高中數(shù)學三角函數(shù)的解題方式探討

江小陽

摘 要：對于高中來說三角函數(shù)可是非常熱門的知識點，也是高考的熱門考點。它是高中公認的重難點，重要是指在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，而難點則是指它靈活多變，不容易掌握。而正是由于其靈活多變，也造成其解法也多種多樣，常常不會僅局限于一種解法，所以下面就以我的個人見解談談三角函數(shù)的解法的幾大歸類。

關鍵詞：高中數(shù)學；三角函數(shù)；解題方式

三角函數(shù)其邏輯性還是比較強的，通過對三角函數(shù)的邏輯分析后，不僅可以通透的看待這一類題目，同樣可以活化思維以提高學習效率。以下就是我個人對三角函數(shù)題型的一些理解和看法。

一、課本理論推導型

在高中課本中，三角函數(shù)包含許多方面的理論推導。即正弦、余弦和正切的公式的推導。還有就是正弦 、余弦和正切的圖像分布以及三角函數(shù)與其他知識點組成的混合題型。而有些題目就是我要說的理論推導型，這類題目喜歡迷惑學生使他們找不到要使用的公式或者說課本理論。因此在面對此類題目時不僅需要掌握牢靠的理論知識，還需注意把握主線，這樣不僅能夠鞏固知識點還能提高學習效率，加深對三角函數(shù)的理論的理解。

例題：已知α、β為銳角，當cosα=4/5，tan（α-β）=1/3，求cosβ的值。

例題解析：這就是典型的理論題目，但就這道題來說，難度不是很大，他主要考察的還是對三角函數(shù)的理論上的理解能力，此題較為清晰的就能看出是對三角函數(shù)的公式的理解和運用。那么我們對于這道題的解答就比較明朗了，運用既有的公式對這道題進行解答。

解：根據(jù)既有三角函數(shù)公式：cosβ=cos[α-（α-β）]

然后對cos[α-（α-β）]展開

得：cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

又因為已知條件α為銳角，所以得cosα=4/5，sinα=3/5

根據(jù)已知條件α、β為銳角，所以得-π/2<α-β<π/2

且根據(jù)已知條件tan（α-β）=1/3，所以得0<α-β<π/2

根據(jù)以上條件我們可得cos﹙α-β﹚=/10，sin（α-β）=/10，cosβ=/50

思考：從例題1我們可以清楚的感受到這道題反復運用的就是課本上三角函數(shù)理論知識的誘導公式和和差公式等。所以這類題目需要對基礎知識的牢靠掌握，熟練掌握各個公式之間的變化，對公式的變化有較為明確的理解。這道題目是為了體現(xiàn)其題型，有些有難度的此類題目，他主要是迷惑學生，讓其困惑找不到要使用公式。所以這類題目它的解題方式就是找到題目的主干，然后分析已知條件，對照課本公式的變化轉(zhuǎn)到要求解的目標上。這就是此類題目的大致的解題思路。

二、三角函數(shù)角度型題型

這類題型的特點就非常明顯，由于大綱要求對三角函數(shù)的特殊角度有記憶要求，但是對非特殊角度并沒有記憶要求。所以此類題目就要求學生運用已知角度求解未知角度，通過三角函數(shù)的和差公式及誘導公式求得未知角度的解。

例題：求sin10° sin30° sin50° sin70° 的值

例題解析：我們都知道除了其中的30° 是大綱要求記憶的特殊三角函數(shù)角度，其余的都是未知的三角函數(shù)的角度，若不對未知的三角函數(shù)角度進行查表得其值，那么就要求對這些未知角度進行拆分，得出與三角函數(shù)特殊角度值相關的變形公式。

首先我們可以先對sin10° sin30° sin50° sin70° 進行變換，將sin公式改為cos公式。所以可得：sin10° sin30° sin50° sin70°1/2cos80° cos60° cos40° cos20°這樣我們就發(fā)現(xiàn)cos公式的角度都成倍角關系，自然就想到倍角公式，然而倍角公式sin2α=2sinαcosα，所以我們就需要對該公式進行變形得到cosα=sin2α/2sina，理解貫通這些解題也就非常明了了。

解：sin10° sin30° sin50° sin70°=1/2cos80°cos60°cos40°cos20°=1/16·sin160°/sin20°=1/16

思考：這些角度問題就屬于比較生澀的題目了，因為三角函數(shù)的公式比較繁多，所以題目的設計也就多種多樣了。這道題目運用了正弦余弦的轉(zhuǎn)換和二倍角公式。但是如果學生不嘗試對正弦余弦轉(zhuǎn)換的話，思路就不能展開，解題同樣就無望了。所以這類題目不僅僅要求學生扎實的基本功，更要求有一定的思維擴展的創(chuàng)新性。

所以，對于高中三角函數(shù)來說，對我們最難的就是各種各樣公式進行變換，為什么要變換就是為了化簡原來的公式，簡化后的公式在對應其要求的求解值，我們的思路就非常容易被打開。在這種狀況下，我們對于運用各中公式將問題簡化也就更加得心應手，提高我們的破題的效率，縮短解題的時間，在考試時就能解放出更多的時間來解其他題目。但是有一點我們必須時刻注意，那就是千萬千萬不要審錯題目，一旦審錯題目不僅會浪費時間，還會使自己丈二和尚摸不著頭腦，對題目無從下手。面對題目沉著冷靜，活用多種方式解題，可以有效的鍛煉我們的數(shù)學思維能力。

參考文獻：

[1]吳婉君. 現(xiàn)行五個版本高中數(shù)學教材三角函數(shù)內(nèi)容的比較研究[D].廣州大學，2016.

[2]劉鳳雙. 高中數(shù)學三角函數(shù)變式教學的認識研究[D].曲阜師范大學，2016.

[3]王麗娜. 高中三角函數(shù)高考試題分析及教學策略研究[D].河北師范大學，2016.

[4]馬文杰. 高一函數(shù)教學中學生數(shù)學解題錯誤的實證研究[D].華東師范大學，2014.