常微分方程中常數(shù)變易法的推廣解析

賈永興

【摘要】常微分方程是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一個構(gòu)成部分，而常數(shù)變易法則也是求解線性微分方程一種極為有效的方法.文章以常數(shù)變易法在常微分方程中的運用為前提，進(jìn)行了深入分析，并提出了幾點建議，希望能夠為這方面研究提供有價值的參考.

【關(guān)鍵詞】常微分方程；常數(shù)變易法；推廣；高等數(shù)學(xué)

所謂常數(shù)變易法，即求解微分方程的一種特殊且有效的方法，基于一些特定條件，對微分方程進(jìn)行求解，十分簡便.而常微分方程作為高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的構(gòu)成部分，運用常數(shù)變易法進(jìn)行求解，也是其中最為有效的一個方法.加之常微分方程與生活實際聯(lián)系比較緊密，所以在求解方面也具有一定的簡便性.然而當(dāng)前階段對常微分方程進(jìn)行求解時，對于常數(shù)變易法的運用依然存在誤區(qū)，基于此，本文重點對其進(jìn)行了分析.

一、常數(shù)變易法與常微分方程概述

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，常微分方程是實際應(yīng)用最為普遍的一種數(shù)學(xué)形式，對一階線性常微分方程進(jìn)行求解的過程中，應(yīng)用最廣泛的則是常數(shù)變易法[1].常數(shù)變易法即將一階齊次線性微分方程通解所包含的常系數(shù)進(jìn)行變易，使其成為待定函數(shù)，以此對一階非齊次線性微分方程解進(jìn)行明確.關(guān)于常微分方程，一般學(xué)習(xí)過中學(xué)數(shù)學(xué)的人都比較熟悉這一數(shù)學(xué)內(nèi)容，初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)已經(jīng)包含比較多的方程形成，例如，線性方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、二次方程等，這些方程中的共同點是將研究問題內(nèi)已知數(shù)與未知數(shù)存在關(guān)系進(jìn)行確定，并且列舉出不同數(shù)量的方程式，進(jìn)而對其進(jìn)行求解[3].

二、常微分方程中常數(shù)變易法的運用與推廣

（一）運用于伯努利方程

對伯努利方程進(jìn)行求解，首先要將其轉(zhuǎn)化成為線性方程，隨后按照現(xiàn)行方程的求解方法進(jìn)行求解，除此之外，也能夠語言常數(shù)變易法對其進(jìn)行求解.

（二）運用于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

運用常數(shù)變易法進(jìn)行二階常系數(shù)線性方程的求解，體現(xiàn)了十分顯著的優(yōu)勢，比如，無須求解非齊方程特解，僅需求解一個與齊次方程相關(guān)的基本解組便可，以此便可以通過方程求解得出通解公式.

所謂二階常系數(shù)非齊次線性微分方程基本形式如下：y″+py′+qy=f（x） ①，這一方程所對應(yīng)的其次方程是y″+py′+qy=0 ②，而方程②特征方程是r2+pr+q=0 ③，實際求解時，需要按照方程中實根與復(fù)根的實際情況，進(jìn)行詳細(xì)考慮，主要包含以下幾種情況：

三、結(jié)束語

綜上所述，常微分方程作為高等數(shù)學(xué)中的一個非常重要的組成部分，對其進(jìn)行求解一直以來是專家研究的主要部分，而使用常數(shù)變易法對其進(jìn)行求解，也是諸多求解方法中最為常見的一種，通過使用常數(shù)變易法，能夠提升常微分方程解的準(zhǔn)確性，以此為常微分方程研究貢獻(xiàn)力量.

【參考文獻(xiàn)】

[1]郭曉曄.求解三階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2017（2）：92-94.

[2]于亞峰.n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015（6）：83-86.

[3]王奕挺，胡良根，張曉敏.常數(shù)變易法的探究式教學(xué)研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2015（3）：7-9.

[4]楊秀香.微分方程中常數(shù)變易法的應(yīng)用[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報，2016（8）：9-13，30.endprint