)題 常見(jiàn)的遞推形式歸納

一、遞推公式的內(nèi)在含義

遞推公式反映的是數(shù)列前后項(xiàng)an與an+1（an+2）之間的聯(lián)系。在知道數(shù)列的前幾項(xiàng)的數(shù)值和完整的遞推公式時(shí)，就可以依次逐步求出整個(gè)數(shù)列。在實(shí)際問(wèn)題中，往往是只需要求出特定項(xiàng)，并不需要求出每一項(xiàng)，所以往往題目考察的是由遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式。值得注意的一點(diǎn)是，遞推公式蘊(yùn)含的內(nèi)在信息要少于通項(xiàng)公式，所以往往要結(jié)合前幾項(xiàng)才能推出通項(xiàng)公式。[1]

二、遞推數(shù)列問(wèn)題的解決方法

1.化歸思想

“化歸”簡(jiǎn)而言之是轉(zhuǎn)化、歸結(jié)，解題過(guò)程中常用化歸的思想方法解決復(fù)雜問(wèn)題。善于運(yùn)用化歸方法使得我們能夠把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生的問(wèn)題熟悉化，提高做題的速度和準(zhǔn)確率。遞推公式問(wèn)題的形式繁雜，解法多，思路開闊，在解題過(guò)程中需要嫻熟的運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想才能找到解題思路。[2]

2.兩個(gè)基本數(shù)列

化歸的目的，就是把復(fù)雜的遞推數(shù)列，轉(zhuǎn)化形成高中所學(xué)的兩個(gè)基本數(shù)列：等差函數(shù)和等比函數(shù)，從而借助課內(nèi)的知識(shí)完成目的。

等差數(shù)列：a（n）=a（1）+（n-1）×d

等比數(shù)列：an=a1qn-1

三、遞推公式的常見(jiàn)形式

1.型如 an+1=λan + c（λ ≠ 1，c ≠ 0）。

——化歸為等比數(shù)列求解

假設(shè)原來(lái)的式子可以寫成（使用待定系數(shù)法）a n+1 + x = λ（a n + x），拆開后移項(xiàng)比較即可解出x，從而借助等比數(shù)列{a n + x}解出{an}的通項(xiàng)公式。

例1已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：由λ=2，得a n+1 + x = 2（a n + x），展開得x=2，所以{an+2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。所以。

2.型如 a n+1 = λa n + （An + B） （其中 λ ≠ 1）。

——化歸為等比數(shù)列求解。

設(shè)a n+1 + x（n + 1） + y = λ[a n + xn + y]，同樣展開整理即可的x，y的值，從而借助等比數(shù)列{a n + xn + y} 解出{an}的通項(xiàng)公式

3.型如 a n+1 = λa n + Aq n-1 （其中 λ ≠ 1，q ≠ λ ）

設(shè)原式可化為an+1 + x·q n = λ[a n + x·q n-1 ]，從而借助等比數(shù)列{a n + x·q n-1}求出{an}的通項(xiàng)公式

——化歸為等比數(shù)列求解。

例2 已知數(shù)列{a n } 有a 1= 1，an+1 = 3an +2n ，求通項(xiàng)a n 。

解： 設(shè) a n+1 = 3a n + 2 n 可變形為a n+1 + x·2 n = 3[a n + x·2 n-1 ] （* ）

與已知條件比較，得x = 2，這時(shí)（*） 為a n+1 + 2 n+1 = 3（a n + 2 n ） （**）

換元 bn = an + 2n，可知{b n } 是等比數(shù)列且公比 q = 3，a n = 3 n -2n

4.型如 a n+1 = r（a n ）λ （r > 0）

設(shè)原式兩邊取對(duì)數(shù)可得lga n+1 =λlga n + lgr，這類似于第一種情況，按前面的方法處理即可。這類問(wèn)題充分體現(xiàn)了化歸的思想，遇到陌生的問(wèn)題，先化成遇到過(guò)的熟悉的形式，然后再將熟悉的形式二次化成運(yùn)用課內(nèi)知識(shí)能夠直接解決的形式。

5.型如：——轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。

取倒數(shù)后設(shè)（換元法），知

所以{bn} 是等差數(shù)列，且公差為.所以。

例3在數(shù)列{an}中，a1=1，，求通項(xiàng)公式an。

解：取倒數(shù)，設(shè)，所以bn+1=2bn+2n，所以{bn+2n+2}是公比為2的等比數(shù)列，b1+2+2=5，所以bn+2n+2=2n-1×5，所以bn=2n-1×5-2n-2

由此可得{an}的通項(xiàng)公式。

6.型如，其中{cn } 是等差（或等比） 數(shù)列——轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求和

原式兩邊同除n+1，得換元，將{bn}當(dāng)做新數(shù)列，則bn+1=bn+cn，這是一個(gè)類等差（等比）數(shù)列，因?yàn)閏n是等差（等比）數(shù)列，運(yùn)用其求和公式累加即可得出bn的通項(xiàng)公式。

7.型如 a n+1 = f （n）·a n +[1 - f （n）]

——使用疊乘法或疊加法

原式可變形為 a n+1- k = f （n）·（an - k），換元 b n = a n - k，得 b n+1 = f （n）·b n ，取 n = 1，2，3，…，（n - 1），疊乘法得 b n ，進(jìn)一步知 a n .

結(jié)語(yǔ)

遞推公式能考察學(xué)生思維的嚴(yán)密性和靈活性，題目雖然變化多端，但終有規(guī)律可尋。一是要注意運(yùn)用化歸思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化變形借助本文分析的兩個(gè)基本數(shù)列進(jìn)行處理，這里要求靈活使用換元法，待定系數(shù)法，取倒數(shù)等手段進(jìn)行處理；二是要熟悉本文羅列的常見(jiàn)遞推形式，做到胸有成竹，思路清晰，明確解題的目標(biāo)方向。三要看清問(wèn)題的要求，遞推公式不僅僅用于推導(dǎo)通項(xiàng)公式，它的內(nèi)涵是提供了數(shù)列前后項(xiàng)間的關(guān)系條件，不要形成定勢(shì)思維，看到遞推公式就只有化成通項(xiàng)公式的意識(shí)，要根據(jù)具體要求具體分析。[3]

參考文獻(xiàn)

[1]李萍，張孝梅《多題歸一在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的運(yùn)用與拓展》[J]延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，（06）：127-129

[2]侯作奎《探求數(shù)列遞推公式的若干途徑》[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015，（07）：29-31

[3]孟瑩《由常見(jiàn)遞推公式給出的數(shù)列求通項(xiàng)的辦法》[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究2016，（56）：73-74