有限群的Engel自同構(gòu)

常學(xué)武,劉亞薇

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

有限群的Engel自同構(gòu)

常學(xué)武,劉亞薇

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

推廣了群論中Engel元的定義, 引入了有限群的Engel自同構(gòu)的概念, 得到了該類自同構(gòu)的階與群的方次數(shù)的一個(gè)精確的整除關(guān)系和最佳上界估計(jì),并對(duì)有限p-群研究了其Engel自同構(gòu)集合的若干性質(zhì)和結(jié)構(gòu)信息, 所得結(jié)果不僅加強(qiáng)了Baer定理, 而且可用來研究有限群的自同構(gòu)及其對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響.

自同構(gòu);Engel元;Engel自同構(gòu);Engel次數(shù)

0 引言

本文所使用的符號(hào)和術(shù)語大多是標(biāo)準(zhǔn)的, 可參考群論專著Isaacs[1]和Huppert[2]。

設(shè)G為任意群(未必有限), 任取x,y∈G, 記[x,1y]=[x,y]=x-1y-1xy. 一般地, 對(duì)任意正整數(shù)n≥2, 我們記

[x,ny]=[[x,n-1y],y].

如果對(duì)任意x,y∈G均存在正整數(shù)n, 使得[x,ny]=1, 則稱G為一個(gè)Engel群。設(shè)g∈G,如果存在正整數(shù)n,使得對(duì)任意x∈G,都有[x,ng]=1,則稱g為G的一個(gè)(右)Engel元。

上述Engel條件最先出現(xiàn)在李代數(shù)理論中, 如著名的Engel定理:如果一個(gè)有限維李代數(shù)的每個(gè)元素都是ad-冪零的(即Engel元), 則該李代數(shù)是冪零李代數(shù)。 事實(shí)上, 無限Engel群的研究非?；钴S, 得到了大量的深刻結(jié)果,見文獻(xiàn)[3-12]等。 關(guān)于有限Engel群,許多學(xué)者也進(jìn)行了深刻的研究, 見文獻(xiàn)[13-15]。其中Zorn[2]在1936年證明了一個(gè)著名的定理, 即有限Engel群均為冪零群。 Baer[2]得到了兩個(gè)經(jīng)典結(jié)果, 其一是證明了:如果有限群G可由Engel元生成, 則G冪零;其二是推廣了上述Zorn定理, 我們敘述如下,

Baer定理設(shè)G為有限群, 則g∈G為Engel元當(dāng)且僅當(dāng)g∈F(G)。

其中F(G)表示有限群G的Fitting子群, 即G的唯一極大的冪零正規(guī)子群。

[x,nα]=[[x,n-1α],α], ?x∈G.

如果自同構(gòu)α也滿足類似的Engel條件, 即存在某個(gè)正整數(shù)n, 使得[x,nα]=1對(duì)所有x∈G都成立, 我們稱α為G的一個(gè)Engel自同構(gòu), 而稱如此最小的正整數(shù)n為α的Engel次數(shù), 簡稱次數(shù)。

本文首先研究了Engel自同構(gòu)的次數(shù), 給出了Engel自同構(gòu)的階與群的方次數(shù)一個(gè)精確的整除關(guān)系, 并且還得到了最佳的上界估計(jì)。 其次探討了兩個(gè)Engel自同構(gòu)的乘積何時(shí)還是Engel自同構(gòu), 獲得了一個(gè)有效的充分條件。 最后, 為了得到關(guān)于Engel自同構(gòu)集合更為精確的結(jié)構(gòu)信息, 我們重點(diǎn)考察了有限p-群, 建立了該類群的全體Engel自同構(gòu)的集合恰為一個(gè)群的充要條件。 本文所得的結(jié)果, 顯示了Engel自同構(gòu)對(duì)群結(jié)構(gòu)有很大的限制和影響,特別是將上述Baer定理推廣到自同構(gòu), 為深入研究群的結(jié)構(gòu)提供了有用的技術(shù)。

1 主要結(jié)果及證明

我們先引入Engel自同構(gòu)的概念。

定義1 設(shè)G為有限群,α∈Aut(G), 如果存在一個(gè)正整數(shù)n使得[G,nα]=1,則稱α為G的一個(gè)Engel自同構(gòu)。 稱如此最小的正整數(shù)n為α的Engel次數(shù), 記為deg(α).

我們記Aute(G)為G的全體Engel自同構(gòu)組成的集合, 顯然G的恒等自同構(gòu)總是一個(gè)Engel自同構(gòu)。 值得注意的是Aute(G)一般不是乘法封閉的, 從而Aute(G)未必是Aut(G)的子群。

下面是Engel自同構(gòu)的基本性質(zhì), 為此我們需要回顧一個(gè)概念。 設(shè)α∈Aut(G)為有限群G的一個(gè)自同構(gòu), 如果存在子群列

G=G0≥G1≥…≥GS=1

使得[Gi,α]≤Gi+1,其中i=0,1,…,s-1,則稱α固定該子群列。

引理2 設(shè)G為有限群,α∈Aut(G). 則下述等價(jià):

(1)α為G的Engel自同構(gòu)。

(2)α可固定G的一個(gè)子群列。

證明先證明 (1)?(2). 假設(shè)α為G的Engel自同構(gòu), 設(shè)deg(α)=n, 根據(jù)定義, 可知α固定下述子群列

G≥[G,α]≥[G,α,α]≥…≥[G,nα]=1 .

反之, 如果α可固定G的一個(gè)子群列

G=G0≥G1≥…≥GS=1,

按定義即[Gi,α]≤Gi+1, 對(duì)任意i=0,1,…,s-1, 據(jù)此可推出[G,sα]=1, 表明α為G的Engel自同構(gòu)。

所以, 我們有

注意到α∈F, 從上述等式可知

按定義, 表明α是G的一個(gè)Engel自同構(gòu), 即(1)成立。

當(dāng)α為群G的一個(gè)Engel自同構(gòu)時(shí), 由上述引理知α能固定G的一個(gè)子群列。 根據(jù)推論4.30[1], 則α的階o(α)的素因子均整除群G的階|G|. 本文第一個(gè)定理給出了該經(jīng)典結(jié)果的一個(gè)加強(qiáng), 并且得到了最佳上界估計(jì)。

定理3 如果α∈Aute(G)且deg(α)=n, 則o(α)|exp(G)n-1, 其中exp(G)為G的方次數(shù), 即G中所有元素的階的最小公倍數(shù)。

證明對(duì)deg(α)=n作數(shù)學(xué)歸納法。 當(dāng)n=1時(shí), 按定義α為G的恒等自同構(gòu), 此時(shí)o(α)=1, 結(jié)論自然成立。 當(dāng)n=2時(shí), 按定義有[G,α,α]=1, 下證o(α)|exp(G).

因?yàn)閇G,α,α]=1, 即對(duì)任意的x∈G, 都有[x,α]α=[x,α]. 我們斷言[x,αm]=[x,α]m. 下面對(duì)m作歸納來證明。 當(dāng)m=1時(shí), 顯然成立。 當(dāng)m>1時(shí), 由歸納假設(shè), 則

[x,αm]=[x,α·αm-1]=[x,αm-1][x,α]αm-1=[x,α]m-1[x,α]=[x,α]m,

故斷言得證。 特別地, 可令m=exp(G), 則[x,αm]=1, 從而o(α)|exp(G)顯然成立, 表明所證結(jié)論對(duì)n=2成立。

下設(shè)n≥3.考慮G的長度為n的子群列

G≥[G,α]≥[G,α,α]≥…≥[G,nα]=1.

下述例子表明定理3中所給出的上界是最佳的,一般不能再加以改進(jìn)。

下面我們將研究有限群G的全體Engel自同構(gòu)的集合Aute(G), 考察其何時(shí)也構(gòu)成一個(gè)群,等價(jià)于任意兩個(gè)Engel自同構(gòu)的乘積仍為Engel自同構(gòu)。 以下給出一個(gè)充分條件。

命題5 設(shè)G為有限群, 任取α,β∈Aute(G), 如果αβ=βα, 則αβ仍為Engel自同構(gòu)。

仍由Baer定理知αβ是G的Engel自同構(gòu)。

簡單計(jì),下面我們將重點(diǎn)討論G為p-群的情形, 此時(shí)有下述關(guān)于Engel自同構(gòu)的簡單判據(jù)。

定理6 設(shè)G為有限p-群, 任取α∈Aut(G), 則α為Engel自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)o(α)為p的方冪。

當(dāng)G=Q8為Hamilton四元數(shù)群時(shí),熟知Aut(G)?S4為四次對(duì)稱群[10], 由上述定理可知G的Engel自同構(gòu)等同于階為2的方冪的自同構(gòu),但S4可由對(duì)換生成。 該例表明任意群G的兩個(gè)Engel自同構(gòu)的乘積一般不是Engel自同構(gòu), 即Aute(G)未必成群。 進(jìn)而, 該例也表明由全部Engel自同構(gòu)所生成的子群〈Aute(G)〉一般也不是冪零群。

下面給出Engel自同構(gòu)集合Aute(G)成群的一個(gè)充要條件。

定理7 設(shè)G為有限p-群, 則Aute(G)是Aut(G)的子群當(dāng)且僅當(dāng)Aut(G)的Sylowp-子群正規(guī),即Aut(G)為p-閉群,此時(shí)Aute(G)恰為Aut(G)唯一的Sylowp-子群。

證明根據(jù)定理6,可知Aute(G)是Aut(G)中所有p-元的集合, 從而等于Aut(G)的所有Sylowp-子群的并,由此推出Aute(G)是一個(gè)子群當(dāng)且僅當(dāng)Aut(G)的Sylowp-子群是唯一的,即Aut(G)為p-閉群。

一個(gè)極端情形是所有的自同構(gòu)均為Engel自同構(gòu),下面給出該現(xiàn)象發(fā)生的一個(gè)充要條件。

推論8 設(shè)G為有限p-群,則Aut(G)=Aute(G)當(dāng)且僅當(dāng)Aut(G)仍為p-群。

證明如果Aut(G)=Aute(G),則Aute(G)為群,根據(jù)定理7,則Aute(G)恰為Aut(G)唯一的Sylowp-子群,所以Aut(G)為p-群。 反之, 如果Aut(G)為p-群,根據(jù)定理6,可知Aut(G)中成員均為Engel自同構(gòu),即Aut(G)=Aute(G).

[1] Isaacs I M.Finite Group Theory[M].AMS Providence,Rhode Island，2008.

[2] 胡佩特.有限群論[M].第一卷,第一分冊(cè).福州：福建人民出版社,1992.

[3] Golod E S.Some problems of Burnside Type[J].ProcInternatCongrMath,1966,84(2):284-289.

[4] Kappe L C,Kappe W P.On Three-Engel Groups[J].BulletinoftheAustralianMathematicalSociety,1972,7(3):391-405.DOI:10.1017/S000497270004524X.

[5] Macdonald I D,Neumann B H.A Third-Engel 5-group[J].JournaloftheAustralianMathematicalSociety,1967,7(4):555-569.DOI:10.1017/S144678870000450X.

[6] Plotkin B I.Notes on Engel Groups and Engel Elements in Groups.Some Generalizations[Z/OL].arXiv:math/0406100v1 [math.GR],2004.

[7] Bussman C.Commutator Conditions in Normal Closures of Engel Group[D].Saint Louis University,2011.http:∥math.geek-den.net/Bussman-dissertation.pdf.

[8] Khukhro E,Shumyatsky P.Engel-type Subgroups and Length Parameters of Finite Groups[Z/OL].arXiv:1506.00233v2 [math.GR],2015.5

[9] Bacon M R,Kappe L C,Morse R F.On the Nonabelian Tensor square of a 2-Engel Group[J].ArchivderMathematik,1997,69(5):353-364.DOI:10.1007/S000130050133.

[10] 徐明曜.有限群導(dǎo)引(上冊(cè))[M].北京:科學(xué)出版社,1987.

[11] Shirshov A I.On Some Groups which are Nearly Engel[M]∥Selected Works of A.I. Shirshov. Birkh?user Basel,2009:137-147.

[12] Mochizuki S B H Y.Third Engel Groups and the Macdonald-Neumann Conjecture[J].BulletinoftheAustralianMathematicalSociety,1971,5(3):379-386.DOI:10.1017/S0004972700047365.

[13] Burns R G,Medvedev Y.A Note on Engel Groups and Local Nilpotence[J].JournaloftheAustralianMathematicalSociety,1998,1(1):92-100.DOI:10.1017/S1446788700001324.

[14] Wilson J S.Two-Generator Conditions for Residually Finite Groups[J].BulletinoftheLondonMathematicalSociety,1991,23(3):239-248.DOI:10.1112/blms/23.3.239.

[15] Bastos R.On Residually Finite Groups with Engel-like Conditions[J].CommunicationsinAlgebra,2016:4177-4184.DOI:10.1080/00927872.2015.1087014.

EngelAutomorphismsofFiniteGroups

CHANG Xuewu,LIU Yawei

(SchoolofMathematicalSciences,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

The concept of Engel automorphisms of a finite group is introduced, which generalizes the notion of Engel elements of finite groups. A sharp dividing relationship and a best upper boundary estimation between the order of an Engel automorphism and the exponent of the group are established. Moreover, some properties and structural informations of the set of Engel automorphisms ofp-groups are studied. The results obtained strengthened Baer’s theorem and can be used to study the automorphism groups of finite groups and its influence on the structure of the groups.

automorphism;engel element;engel automorphism;engel degree

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.04.007

2016-07-27；

2016-12-01

山西省自然科學(xué)基金 (201601D011006)

常學(xué)武(1984-),男,理學(xué)博士,講師,研究領(lǐng)域?yàn)橛邢奕罕硎菊?。E-mail:changxuewu@sxu.edu.cn

O152.1

A

0253-2395(2017)04-0721-04