基本（均值）不等式的巧學(xué)妙用

王石萌

在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷中，基本不等式作為一名“?？汀保?jīng)以不同的面孔戲謔了眾多考生。作為一名高三學(xué)生，短短三個(gè)月的親密接觸，使我對(duì)它終于有了一個(gè)全面系統(tǒng)的了解，下面對(duì)其簡(jiǎn)單地做一概括。

1.基本不等式：≤

（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0。

（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

2.利用基本不等式求函數(shù)的最值

（1）積為定值，和有最小值：若ab為定值p，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2。（積定和最?。?/p>

（2）和為定值，積有最大值：若a+b為定值p，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，ab有最大值。（和定積最大）

（3）運(yùn)用前提：“一正二定三相等”。

下面略舉幾例附加說(shuō)明：

例1 已知函數(shù)f（x）=4x+，求在下列條件下函數(shù)的最值

（1）x>0 （2）x<0 （3）x≥2 （4）0

解析：（1）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=4x+≥2=12，當(dāng)且僅當(dāng)4x=，即x=時(shí)等號(hào)成立?！鄁（x）有最小值12。

（2）當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=4x+=--4x-≤-12，當(dāng)且僅當(dāng)-4x=-，即x=-時(shí)等號(hào)成立。∴f（x）有最大值-12。

（3）當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=4x+在[，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（2）=8+=12。

（4）當(dāng)0

注：由（3）（4）可知，當(dāng)?shù)忍?hào)不成立時(shí)，“對(duì)號(hào)函數(shù)”f（x）=4x+的單調(diào)區(qū)間來(lái)幫忙。

例2 （1）設(shè)0

（2）若a<1，求a+的最大值。

解：（1）y=4x（3-2x）=2·2x·（3-2x）≤2·2=

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x。即x=時(shí)等號(hào)成立。

（2）y=a+=a-1++1=-1-a++1≤ -2+1=-1

當(dāng)且僅當(dāng)1-a=。即1-a=1，a=0時(shí)等號(hào)成立。

注：在運(yùn)用均值不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足不等式中積（和）不為定值時(shí)，湊配法轉(zhuǎn)化為定值?！罢薄岸ā薄暗取钡臈l件缺一不可。

例3 （1）設(shè)x，y∈（0，+∞），且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。

（2）已知向量a=（m，1-n），b=（1，2），其中m>0，n>0，若a//b，則+的最小值為_(kāi)______

解：法一：（1）由2x+8y-xy=0得y（x-8）=2x

∵x>0，y>0，∴x-8>0，y=，

∴x+y=x+=x+=x+2+=x-8++10≥2+10=18

當(dāng)且僅當(dāng)x-8=，即x=12時(shí)，等號(hào)成立。

∴x+y的最小值是18。

法二：由2x+8y-xy=0及x，y∈（0，+∞）得+=1

∴x+y=（x+y）+=++10≥2+10=18

當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=2y=12時(shí)等號(hào)成立?！鄕+y的最小值是18。

（2）∵向量a=（m，1-n），b=（1，2）。a//b。

∴2m-（1-n）=0，即2m+n=1

又m>0，n>0

∴+=+（2m+n）=3++≥3+2=3+2

當(dāng)且僅當(dāng)=。即m=1-，n=-1時(shí)等號(hào)成立。

∴+的最小值為3+2。

注：解決本題的技巧是熟練均值不等式的形式特點(diǎn)。

在應(yīng)用時(shí)若不滿足條件，則需要進(jìn)行相應(yīng)的變形技巧，以便得到均值不等式所需要的“和”或“積”為定值的形式。

游走在浩瀚的題海中，唯有不斷地洞察，思考，才能真正玩轉(zhuǎn)“均值不等式”。以上僅僅是我的一點(diǎn)看法，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正。

（作者單位：河南省南陽(yáng)市五中）