巧用畫圖 化難為易

【摘要】 畫圖是學(xué)生解題的一種很重要的策略，通過圖形將抽象問題具體化、直觀化，達(dá)到學(xué)生理解題意，正確解決問題的目的。巧用畫圖，圖文結(jié)合述說公式的由來，促使學(xué)生理解中記憶公式，巧用畫圖，打破學(xué)生定勢思維，理清解題思路，拓寬學(xué)生解題思路。

【關(guān)鍵詞】 畫圖 記憶公式 定勢思維 拓寬思路

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，畫圖是學(xué)生解題的一種很重要的策略。通過圖形把抽象問題具體化、直觀化，達(dá)到學(xué)生理解題意，正確解決問題的目的。因此，教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生有效利用畫圖策略解決問題，近幾年的教學(xué)中做了許多嘗試，下面就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際談?wù)勛约旱囊恍┳龇ā?/p>

一、巧用畫圖，理解中記憶公式

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義。但受應(yīng)試教育的影響，老師在課堂中仍然忽略讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成，把大部分時(shí)間用在模仿性解題上。因此，很多計(jì)算公式推導(dǎo)出來后，大部分學(xué)生仍然無法言語公式是如何推導(dǎo)出來的，而運(yùn)用上也出現(xiàn)了不少問題。有一道這樣的期末試題：“一個(gè)平行四邊形的面積比與它等底等高的三角形的面積多4.2cm2，這個(gè)平行四邊形的面積是（）cm2”。這是一道運(yùn)用“三角形面積公式的推導(dǎo)”這個(gè)知識點(diǎn)來解決的問題。翻閱學(xué)生試卷發(fā)現(xiàn)，每個(gè)班也只有四五個(gè)優(yōu)秀學(xué)生能解答出來?？磥韺W(xué)生對三角形面積公式推導(dǎo)的過程及其陌生。受這道題的啟發(fā)，再次教學(xué)“三角形的面積”時(shí)做了一定的調(diào)整。公式推導(dǎo)后，運(yùn)用公式解決問題，仍需要學(xué)生回憶三角形面積公式的由來。

課堂教學(xué)片段：

教師：剛才我們已經(jīng)知道了“三角形的面積=底×高÷2”，那你會(huì)不會(huì)利用這個(gè)公式解決實(shí)際問題呢？

問：計(jì)算三角形的面積（圖1）。

學(xué)生很快通過公式把三角形的面積計(jì)算出來。

教師：第一個(gè)三角形面積是多少？（學(xué)生爭著回答問題。）

學(xué)生：7.5dm2。

教師：那3×5算出的什么？

學(xué)生：……

思考后終于有學(xué)生舉手回答：3×5算出的是由兩個(gè)這樣的三角形拼成的平行四邊形的面積。

教師：那你們能根據(jù)剛才這位同學(xué)的回答畫出平行四邊形嗎？并用圖文結(jié)合敘述三角形面積的計(jì)算。

學(xué)生動(dòng)手畫（圖2）。

教師：還可能是誰的面積？請你動(dòng)手畫一畫。

學(xué)生動(dòng)手畫（圖3）。

教師：也就是說兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形、長方形或正方形，而三角形的“底與高相乘”算出的可能是平行四邊形的面積，也可能是長方形或正方形的面積，所以要算一個(gè)三角形的面積必須要除以2。換一種問法，與三角形等底等高的平行四邊形面積與三角形的面積有什么關(guān)系？

課堂中雖然已經(jīng)把公式推導(dǎo)出來，但在短時(shí)間之內(nèi)學(xué)生并不能完全掌握。但我們教學(xué)中往往會(huì)認(rèn)為學(xué)生能熟記公式，并能運(yùn)用公式解決問題，學(xué)生就等于掌握了本節(jié)課的知識，而忽略對公式來源再次復(fù)習(xí)鞏固，而把更多的時(shí)間花在如何運(yùn)用公式解決問題。練習(xí)中再次深究公式的來源，并讓學(xué)生通過畫圖明確兩個(gè)完全一樣的三角形與拼成圖形之間的關(guān)系，讓學(xué)生深刻體會(huì)底乘高算出的并不是三角形的面積，算出的可能是平行四邊形的面積，也可能是長方形或正方形的面積，要算三角形的面積必須要除以2。

通過上題的鞏固，學(xué)生對下面這道題的解法更靈活了。

做這樣四塊標(biāo)志牌（圖4），至少需要多少平方分米的鐵皮？

學(xué)生很快說出解答思路：先算出一個(gè)標(biāo)志牌的面積，再乘以4.

“老師我有更好的方法?！庇袀€(gè)學(xué)生站起來回答。

教師：你來說一說？

學(xué)生：我需要畫圖來說明（圖5）。

學(xué)生邊說邊畫：

“三角形的底乘高算出的是由兩個(gè)這樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，四個(gè)標(biāo)志牌可以拼出兩個(gè)平行四邊形，因此只需要底乘高再乘以2就可以算出4塊標(biāo)志牌的面積了?！?/p>

看來，通過畫圖，讓學(xué)生深刻理解了三角形的“底乘高”算出的是什么圖形的面積，也更透徹理解了三角形的面積公式為什么要除以2，圖文結(jié)合地進(jìn)行講解，不但訓(xùn)練學(xué)生的思維，也加深了學(xué)生對知識的理解。

二、巧用畫圖，將抽象問題具體化

斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題”。數(shù)學(xué)有許多純文字的問題，這些問題抽象難懂。借助畫圖，我們可以將這些問題形象化、具體化，從而理清數(shù)量之間的關(guān)系，尋找出解決問題的方法。

求不規(guī)則圖形的體積，通常通過計(jì)算排水量的體積或計(jì)算上升部分的水的體積而獲得。但文字的敘述有時(shí)卻讓一部分學(xué)生理不清頭緒，他們知道上升水的體積就是不規(guī)則圖形的體積。但這部分水的體積如何計(jì)算，卻也讓不少學(xué)生找不到思緒。如：一個(gè)不規(guī)則的鐵塊浸沒在長8厘米，寬6厘米的長方體玻璃缸中，水面上升了0.5cm，這塊鐵塊的體積是多少？

讓學(xué)生讀題后馬上說出計(jì)算方法，整個(gè)班也只有幾個(gè)空間想象力極強(qiáng)的學(xué)生能做到。大部分學(xué)生無法想象上升的水的體積要如何計(jì)算。如果讓學(xué)生結(jié)合圖進(jìn)行思考，那解題的思路就豁然開朗了。

讓學(xué)生畫圖，并通過圖解說思考過程。

學(xué)生：從圖（圖6）可以看出，上升部分的水的體積就是鐵塊的體積，而這部分水我們可以把它想象成一塊豆腐塊，切出來就是一個(gè)小的長方體，這個(gè)小長方體的體積就是鐵塊的體積，小長方體的長與玻璃缸的長相等，寬與玻璃缸的寬相等，高就是水上升的高度。長、寬、高都有了，就可以求小長方體的體積，也就是水的體積。

讓學(xué)生通過圖講解解題的思路，將抽象問題具體化，學(xué)生的思路就明朗了，而不會(huì)找不到解題的思路。

三、巧用畫圖，打破定勢思維

數(shù)學(xué)知識來源于生活而最終又服務(wù)于生活。因此我們在教學(xué)中經(jīng)常提醒學(xué)生解決實(shí)際問題要結(jié)合生活實(shí)際，靈活解題。但往往不如我們所愿，學(xué)生受定勢思維影響，思維受到一定的限制。

課堂片段：

出示練習(xí)：牙膏盒長15厘米，寬和高都是3厘米?，F(xiàn)有一紙箱，內(nèi)側(cè)的長60厘米，寬和高都是30厘米，這個(gè)紙箱最多能放多少盒牙膏？

學(xué)生很快說出解答思路：先算出牙膏盒的體積，再算出紙箱的體積，最后求紙箱里可以分解出多少個(gè)牙膏的空間，就得出可以裝多少盒牙膏。

顯然此題并沒有難倒學(xué)生。

再出示一題：

有一紙箱，內(nèi)側(cè)的長60厘米，寬和高都是30厘米，現(xiàn)有一個(gè)長75厘米、寬是9厘米、高8厘米的木塊，這個(gè)紙箱能裝多少塊這樣的木塊？

學(xué)生延續(xù)了上一題的解答思路很快列出算式：（60×30×30）÷（75×9×8）=10（塊）

教師：同意這個(gè)答案的同學(xué)請舉手。

大部分同學(xué)舉手同意。

學(xué)生：老師，我有意見，你平時(shí)上課讓我們多畫圖分析應(yīng)用題，這是我畫的圖（圖7）：

學(xué)生：通過畫圖，我發(fā)現(xiàn)，這道題不能用剛才我們解題的思路去解決，因?yàn)檫@塊木塊的長比紙箱的長還要長，因?yàn)榧埾涞膶捄透咭仓挥?0厘米，木塊橫放與豎放都放不下，因此，這個(gè)紙箱一塊木塊都放不下。

因此，畫圖，讓學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣，使學(xué)生善于打破思維定勢，提高思維的靈活性。讓學(xué)生在具有探索性的問題中去尋求正確答案，促進(jìn)學(xué)生分析能力的提高。

四、巧用畫圖，理清思路

應(yīng)用題文字多，對于數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的問題，利用畫圖，可以幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生解題的信心。三年級“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”有一道這樣的提高題：一半果汁一半水，調(diào)成一杯飲料，把這杯水飲料的一半倒出后，再加滿水，再把這杯水的一半倒出后，再加滿水，這時(shí)果汁含量占這杯飲料的幾分之幾？

學(xué)生讀完題后，被這“倒出倒入”的文字繞進(jìn)去了，理不清解答思路。部分學(xué)生無從下手。有些學(xué)生開始畫圖分析。終于有一個(gè)學(xué)生找出了結(jié)果。

學(xué)生：老師，畫圖很容易找到結(jié)果，看

學(xué)生展示圖示（圖8）：

學(xué)生指著圖說：這杯飲料由一半的水和一半的果汁調(diào)成，沒倒出之前，各占一半，也就是二分之一，第一次倒出，水和果汁都倒出一半，因此果汁和水都只剩下整個(gè)杯的四分之一，加滿水，水變多了，而果汁沒有發(fā)生變化還是四分之一。第二次倒出，水倒出一半，果汁也倒出一半，這時(shí)果汁只剩下整個(gè)杯的八分之一。第二次加滿水，水變多了，但果汁還是剩下的果汁，也就是八分之一。

因此，畫圖不僅可以形象、直觀地反映應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生的解題思路，使思路明朗化。通過畫圖的訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

五、巧用畫圖，拓寬解題思路

畫圖，不但可以讓復(fù)雜的問題具體化，也可以開拓學(xué)生的解答思路，促進(jìn)學(xué)生靈活解題。有一道這樣的題：“從一個(gè)長方體上截下一個(gè)棱長6厘米的正方體后，剩下的是一個(gè)長方體，它的體積是72立方厘米.原來長方體最長的一條棱是多少厘米？”

學(xué)生畫圖尋找解答方法。

學(xué)生1：一個(gè)長方體截成一個(gè)長方體和一個(gè)正方體，反過來一個(gè)正方體和一個(gè)長方體拼成了一個(gè)大長方體。從圖（9）看出大長方體的寬和高就是正方體的棱長即6厘米，從圖上看出，大長方體的長是最長的一條棱，只要求出長就可以解決問題，要求大長方體的長，要知道它的體積，體積知道了就可以求出長方體的長。

即：大長方體的體積=正方體的體積+小長方體的體積

=6×6×6+72

=216+72

=288（立方厘米）

大長方體的長=大長方體的體積÷寬÷高

=288÷6÷6

=8（厘米）

學(xué)生2：我們還可以用方程解答，從圖上可以出，大長方體的體積=正方體的體積+小長方體的體積，大長方體的長不知道，我們可以設(shè)為X厘米。

即： （6×6）X=6×6×6+72

解方程就可以得出最長的一條棱。

通過畫圖，讓學(xué)生尋找出多種解答方法，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造思維，開拓了全體學(xué)生的解答思路。

結(jié)束語：

總之，畫圖可以幫助學(xué)生透徹理解公式，可以使應(yīng)用題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明朗化，使復(fù)雜的問題迎刃而解，有效提高學(xué)生的思維能力，為提高學(xué)生解題的正確率和提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，起到了較好的推動(dòng)作用。