“紅包派發(fā)”所引出的風(fēng)險問題和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法分析

吳京洪++孫紀(jì)濤

【摘要】本文針對近幾年出現(xiàn)的搶紅包熱潮，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)分析方法對現(xiàn)實(shí)生活中紅包和抽獎問題涉及的概率論原理進(jìn)行研究.針對某金融基金管理公司M采取兩種獎金派發(fā)模式：一種是抓鬮模式，另一種是領(lǐng)獎模式.通過相關(guān)數(shù)據(jù)分析，得出了獎金的分布情況，引出了統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn).建立近似于正態(tài)分布的泊松分布模型和兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】風(fēng)險決策；泊松分布模型；統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；期望；假設(shè)性檢驗(yàn)

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（11371230）；山東省自然科學(xué)基金（ZR2012AM012）.

一、引 言

2014年年初，微信紅包橫空出世，隨后是支付寶紅包、騰訊QQ紅包等.因此，微信群和QQ群每逢節(jié)假日或者聚會活動等，大家爭先恐后搶紅包，派發(fā)紅包，特別是在春節(jié)等重要的節(jié)假日，成為全民參與的游戲，這就是每年春節(jié)期間的紅包大戰(zhàn).微信紅包功能是對現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)紅包的擬物設(shè)計(jì)，而開發(fā)的隨機(jī)紅包又將“抽獎”與“紅包”相結(jié)合.而紅包和抽獎本身就是大家喜聞樂見的游戲玩法，微信紅包將其電子化，沒有距離和空間的約束，千里之外可以參與游戲，為其廣泛性和便捷性帶來了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、問題的提出

每到年終，許多公司為員工發(fā)年終獎的時候選擇各種獎金派發(fā)模式.這里我們假設(shè)選擇兩種最常見的方式：一種是隨機(jī)抓鬮模式，另一種是領(lǐng)獎模式（30萬元）.下面我們對其涉及的概率論、統(tǒng)計(jì)分析、假設(shè)檢驗(yàn)和風(fēng)險評估等問題進(jìn)行理論研究.

研究的問題：

問題1 若核心員工A對待風(fēng)險持中立態(tài)度，既不回避風(fēng)險，也不主動追求風(fēng)險.不管風(fēng)險狀況如何，預(yù)期收益的大小是他們選擇資產(chǎn)的唯一標(biāo)準(zhǔn)，這是由于所有相同預(yù)期收益的資產(chǎn)將給他們帶來同樣的效用.我們要用概率論相關(guān)知識計(jì)算出期望值來判斷A員工的決策.

該員工為風(fēng)險中立者，核心員工A對待風(fēng)險的態(tài)度是中立的，他的選擇取決于若采取抓鬮方式他所能獲得獎金的數(shù)學(xué)期望與不進(jìn)行抓鬮所獲得的30萬元獎金的比較.若數(shù)學(xué)期望高于30萬元，員工A將會采取抓鬮方式，否則不采取.

問題2 若核心員工B選擇抓鬮模式，他在箱子中抽獎，在這種情況下他獲得的錢數(shù)小于等于30的概率是多少（即他承擔(dān)的風(fēng)險），運(yùn)用相關(guān)知識判斷他獲得總獎金的概率分布是什么.

核心員工B采取抓鬮方式，他所承擔(dān)的風(fēng)險可以理解為抓鬮所得的獎金額小于30萬的概率，對于他所獲得的總獎金的可能取值，首先通過Excel將0.1至10共100個數(shù)據(jù)列出，應(yīng)用隨機(jī)求和函數(shù)進(jìn)行隨機(jī)抽取其中的6個數(shù)并加和的運(yùn)算.從而得到一組新數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)即為6張獎券的總金額的可能取值.求取總金額的方式可應(yīng)用MATLAB軟件、SPSS軟件或Excel，也可以通過C-Free編程得到.對于所求得的表示獎金總金額的新數(shù)據(jù)，通過Excel生成頻率分布直方圖，可以清晰直觀地看出這組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)及分布情況.對于該員工總金額的概率分布情況，用上述求得的獎券金額的數(shù)據(jù)，應(yīng)用MATLAB軟件中的畫圖程序，畫出概率分布圖，從而可直觀地得到該員工所獲得的獎金的概率分布情況.

問題3 該公司派出一些員工到哈佛大學(xué)金融學(xué)進(jìn)修，用抽樣調(diào)查來獲得數(shù)據(jù)，運(yùn)用假設(shè)性檢驗(yàn)的方法來判斷進(jìn)修的員工業(yè)績是否有顯著性提高，并以此次數(shù)據(jù)假設(shè)性檢驗(yàn)得到的結(jié)果決定是否應(yīng)該繼續(xù)派遣員工到哈佛大學(xué)金融學(xué)進(jìn)修.

對于員工進(jìn)修項(xiàng)目能否提高員工業(yè)績以及是否應(yīng)繼續(xù)實(shí)施的問題.通過數(shù)據(jù)可知，接受培訓(xùn)的員工的業(yè)績的均值，記為X1；未接受培訓(xùn)的員工的業(yè)績的均值，記為X2.可求接受培訓(xùn)的員工的業(yè)績的方差，記為S21；未接受培訓(xùn)的員工的業(yè)績的方差，記為S22.由其概率分布，在給定的顯著性水平下，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法得出結(jié)論.

三、模型的建立與求解

我們做出如下假設(shè)：

（1）抽樣調(diào)查獲取的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確且能夠?qū)傮w做出預(yù)測.

（2）一個員工抽取的各種結(jié)果相互獨(dú)立且服從員工一次抽取各種情況概率相等的古典概型.

（3）員工抓鬮獲得總獎金的概率分布是泊松分布.

統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法概述：以小概率為標(biāo)準(zhǔn)，對總體參數(shù)或分布形式所做出假設(shè)進(jìn)行判斷.基本思路如下：

（1）提出原假設(shè)與備擇假設(shè).結(jié)合實(shí)際問題背景，一般原假設(shè)為零假設(shè)或無效假設(shè)，備擇假設(shè)為期望出現(xiàn)的結(jié)論.再根據(jù)備擇假設(shè)選取單雙側(cè)檢驗(yàn).

（2）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.

（3）根據(jù)顯著性水平確定拒絕域.

（4）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量樣本觀測值.

（5）如果樣本觀測值落入拒絕域，就拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)；反之，則不否定原假設(shè).

適用性條件：樣本總體服從正態(tài)分布或樣本容量較大時，也可能產(chǎn)生兩類錯誤，可以通過增加樣本容量，盡量控制兩類錯誤.

Z=X1-X2-（μ1-μ2）S21n+S22m.

（一）針對問題1模型的建立與求解

根據(jù)古典概型可以列出員工抓鬮獲得的總錢數(shù)，利用概率論知識求得期望E（X）=∑XiPi=30.3.結(jié)論1：E（X）=30.3>30，根據(jù)所求得數(shù)據(jù)，該核心員工抓鬮獲得的預(yù)期收益比確定的領(lǐng)獎方式獲得的收益大，他會選擇抓鬮的方式來確定他獲得獎金的多少.

（二）針對問題2模型的建立與求解

收益與風(fēng)險是相對應(yīng)的，也就是兩者是相伴而生的.正所謂“高風(fēng)險，高收益；低風(fēng)險，低收益”.若核心員工B采取抓鬮模式會帶來兩種結(jié)果：（1）核心員工B所獲得的獎金大于等于確定的獎金；（2）核心員工B獲得的收益小于確定的獎金額.第二種情況就是核心員工采取抓鬮模式所帶來的風(fēng)險.根據(jù)概率求解公式P=具有某種屬性特征的個數(shù)總體的個數(shù)=4797≈0.485.由計(jì)算的數(shù)據(jù)可得核心員工B采取抓鬮模式需承擔(dān)的風(fēng)險是48.5%.

由于泊松分布P（X=k）=e-λλkk！描述的是單位時間（或單位面積）內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率.對于單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)可以由泊松分布來描述.當(dāng)λ大的時候泊松分布與正態(tài)分布接近（見下圖）.結(jié)論2：由下圖可以看出，核心員工采用抓鬮模式獲得的獎金服從泊松分布.endprint

（三）針對問題3，假設(shè)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)推斷

假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一重要內(nèi)容，其目的是比較總體參數(shù)之間有無差別.實(shí)際中多數(shù)情況是用樣本數(shù)據(jù)去推斷總體.對于該樣本的假設(shè)檢驗(yàn)，要進(jìn)行參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，對原假設(shè)是否成立做出判斷.原假設(shè)是否成立做出的判斷是“小概率原理”，如果在原假設(shè)成立前提下，在一次觀察中小概率事件發(fā)生了，則認(rèn)為原假設(shè)不正確，予以否定；反之，如果小概率事件沒有發(fā)生，則不否定原假設(shè).由隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)，利用上述概率分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，應(yīng)用兩正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)得出進(jìn)修項(xiàng)目是否提高員工業(yè)績.

從上表可以看出未接受培訓(xùn)員工創(chuàng)造平均業(yè)績小于接受培訓(xùn)員工創(chuàng)造平均業(yè)績.μ1：接受培訓(xùn)的員工平均業(yè)績；μ2：未接受培訓(xùn)員工平均業(yè)績；n=4，m=8.

（1）建立原假設(shè)和備擇假設(shè).H0：μ1≤μ2，H1：μ1>μ2.

（2）構(gòu)造Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=（X1-X2）-（μ1-μ2）S21n+S22m.

（3）在顯著性水平α=0.05下，根據(jù)備擇假設(shè)，選右側(cè)檢驗(yàn)Zα=1.645，拒絕域[1.645，+∞）.

（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀測值Z=X1-X2S21n+S22m=11.112 58.514 057 5≈1.305 1.

（5）Z=1.305 1

結(jié)論3：由近似方法得出進(jìn)修員工平均業(yè)績高于未進(jìn)修員工平均業(yè)績.由上述統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)太少，不能認(rèn)為接受培訓(xùn)員工的平均業(yè)績高于未接受培訓(xùn)員工的平均業(yè)績.

四、結(jié) 語

通過理論分析，獲得如下結(jié)論：

（1）該核心員工抓鬮獲得的預(yù)期收益比確定的領(lǐng)獎方式獲得的收益大，他會選擇抓鬮的方式來確定他獲得獎金的多少.

（2）核心員工采用抓鬮模式獲得的獎金服從泊松分布.

（3）進(jìn)修員工平均業(yè)績高于未進(jìn)修員工平均業(yè)績.

因此，在派發(fā)紅包時，不論是從預(yù)期收益還是游戲樂趣，不論是派發(fā)紅包的人還是搶紅包的人都樂于選擇隨機(jī)派發(fā)，而不是均等派發(fā).

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳建國.數(shù)學(xué)建模案例精編[M].北京：中國水利水電出版社，2005.

[2]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1983.