在方格中如何求相似的格點(diǎn)三角形

耿冀平

原題：已知△ABC中，AC=2AB=4，BC=6

（1）如圖1，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)N，使△AMN與△ABC相似，求線段MN的長(zhǎng)

（2）在給定的方格紙中，作出和△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你畫出其中的一個(gè)，并求出它的面積（注：格點(diǎn)三角形是指以小正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）

分析：（1）注意找到兩種對(duì)應(yīng)相似，也就是我們通常所說(shuō)的“正A”和“反A”型的相似。

（2）這問(wèn)是個(gè)操作且設(shè)計(jì)性題，在中考中時(shí)常會(huì)出現(xiàn)。很多學(xué)生一時(shí)無(wú)從下手，這個(gè)三角形怎么去確定呢，既要相似，又要面積最大。方格中畫格點(diǎn)三角形要通過(guò)計(jì)算和設(shè)計(jì)得出的，這就考查了學(xué)生的綜合能力。

探究1：給定三條線段都能構(gòu)成格點(diǎn)三角形嗎？

如右圖，把題目中的△ABC放到方格中，根據(jù)題目AC=2==AB=4==，BC=6=，有一個(gè)等式6+2=8，4+0=4再結(jié)合圖形來(lái)分析AD=4，BD=8，BC=6，CD=2，CD+BC=BD，AB=，恰好構(gòu)成如上圖的格點(diǎn)三角形，證明了數(shù)與形的統(tǒng)一性。那么到底什么樣的三條邊能構(gòu)成格點(diǎn)三角形呢？

設(shè)AB=，BC=，AC=，當(dāng)a+b=c且x+y=z時(shí)，三邊恰好能構(gòu)成格點(diǎn)三角形（a，b，c，x，y，z均為非負(fù)整數(shù)，且沒(méi)有順序要求）

如右圖，我們假設(shè)AF=a，BF=x，AB=，BE=b，CE=y，BC=，根據(jù)圖形得：AD=a+b，CD=x+y，由于a+b=c，x+y=z，則AC=正好構(gòu)成△ABC。

探究2：如何來(lái)確定相似且面積最大的格點(diǎn)三角形。

由相似，我們知道長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊，短邊對(duì)短邊，我們先來(lái)找最長(zhǎng)邊。在10×10的方格中，最長(zhǎng)的邊是它的對(duì)角線等于10，把它看成4的對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相似比==，可得另兩邊為5和3。10=，5==，3==，7+3=10，9+1=10，正好能構(gòu)成格點(diǎn)三角形，相似且面積最大的三角形如右圖。

探究3：如何來(lái)確定相似且面積最小的格點(diǎn)三角形。

找最小的三角形，我們先來(lái)找最短邊。在10×10的方格中，最短邊為1，我們把它看成2的對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相似比==，得另兩邊為2和，同理我們檢驗(yàn)當(dāng)最短邊取、、2、時(shí)都構(gòu)不成格點(diǎn)三角形；當(dāng)最短邊為，我們把它看成的對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相似比==，得另兩邊為2和3，能構(gòu)成格點(diǎn)三角形，所以和△ABC相似且面積最小的格點(diǎn)三角形的三邊為、2和3。如下圖。

探究4：除了上面找的2個(gè)外，還有沒(méi)有和△ABC相似的格點(diǎn)三角形呢？

要是按照取面積最小的找法，肯定很麻煩且不可取。我們假設(shè)最長(zhǎng)邊4的對(duì)應(yīng)邊為，根據(jù)相似比==，得另兩邊為和。由于=，=，要使、和三邊構(gòu)成格點(diǎn)三角形，則a必須被20整除。當(dāng)a=20，此時(shí)三邊為、3和2，就是最小的三角形；當(dāng)a=40，此時(shí)三邊為、3和2能構(gòu)成；當(dāng)a=60，此時(shí)三邊為、3和2不能構(gòu)成（15寫不成兩個(gè)正整數(shù)的平方和）；當(dāng)a=80，此時(shí)三邊為2、6和4，就是△ABC本身；當(dāng)a=100，此時(shí)三邊為10、3和5能構(gòu)成；當(dāng)a=120，此時(shí)三邊為、3和2不能構(gòu)成（30寫不成兩個(gè)正整數(shù)的平方和）；當(dāng)a=140，此時(shí)三邊為、3和2不能構(gòu)成（35寫不成兩個(gè)正整數(shù)的平方和）；當(dāng)a=160，此時(shí)三邊為2、6和4能構(gòu)成，但4=在本題方格中畫不出來(lái)；當(dāng)a=180，此時(shí)三邊為3、9和6能構(gòu)成，但6=在本題方格中畫不出來(lái)；當(dāng)a=200，此時(shí)三邊為5、3和10能構(gòu)成，就是面積最大的格點(diǎn)三角形。綜合上面的分析，我們得出：在10×10的方格中，能作出與△ABC相似的格點(diǎn)三角形共有5個(gè)。其他的2個(gè)如下圖。

（作者單位：安徽省馬鞍山市第八中學(xué)）