中間支撐軸向運(yùn)動微梁的橫向振動研究

劉慧賢，隨歲寒

(1.商丘工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 河南 商丘 476000； 2.商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

微機(jī)電系統(tǒng)因其能耗低、體積小和智能化程度高等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于汽車、通信、自動控制和軍事等領(lǐng)域[1]。梁是微納米材料的常用結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)梁的厚度達(dá)到微米量級時，便會出現(xiàn)所謂的尺寸效應(yīng)。Mindlin等[2-3]提出的偶應(yīng)力理論克服了經(jīng)典理論不能準(zhǔn)確表達(dá)微納米結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的不足，采用了2個材料內(nèi)秉特征尺寸參數(shù)。由于材料內(nèi)秉特征尺寸的確定存在困難，故減少內(nèi)秉特征尺寸參數(shù)的個數(shù)對實(shí)驗(yàn)研究和理論分析具有實(shí)際意義。Yang等[4]提出的修正偶應(yīng)力理論只包含1個材料內(nèi)秉特征尺寸參數(shù)。

考慮到一些工程應(yīng)用如傳動帶、帶鋸等模型化為軸向運(yùn)動系統(tǒng)并可應(yīng)用于微機(jī)電系統(tǒng)，而這些結(jié)構(gòu)的橫向振動往往對其正常工作產(chǎn)生不利影響，所以研究軸向運(yùn)動微梁的橫向振動對工程設(shè)計有重要意義。目前，軸向微結(jié)構(gòu)研究主要集中在利用非局部理論方面[5-7]，如Marynowski[8]利用修正偶應(yīng)力理論研究了軸向運(yùn)動微尺度面板的橫向振動。在工程應(yīng)用中，梁類連續(xù)體系統(tǒng)往往受到集中質(zhì)量或彈簧等的作用[9-12]，故研究軸向運(yùn)動微梁在彈簧支撐作用下的動力學(xué)特性對工程設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

本研究利用修正偶應(yīng)力理論，通過虛功原理導(dǎo)出中間支撐軸向運(yùn)動微梁橫向自由振動控制方程，采用有限差分法作為求解工具，分析了軸向速度、梁厚度、彈簧剛度和預(yù)應(yīng)力對前兩階固有頻率的影響，并將部分結(jié)果與經(jīng)典理論所得結(jié)果進(jìn)行了對比。本研究也探討了臨界速度與預(yù)應(yīng)力和彈簧剛度的關(guān)系，在軸向運(yùn)動系統(tǒng)中，軸向運(yùn)動速度超過臨界值便會發(fā)生失穩(wěn)，對結(jié)構(gòu)造成破壞。

1 物理模型

采用虛功原理推導(dǎo)軸向運(yùn)動微梁的控制方程，應(yīng)用有限差分法求解系統(tǒng)固有頻率。

1.1 控制方程

建立軸向運(yùn)動微梁坐標(biāo)系，速度v沿x軸正向，梁寬為b，厚為h，兩支撐間的長度為L，如圖1所示。

圖1 軸向運(yùn)動微梁示意圖Fig.1 Schematic of an axially moving microbeam

根據(jù)Yang等[4]提出的修正偶應(yīng)力理論，采用Euler梁模型，則梁的應(yīng)變能變分為

(1)

彈簧勢能變分為

(2)

式中：δ(x)是狄拉克函數(shù)。

(3)

慣性力做功的變分為

(4)

結(jié)合式(1)、(2)、(4)，代入如下虛功原理表達(dá)式：

δU+δU1=δV。

(5)

分步積分后得到

(6)

對于式(6)，由于δw的任意性，并忽略邊界條件項(xiàng)，可得到軸向運(yùn)動微梁系統(tǒng)控制方程：

(7)

若式(7)中的材料內(nèi)秉特征尺寸l為0，則修正偶應(yīng)力模型退化為經(jīng)典的Euler梁理論模型。

微梁兩端簡支的邊界條件為

(8)

(9)

設(shè)控制方程(7)的解為

w(x，t)=W(x)eωt，

(10)

式中：W(x)是模態(tài)函數(shù)；ω是固有頻率，rad/s。將式(10)代入式(7)，得

(11)

1.2 有限差分法[14]的應(yīng)用

沿梁長度等間距劃分節(jié)點(diǎn)并編號為1～n，其中編號1和n位于邊界上。 為便于運(yùn)算，將彈簧支撐點(diǎn)設(shè)置在一個節(jié)點(diǎn)上，i0為彈簧支撐點(diǎn)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號。 式(11)中各階偏微分用相應(yīng)節(jié)點(diǎn)值表達(dá)如下：

(12)

(13)

(14)

將式(12)至(14)代入式(11)，得到

(15)

式中：i=1，2，3，…，n-1。

類似地，對邊界條件式(8)和式(9)的處理如下：

W0=Wn=0，

(16)

W-1=-W1；Wn+1=-Wn-1。

(17)

將式(15)結(jié)合式(16)、(17)整理成矩陣形式：

Mω2+Cω+K=0。

(18)

式(18)是一個廣義復(fù)特征方程，其中M、C和K分別稱為質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣，這3個矩陣均為(n-2)×(n-2)方陣。 求解式(18)即可得到固有頻率ω，為便于工程參考，將其轉(zhuǎn)化為以Hz為單位的固有頻率，即

(19)

2 數(shù)值算例

采用環(huán)氧樹脂材料，彈性模量E=1.44 GPa，泊松比υ=0.38，l=17.6 μm，彈簧支撐點(diǎn)坐標(biāo)x0=L/2，梁厚度h=20 μm，b=2h，L/h=20，σ0=1 MPa，k= 3×106N/m。

圖2和圖3為前兩階固有頻率與軸向運(yùn)動速度的關(guān)系，并給出了經(jīng)典理論下相應(yīng)的固有頻率。兩種理論下，軸向運(yùn)動微梁的振動特性規(guī)律類似，即速度越大、固有頻率越小。第1階和第2階頻率在修正偶應(yīng)力理論下的解約為經(jīng)典理論解的2倍，尺寸效應(yīng)明顯。

圖2 第1階固有頻率與軸向運(yùn)動速度的關(guān)系Fig.2 First mode frequencies vs axial velocity

圖3 第2階固有頻率與軸向運(yùn)動速度的關(guān)系Fig.3 Second mode frequencies vs axial velocity

表1和表2分別為前兩階固有頻率解隨梁厚度變化的規(guī)律，梁厚度在20 μm時最接近材料內(nèi)秉特征尺寸l，所以梁厚度在20 μm時前兩階頻率在兩種理論下結(jié)果的差值百分比最大。隨著厚度的增大，這一差值逐漸變小，即厚度大于內(nèi)秉特征尺寸參數(shù)的條件下，厚度越大則尺寸效應(yīng)越不明顯。

表1 第1階固有頻率與梁厚度的關(guān)系(v=40 m/s)Tab.1 First mode frequencies vs beam thickness(v=40 m/s)

表2 第2階固有頻率與梁厚度的關(guān)系(v=40 m/s)Tab.2 Second mode frequencies vs beam thickness(v=40 m/s)

圖4和圖5給出了預(yù)應(yīng)力對前兩階固有頻率的影響，在應(yīng)力從1 MPa增至20 MPa的過程中，前兩階固有頻率分別增加了約50%和17%。圖6給出了前兩階模態(tài)函數(shù)，可見第1階模態(tài)在x=L/2時幅值最大，而第2階模態(tài)在x=L/2時幅值為0。由于彈簧支撐點(diǎn)坐標(biāo)x0=L/2，所以彈簧支撐對第2階固有頻率的影響可忽略，但對第1階固有頻率有一定影響，彈簧剛度變化時第1階固有頻率增幅約為10%，而第2階固有頻率不變，如表3所示。

圖4 預(yù)應(yīng)力對第1階固有頻率的影響Fig.4 First mode frequencies vs pre-stress

圖5 預(yù)應(yīng)力對第2階固有頻率的影響Fig.5 Second mode frequencies vs pre-stress

表3 彈簧剛度對前兩階固有頻率的影響(v=40 m/s)Tab.3 First 2 mode frequencies vs spring stiffness(v=40 m/s)

圖6 前兩階模態(tài)函數(shù)(v=40 m/s)Fig.6 First 2 mode functions(v=40 m/s)

為求得臨界速度，可略去式(15)中與頻率相關(guān)的量，得

(20)

式中：i=1，2，3，…，n-1；vc代表臨界速度。結(jié)合邊界條件式(16)和式(17)，整理式(20)可得

(21)

式(21)是一個標(biāo)準(zhǔn)特征值問題，求解可得各階臨界速度。圖7給出了前兩階臨界速度與預(yù)應(yīng)力的關(guān)系，可見預(yù)應(yīng)力越大則臨界速度越大。在應(yīng)力從1 MPa增至20 MPa的過程中，前3階固有頻率分別增加了約50%和17%，與圖4和圖5反映的預(yù)應(yīng)力對固有頻率的影響規(guī)律類似。表4給出了臨界速度與彈簧剛度的關(guān)系，彈簧剛度從3×106N/m增至9×106N/m時第1階臨界速度增加7.7%，而第2階臨界速度不變，這里同樣可以理解為彈簧支撐在梁中點(diǎn)位置對第2階模態(tài)振動的影響可忽略。

圖7 臨界速度與預(yù)應(yīng)力的關(guān)系Fig.7 Critical velocity vs prestress

表4 彈簧剛度對臨界速度的影響Tab.4 Critical velocity vs spring stiffness

3 結(jié)論

基于Euler梁模型和修正偶應(yīng)力理論，結(jié)合虛功原理導(dǎo)出中間支撐軸向運(yùn)動微梁橫向自由振動控制方程，利用有限差分法離散控制方程，分析了軸向速度、梁厚度、彈簧剛度等參數(shù)對前兩階固有頻率的影響，并將部分結(jié)果與經(jīng)典理論所得結(jié)果進(jìn)行了對比，探討了臨界速度與預(yù)應(yīng)力和彈簧剛度的關(guān)系。結(jié)論如下：軸向速度增大則固有頻率降低；材料內(nèi)秉特征尺寸參數(shù)對梁的振動特性影響顯著；各階固有頻率隨著軸向預(yù)應(yīng)力的增大而增大；預(yù)應(yīng)力增大導(dǎo)致臨界速度增大；彈簧對固有頻率和臨界速度的影響不僅與彈簧剛度有關(guān)，而且與布置位置有關(guān)。