淺談高中數(shù)學(xué)教材中“算兩次”的思想

俞昉昉

(江蘇省海門(mén)市第一中學(xué) 226100)

淺談高中數(shù)學(xué)教材中“算兩次”的思想

俞昉昉

(江蘇省海門(mén)市第一中學(xué) 226100)

本文從教材中擷取一些素材，漫談高中數(shù)學(xué)教材中算兩次的思想.

算兩次；數(shù)學(xué)方法

“將一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同得到等式”，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”(G．Fubini原理).蘇教版教材選修2-3《計(jì)數(shù)原理》章節(jié)復(fù)習(xí)中提到了這種思想.“算兩次”思想的應(yīng)用常見(jiàn)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽，但事實(shí)上這種思想方法在高中數(shù)學(xué)教材中并不鮮見(jiàn)，一些重要的定理和公式的證明中就滲透著“算兩次”的數(shù)學(xué)思想方法.算兩次的運(yùn)用相當(dāng)廣泛，散見(jiàn)于各層級(jí)、各類(lèi)型數(shù)學(xué)問(wèn)題中，如組合論證、幾何問(wèn)題、函數(shù)與方程、計(jì)數(shù)應(yīng)用等.

一、算兩次與數(shù)學(xué)定理、公式的推導(dǎo)

尋找等量關(guān)系列方程的實(shí)質(zhì)就是抓住一個(gè)量，挖掘已知條件，從兩種角度表示同一個(gè)量，進(jìn)行兩次演算，即一個(gè)量，算兩次.許多數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和證明都可以采用算兩次的思想.

蘇教版教材上采用算兩次的方法推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理、公式的地方還有很多.如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)所運(yùn)用的倒序相加法，推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式所采用的等面積法，立體幾何中求點(diǎn)面距所用的換頂點(diǎn)的方法，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的引入，解析幾何中推導(dǎo)圓錐曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)所立的等量關(guān)系式等等都是算兩次的典型范例.

二、算兩次與組合恒等式

組合恒等式的證明，如果僅僅采用組合數(shù)的定義和階乘運(yùn)算，有時(shí)計(jì)算繁雜，不得其法.在證明某些組合恒等式時(shí)還可以考慮采用比較系數(shù)法和組合分析法.比較系數(shù)法指的是利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的兩邊對(duì)應(yīng)的同次冪的系數(shù)相等獲得等式.組合分析法就是通過(guò)構(gòu)造具體的組合計(jì)數(shù)模型，再根據(jù)組合數(shù)的加法原理和乘法原理得到恒等式兩邊相等.這兩種方案都是采用算兩次的方法.

三、算兩次與幾何問(wèn)題

研究一些幾何問(wèn)題，我們也常常采用算兩次的方法，著眼于從兩個(gè)方面計(jì)算同一線(xiàn)段的長(zhǎng)度、同一圖形的面積、同一幾何體的體積.

例3 (蘇教版必修2教材P55)如果用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的高是多少？

例4 (蘇教版選修2-2教材P66)(1)已知正三角形的邊長(zhǎng)為a，求它的內(nèi)切圓的半徑r；(2)已知正四面體的棱長(zhǎng)為a，求它的內(nèi)切球的半徑r．

除了上述三個(gè)幾何類(lèi)問(wèn)題，教材中還有不少定義、公式和元素也有多種表達(dá)形式，如：平面向量的數(shù)量積，圓錐曲線(xiàn)的定義，直線(xiàn)的斜率，不同數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題等等，正是基于它們的多面性，算兩次方法才得以實(shí)施.

算兩次作為一種常用的數(shù)學(xué)方法，如果題目中的某些對(duì)象(幾何對(duì)象或代數(shù)對(duì)象)具有“雙重身份”或“兩面性”，則可優(yōu)先考慮對(duì)其“演算兩次”.算兩次作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量用不同的方法計(jì)算兩次，通過(guò)“殊途同歸”達(dá)到“出奇制勝”的目的.在教學(xué)中，教師應(yīng)該發(fā)揮教材的母體性，深度挖掘教材中的素材，整合知識(shí)，提煉思想方法，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

[1]徐達(dá)育,錢(qián)軍先. 摭談“算兩次”方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的挖掘與提煉[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué),2015(11).

[2]付秀鳳. 高中數(shù)學(xué)解題中“算兩次”思想方法的應(yīng)用探析[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015(13).

G632

A

1008-0333(2017)31-0022-02

2017-07-01

俞昉昉(1985.04-)，女，江蘇省南通人，本科，中級(jí)職稱(chēng)，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

楊惠民]