靜電場中的鏡像電荷對偶方法

蔣銘陽

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

靜電場中的鏡像電荷對偶方法

蔣銘陽

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

通過庫侖定律研究靜電場問題，基本出發(fā)點是電荷的帶電量無限集中于一點，兩電荷之間受力的規(guī)律與物體間的萬有引力形式上是統(tǒng)一的，從這個形式出發(fā)，可以采用相似的方法研究點電荷的受力規(guī)律，質(zhì)點與點電荷對等，本文在此基礎上引入虛擬的鏡像電荷，按照電場疊加等效的原則，利用邊界條件認識鏡像電荷的物理意義，有助于研究靜電場中感應電荷電場分布。

靜電場；庫侖定律；鏡像電荷；感應電荷

本文討論了幾種不同的場景，通過研究靜電場中電荷分布的規(guī)律，引入了像電荷的觀點，像電荷是虛擬的電荷，具有數(shù)學上的意義，同時根據(jù)電場可以疊加的原理，鏡像電荷并未改變局部電場的分布，即像電荷也具有其特定的物理意義。從存在性上講，引入像電荷是為方便計算而來，它并不存在，但引入像電荷之后，靜電場可以看著是原電荷和像電荷的矢量疊加，根據(jù)靜電場的疊加原理，可以分別求出原電荷和像電荷在空間某點處產(chǎn)生的庫侖力，方便了問題的分析和計算。

先考慮一個點電荷與一個接地金屬導體球組成的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)就是由質(zhì)點與非質(zhì)點物體構成的，不能像對兩個簡單的質(zhì)點之間的分析一樣。由于庫侖定律表達式

有類似的形式，考慮到在處理質(zhì)點與均勻球體之間萬有引力時采用的是等效的方法，即將質(zhì)點對均勻球體的力等效在等效作用點（球心）上，在對一個點電荷與一個接地金屬導體球組成的系統(tǒng)進行分析時，可以采用類似的等效法，從而轉(zhuǎn)換為較為方便的、對兩質(zhì)點的分析。需要注意的是，當我們分析萬有引力時，將球體的總質(zhì)量等效為一個質(zhì)點，不影響球體之間的萬有引力的關系。球體的質(zhì)量分布是不會因質(zhì)點的存在而改變的，但分析金屬球體時，其表面會不均勻地帶上感應電荷，可以肯定的是，這個等效點不再是球心。

根據(jù)這種對應的形式，本文考慮了點電荷模型，其中點電荷在球殼外，點電荷在球殼內(nèi)三種場景，討論應用靜電荷中基本定律，求解電場問題的一般方法，在此基礎上用虛擬的像電荷等效的概念，將球殼等效為一個未知電量及位置的點像電荷。

為了方便分析，先考慮以下模型：

空間中存在的兩個點電荷，相距為d，分別帶電+Q與-q。此時理論上可以畫出空間中電場線以及等勢面，為方便起見，先考慮以無窮遠為零電勢時電勢為零的等勢面。若重疊于等勢面放置一塊金屬接地薄板，可以肯定，空間中電場線、等勢面分布不會發(fā)生改變，金屬板所分割成的兩個空間的電場因靜電屏蔽而不變。此時可以發(fā)現(xiàn)撤去一個電荷，另一個電荷所在的分割后的空間電場仍不會變化。

下面對這個等勢面進行分析。

利用點電荷在空間中產(chǎn)生的電勢U與距點電荷的距離R的關系

以及電勢的疊加原理，得到空間中任意一點、距+Q、-q分別為R、r的一點（由于此系統(tǒng)具有二維對稱性，所以確定兩個坐標量就可以確定該點情況）電勢為

建立，以-q為原點，-q指向+Q方向為x軸正方向的坐標系，在二維坐標內(nèi)一點（X，Y)到兩點距離關系有：

由于X2、Y2的系數(shù)相等，故上述方程軌跡為一個圓，推廣到三維坐標系中，將會形成一個球。在此基礎上，可以反向利用該結(jié)論，即一個點電荷與一個接地金屬導體球組成的系統(tǒng)在球外產(chǎn)生的電場可以等效為兩個點電荷的合作用，只是等效的那個電荷的位置和帶電量尚未確定。以下將討論其確定方法。

在此基礎上，用以下方法求解：

如圖1所示，以球心為原點，考慮一個過球心、實際存在的+Q、虛擬的-q的一個面

圖1 鏡像電荷計算閉合曲面模型

設-q（x，0），由兩個點在球表面上任意一點合電勢為零，考慮離+Q最近的球面上的點和離+Q最遠的球面上的點電勢為零，可以列出下列式子

由上述模型可以發(fā)現(xiàn)，金屬球殼可以將空間分為兩個相互獨立的兩部分，起到了靜電屏蔽的作用，實際上點電荷在金屬球殼內(nèi)產(chǎn)生的場強仍然遵循庫侖定律，并沒有消失，只是被球殼帶的感應電荷所產(chǎn)生的合場強所抵消了。在此基礎上，可以知道球殼內(nèi)一點的電勢表達式：

也就是說球內(nèi)表面所帶總電荷量就等于球殼內(nèi)像電荷所帶電荷量，這符合對感應電荷的認知。即電荷不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。

通過以上的討論，在靜電場中，電荷是感應出來的，感應現(xiàn)象只是改變了原有電荷的分布，可見電荷總代數(shù)和始終是守恒的，鏡像電荷的引入，只是一種數(shù)學方法，并沒有改變物理定律的普遍適用性。

以下對該模型進行討論

由q、x的表達式可知，q、x均趨近于零，其意義是金屬球足夠小的情況下，對空間電場分布幾乎沒有影響，類似于質(zhì)點是質(zhì)量的無線集中，在萬有引力定律中，將質(zhì)量集中在一處，也不會改變物體之間的萬有引力的大小。在坐點電荷近似后，可以忽略其存在。此處有明確的物理意義，這種近似也是比較合理的。

可以知道此時的像電荷相當于在距球心無限遠處放一個電荷，而球心也在無限遠處，無法直接分析，為了分析這種情況，先借助以下模型進行分析

空間中存在相距為2L的電荷+q、-q，類似于上面的模型，根據(jù)分布的幾何對稱性，易知此時的零等勢面為垂直于兩電荷連線的中垂面，是一個平面。在該平面上，原電荷和鏡像電荷激發(fā)出來的電場，大小相等，方向相反，可以等效為接地面。同樣地若在這個平面處放上一塊接地金屬板，將會把空間分為兩個互相獨立的部分，且兩部分關于金屬板對稱。于是易得+q、-q可以互為像電荷，而且此時的金屬板為無限大平面，可以認為是圓心在無限遠處、半徑無窮大的球的對應立體角極小的球冠，當對應的圓心角足夠小時，每一段弧線就是一段線性微元，滿足可積分的條件，這正是所討論的的情況。

反過來再看q、x的表達式

同理

此結(jié)論與上述分析相符。

上述推導過程中，用到了多項式展開的泰勒公式，作為合理的近似，截去高階無窮小量，僅保留前兩項。

在此基礎上，理論上可以得到點電荷與無限大接地金屬平板組成的系統(tǒng)在空間中產(chǎn)生的電場，這里按照金屬板表面附近的電場分析金屬板上電荷分布。

由于該系統(tǒng)具有二維對稱性，其中y軸在金屬板上，x軸通過像電荷與點電荷連線的場景。

分析y軸上一點，設此點與點電荷q的連線與x軸夾角為θ，此點的電場強度

考慮一個以原點為圓心的位于金屬板上的一個極細圓環(huán)，其寬度對應q處的夾角為dθ微元。

環(huán)上任意一點與電荷的連線與x軸夾角可以認為是不變的，均為θ，可以得到此圓環(huán)的面積

對此圓環(huán)運用高斯定理，取一個封閉曲面即圓環(huán)柱，其高度很小，可以得到

解得

此時已經(jīng)得到平板作為一個非質(zhì)點物體的帶電面密度關于θ的關系，說明平板的帶電情況已經(jīng)確定，在此基礎上，可以求出平板的帶電總量

代入σ(θ)、dS的表達式，將上式寫為積分形式

求出金屬平板的總帶電量為-q，同樣可以利用之前點電荷在球殼上產(chǎn)生的感應電荷的結(jié)論，只不過這個球殼半徑無窮大，其總的感應電荷為-q，是符合之前的結(jié)論的。

（3）點電荷在金屬球殼內(nèi)

由于之前的模型中被球殼分割的兩部分互不影響，所以接地球殼內(nèi)的點電荷的像電荷為以點電荷作為像電荷在模型“點電荷在球殼外”中所對應原來的電荷。設此時點電荷帶電量為q，接地球殼半徑為R，點電荷距球心距離為x，像電荷距球心為d，帶電量為Q，有

由此確定了像電荷大小以及虛擬的位置。

①鏡像電荷使用需要注意的幾個問題：

②鏡像電荷不能和原電荷在同一側(cè)，否則就不是鏡像電荷了；

③鏡像電荷和原電荷產(chǎn)生的場，在邊界處不改變原來的場線的分布；

④系統(tǒng)總的電荷代數(shù)和要守恒；

⑤鏡像電荷一般處于與原電荷對稱的位置，但不絕對；

⑥鏡像電荷的個數(shù)可能不唯一；

本文從三個不同的場景分析了鏡像電荷的位置和大小的確定方法，總的原則是從系統(tǒng)總的電荷量代數(shù)和不變出發(fā)，感應電荷只是改變了正負電荷的分布，其總量不變。根據(jù)高斯定理，電場屬于有源場，即任意一個閉合曲面內(nèi)無點電荷源，則電通量為0。研究感應電荷的分布時，這個視角可以提供一種方便的分析方法。對于非點電荷的情形，用微元法思想，結(jié)合積分等數(shù)學工具進行分析，電場力適用矢量的分解與合成，對于更加復雜的情形，分解成本文總結(jié)的三種特殊情形后，再矢量疊加即可；本文討論了一種普遍的分析方法。

像電荷等效的本質(zhì)是電場的疊加性，通過模擬等效電場，從數(shù)學意義上引入了一個位置上對稱的點電荷，在用像電荷替換掉球殼之后，電場的分布和大小并未發(fā)生變化，但像電荷相當于把電場源等效為一點，這樣場的問題就簡化為了兩個點電荷的矢量疊加，點電荷適用的庫侖定律在此情景下就簡便很多。

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TP319 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5624（2018）02-0104-03