基于DS/AHP的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)條件概率值確定方法*

李志強(qiáng)，徐廷學(xué)，顧鈞元，王瑞奇

(海軍航空工程學(xué)院 兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東 煙臺 264001)

0 引言

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Bayesian networks，BN)[1-3]在不確定性知識表達(dá)與分析中具有獨(dú)特優(yōu)勢，已廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中。BN應(yīng)用的難點(diǎn)在于模型構(gòu)建，包括建立拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和確定模型參數(shù)。當(dāng)前，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)有3種構(gòu)建方法[4]，①利用專家經(jīng)驗(yàn)知識手動建立BN結(jié)構(gòu)并確定條件概率值(conditional probability table，CPT)；②利用數(shù)據(jù)庫學(xué)習(xí)自動建立BN結(jié)構(gòu)和生成CPT；③兩階段建模，即利用專家經(jīng)驗(yàn)知識建立BN結(jié)構(gòu)，借助數(shù)據(jù)庫學(xué)習(xí)生成CPT。大多數(shù)BN基于方法3進(jìn)行構(gòu)建，然而，利用統(tǒng)計(jì)信息進(jìn)行CPT生成時(shí)，在數(shù)據(jù)訓(xùn)練過程中容易出現(xiàn)NP難題。因此，在大多數(shù)情況下，依據(jù)模糊函數(shù)[5-6]引入專家推斷信息確定CPT。杜元偉等在Malcolm Beynon[7]研究工作的基礎(chǔ)上對二元狀態(tài)BN應(yīng)用DS證據(jù)理論/層次分析方法(DS evidence theory/analytic hierarchy process，DS/AHP)確定CPT作了初步研究[8]，對于多狀態(tài)BN結(jié)構(gòu)的CPT確定尚無文獻(xiàn)提及。因此，考慮到各個(gè)專家在專業(yè)技術(shù)領(lǐng)域、知識構(gòu)成、認(rèn)知程度等方面存在差異的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步分析專家不確定信息的分析與表達(dá)，以確定多狀態(tài)條件下BN模型的CPT，并應(yīng)用到工程實(shí)踐中去。

1 基于DS/AHP方法的知識矩陣構(gòu)建

1.1 問題描述

在故障樹分析法(fault tree analysis，F(xiàn)TA)向貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型轉(zhuǎn)化過程中，事件之間具有明確的串聯(lián)、并聯(lián)、2/3表決等邏輯關(guān)系，建立的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)為簡單的二元狀態(tài)或者三元狀態(tài)，子節(jié)點(diǎn)的CPT可以通過串并聯(lián)邏輯關(guān)系確定[9-10]。隨著裝備朝著大型化、復(fù)雜化、精密化等方向發(fā)展，二元狀態(tài)向多狀態(tài)拓展，因此，對于絕大多數(shù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)而言，節(jié)點(diǎn)之間為非確定性邏輯關(guān)系。而貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)過程復(fù)雜、新型裝備數(shù)據(jù)缺乏，在進(jìn)行質(zhì)量狀態(tài)評估或可靠性分析時(shí)，涉及到大量的專業(yè)知識、專家經(jīng)驗(yàn)，從而造成了一定程度上的不確定性[11]。

工程實(shí)踐中，復(fù)雜裝備使用面臨著復(fù)雜多變的工作環(huán)境，以至于產(chǎn)生了多種不確定性問題[11-12]：數(shù)據(jù)缺乏造成的不確定性，不完全知識經(jīng)驗(yàn)造成的不確定性，不同識別模式造成的不確定性，推理中不同情境假設(shè)造成的不確定性，以至于傳統(tǒng)的依靠專家經(jīng)驗(yàn)確定條件概率值的方法受到質(zhì)疑。傳統(tǒng)的條件概率值估計(jì)方法假設(shè)所有專家都具有按照給定信息需求直接確定CPT的能力，而忽略了各個(gè)專家在知識背景、研究領(lǐng)域、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面的差異，從而使得個(gè)人推斷信息存在片面性問題，綜合推斷結(jié)果不具有科學(xué)性。在缺乏數(shù)據(jù)信息的情況下，因?yàn)楦鱾€(gè)專家在研究領(lǐng)域、專業(yè)技術(shù)、知識背景、邏輯認(rèn)知等方面存在著不同，提出基于DS證據(jù)理論/AHP層次分析法對各個(gè)專家的經(jīng)驗(yàn)信息進(jìn)行分析與表示、融合多類片面信息降低主觀因素引起的認(rèn)知不確定度，決策判斷標(biāo)準(zhǔn)如表1所示。與傳統(tǒng)的層次分析法不同，在應(yīng)用DS/AHP方法對備選方案作出評價(jià)時(shí)，省去了對每一個(gè)方案逐一比較的流程，同時(shí)也避免了模型的一致性檢驗(yàn)，進(jìn)而減少了建模的工作量與繁瑣的計(jì)算過程。此外，各個(gè)專家可就明確的備選方案進(jìn)行指標(biāo)判斷，對于不確定的備選方案可以選擇放棄判斷。

表1 決策判斷標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Knowledge scale of decision

1.2 DS證據(jù)理論

假設(shè)空間Θ表示變量X所有互斥可能值的集合，即Θ是X的一個(gè)識別框架[13-14]。假設(shè)Θ冪集構(gòu)成集合2Θ，?A?Θ，如果對于集函數(shù)m有2Θ→[0，1]，滿足：

(1)

則稱m是識別框架Θ上的基本信度分配(basic probability assignment，BPA)，表示證據(jù)對事件A發(fā)生與否的支持程度。對于識別框架Θ中的假設(shè)A，根據(jù)BPA分別求出信任函數(shù)和似然函數(shù)，構(gòu)造信任區(qū)間[Bel(A)，Pl(A)]表示對A的確認(rèn)程度。對于識別框架Θ上的2個(gè)mass函數(shù)m1,m2可以根據(jù)Dempster規(guī)則合成[15-16]：

(2)

1.3 知識矩陣構(gòu)建

在對多狀態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行條件概率賦值時(shí)，假設(shè)問詢了t個(gè)技術(shù)專家(e1，e2，…，et)，從n個(gè)維度(c1，c2，…，cn)對條件概率值組合對象x1，x2，…，xp進(jìn)行了相對于識別框架Θ的重要程度比較，并構(gòu)建了表2所示的知識矩陣。

表2 專家ei在屬性cj下的知識矩陣Table 2 Knowledge matrix of expert ei according to cj

注：表2中,1表示焦元與本身作出比較；0表示焦元未進(jìn)行比較；sk表示屬性cj下的第k個(gè)焦元(k=1，2，…，r.)；ak表示sk與識別框架Θ的對比系數(shù)；pij表示技術(shù)專家ei在屬性cj下占有的權(quán)重。

(3)

(4)

2 算例分析

以3節(jié)點(diǎn)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)為例，如圖1所示。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)由3個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，X1，X2為父節(jié)點(diǎn)，T為子節(jié)點(diǎn)。假設(shè)3個(gè)節(jié)點(diǎn)為4元狀態(tài)，即狀態(tài)為s_1，s_2，s_3，s_4，則有如表3所示的條件概率表，子節(jié)點(diǎn)T的概率由父節(jié)點(diǎn)X1，X2的發(fā)生概率確定。

圖1 BN節(jié)點(diǎn)模型Fig.1 Mode of BN node

現(xiàn)咨詢4位技術(shù)專家，參照表1確定的決策標(biāo)準(zhǔn)，分別對16個(gè)事件建立相對于子節(jié)點(diǎn)所處狀態(tài)偏好程度的知識矩陣。假設(shè)各個(gè)技術(shù)專家權(quán)重為0.35,0.30,0.15,0.20。由于篇幅，以節(jié)點(diǎn)V1處于狀態(tài)s_1，節(jié)點(diǎn)V2處于狀態(tài)s_3為例建立判斷矩陣，如表4～7所示。

以表5為例，技術(shù)專家2能夠?qū)ψ庸?jié)點(diǎn)T處于狀態(tài)s_3和s_4作出準(zhǔn)確判斷。在技術(shù)專家2看來，T以幾乎相同的概率處于狀態(tài)s_1和s_2。參照決策判斷標(biāo)準(zhǔn)表1，對節(jié)點(diǎn)T處于狀態(tài){s_1，s_2},s_3和s_4作出相對于辨識框架的可能性進(jìn)行賦值。

表3 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)CPTTable 3 CPT of BNV1

表4 以專家1偏好建立知識矩陣A1Table 4 Knowledge matrix A1 according to expert 1

表5 以專家2偏好建立知識矩陣A2Table 5 Knowledge matrix A2 according to expert 2

表6 以專家3偏好建立知識矩陣A3Table 6 Knowledge matrix A3 according to expert 3

表7 以專家4偏好建立知識矩陣A4Table 7 Knowledge matrix A4 according to expert 4

根據(jù)表4構(gòu)建知識矩陣A1，求解det(A1-λI1)的最大特征值及對應(yīng)的特征向量，I1為4×4單位向量。類似地，求解知識矩陣A2,A3,A4，并按照DS證據(jù)理論合成原則式(2)對信度函數(shù)進(jìn)行融合，有如表8所示BPA值。

表8 事件BPA值Table 8 BPA of events

從表8可知，節(jié)點(diǎn)T狀態(tài)為s_1的可能性為0.196 6，為s_2的可能性為0.534 6，為s_3的可能性為0.163 7，為s_4的可能性為0.057 4，不確定度為0.047 7。類似的，可以確定其余事件的BPA分配值。

3 不確定性分析

根據(jù)知識矩陣特征向量確定的不確定值函數(shù)式(4)描出矩陣A1,A2,A3和A4的不確定值曲線，由專家權(quán)重值確定不同專家經(jīng)驗(yàn)知識下的不確定值，如圖2所示。

圖2 知識矩陣不確定度Fig.2 Uncertainty of knowledge matrix

從圖2中可以看出，在同一個(gè)知識矩陣中，專家的權(quán)威越大，不確定值就越低；同一個(gè)專家建立的知識矩陣越詳細(xì)，不確定值就越低。盡管個(gè)別知識矩陣不確定值比較高，但在融合多位專家信息之后，不確定度將呈指數(shù)降低，以第2部分的融合結(jié)果為例，不確定值為0.047 7。

3.1 最大不確定度

在極端情況下，當(dāng)p=0時(shí)(為不加區(qū)分，在此后的討論中以p代替pij)，知識矩陣的不確定度最大，表示依靠專家經(jīng)驗(yàn)知識無法識別出優(yōu)選方案，不確定度為1，即m(Θ)=1。

3.2 最小不確定度

在確定專家權(quán)重p值的情況下，建立的知識矩陣大小與不確定度有關(guān)，當(dāng)知識矩陣為滿矩陣時(shí)，不確定度最低，當(dāng)知識矩陣不為滿秩時(shí)，不確定度隨著秩的降低逐漸增加。

(1) 備選方案數(shù)大于或等于判斷標(biāo)準(zhǔn)等級

當(dāng)備選方案數(shù)大于或者等于判斷標(biāo)準(zhǔn)等級時(shí)，假設(shè)專家只能區(qū)分備選方案的r組。定義s1，s2，…，sr為各方案組，將最大的判斷標(biāo)準(zhǔn)等級(r+1)分配給s1，從大到小將規(guī)模值逐個(gè)分配給s2，s3，…，sr。此時(shí)，經(jīng)驗(yàn)知識的最大值(即最小的不確定度)在知識矩陣中表示為

.

(5)

根據(jù)知識矩陣(5)可以確定備選方案si(i=1，2，…，r)相對識別框架Θ的基本概率分配函數(shù)，定義m5為(5)的BPA，則知識矩陣的不確定度函數(shù)表示為

(6)

以r=5為例，a1=6p，a2=5p，…，a5=2p，則BPA函數(shù)表達(dá)式為

根據(jù)BPA函數(shù)擬出相應(yīng)曲線，如圖3所示，可知，當(dāng)r=5時(shí)，知識矩陣的最小不確定度為0.100 6。

圖3 d≥r時(shí)的知識矩陣BPA曲線Fig.3 BPA curves of knowledge matrix when d≥r

(2) 備選方案數(shù)小于判斷標(biāo)準(zhǔn)等級

現(xiàn)討論備選方案d小于判斷標(biāo)準(zhǔn)等級r的情況(d

(7)

定義m6為與知識矩陣(7)對應(yīng)的BPA，則不確定度表示為

(8)

以r=5，d=2為例，知識矩陣各BPA為

根據(jù)BPA函數(shù)擬出相應(yīng)曲線，如圖4所示，可知，知識矩陣的最小不確定度為0.113 9。對比m6與m2,m3可以看出，不同的專家對于同一個(gè)方案組有不同的看法，給出不同的具體指標(biāo)值，這也正好反映了不同專家在知識背景、認(rèn)知程度等方面的差異，造成了不同程度的不確定度。

圖4 d

(3) 不同判斷標(biāo)準(zhǔn)等級下的不確定度

從式(6)可以看出，判斷標(biāo)準(zhǔn)等級劃分越詳細(xì)，不確定度越低，如圖5所示。當(dāng)r=9時(shí)，不確定度降低到0.052 6，而當(dāng)r=33時(shí)，不確定度為0.009 6，即降低到不足1%，然而，等級劃分與人的主觀判斷能力有關(guān)。以層次分析法為例，根據(jù)評判標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)r=9時(shí)，普通人可以進(jìn)行兩兩比較，當(dāng)判斷等級更多時(shí)，就容易產(chǎn)生不易區(qū)分的模糊區(qū)域。因此，r=33或者更大時(shí)，判斷標(biāo)準(zhǔn)更難劃分，也無法判斷。由于DS證據(jù)理論具有融合不確定信息，降低專家經(jīng)驗(yàn)知識不確定度的優(yōu)勢，也就沒有必要將判斷標(biāo)準(zhǔn)劃分得非常細(xì)。此外，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)多狀態(tài)劃分等級一般不超過5，表1建立的判斷標(biāo)準(zhǔn)滿足應(yīng)用需求。

圖5 不同r值下的不確定度Fig.5 Uncertainty of knowledge matrix under different r

4 結(jié)束語

針對多狀態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)條件概率值難以確定的問題，本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，提出了基于DS證據(jù)理論/層次分析法的建模方法，借助專家經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建知識矩陣，經(jīng)求解特征值、特征向量，確定了各個(gè)狀態(tài)的基本概率分配值，為多狀態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)可靠性建模與分析提供了新的方法與思路。該方法使得復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性建模與分析從確定的邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系向非確定的邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系過渡，拓展了可靠性分析的研究領(lǐng)域。同時(shí)，DS證據(jù)理論/層次分析法克服了傳統(tǒng)層次分析法進(jìn)行兩兩比較和一致性檢驗(yàn)的繁瑣過程，從而可以對確定與不確定信息進(jìn)行選擇性表達(dá)，有效地降低了模型的不確定度，大大提高了模型的科學(xué)性與可信性。

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