高中數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的性質(zhì)

彭子凌 湖南省長沙市長郡中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的性質(zhì)

彭子凌 湖南省長沙市長郡中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中包括了統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的知識(shí)，由于學(xué)生在初中階段已經(jīng)對(duì)于這部分知識(shí)有了基本的認(rèn)識(shí)，因此高中教師針對(duì)這部分內(nèi)容教學(xué)相對(duì)容易一些。本文主要介紹了高中數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的性質(zhì)，并總結(jié)出了方差性質(zhì)對(duì)于解決問題的作用，希望可以為相關(guān)教師和學(xué)生提供參考。

高中數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué) 方差 性質(zhì)

統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的性質(zhì)對(duì)于解答一些具有難度的題目有很大的幫助。高中階段的數(shù)學(xué)難度與初中數(shù)學(xué)相比要大得多，一些題目不僅僅是考察統(tǒng)計(jì)學(xué)方差知識(shí)，而是考察統(tǒng)計(jì)學(xué)方差性質(zhì)的靈活運(yùn)用。高中教師一直都比較重視統(tǒng)計(jì)學(xué)方差性質(zhì)的教學(xué)，在教學(xué)實(shí)踐中也取得了不錯(cuò)的成效。

1 方差公式的使用需要?jiǎng)?chuàng)建條件

高中數(shù)學(xué)的難度確實(shí)比初中數(shù)學(xué)的難度更大了，但是值得注意的是高中數(shù)學(xué)也正是在初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上增加的難度。因此高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方差在應(yīng)用的時(shí)候，其性質(zhì)始終沒有變，而且應(yīng)用方法不會(huì)發(fā)生特別大的變化。比如在高中數(shù)學(xué)中有這樣的知識(shí)點(diǎn)，方差公式：S2=〈(M－x1)2+(M－x2)2+(M－x3)2+…+(M－xn)2〉。高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的性質(zhì)相對(duì)復(fù)雜，在創(chuàng)建條件的時(shí)候會(huì)相對(duì)比較麻煩。但是如果學(xué)生掌握了方差公式，并且在平常的學(xué)習(xí)和練習(xí)中善于養(yǎng)成觀察題目的習(xí)慣，會(huì)縮短解答題目的時(shí)間。

2 方差公式選擇數(shù)據(jù)具有靈活性

每一道題目中所包含的信息都有所區(qū)別，這都是由題目最后給出的問題決定的。高中統(tǒng)計(jì)學(xué)方差問題也是如此，在題目中出現(xiàn)的時(shí)候本身方式就比較靈活，方差公式的使用更是如此。一般情況下方差的性質(zhì)可以幫助解決一些經(jīng)常出現(xiàn)但是無法快速解答的問題。比如針對(duì)看上去比較復(fù)雜的題目。則可以靈活選擇數(shù)據(jù)帶入到方差公式中，利用好方差公式的性質(zhì)解答題目。例如這樣一道題目：式子一是2x+3y+z=13，式子二是4x2+9y2+z2-2z+15y+3z=82。初步觀察題目中給出的已知條件，就這樣一組數(shù)據(jù)。然后根據(jù)初中所學(xué)的解答多元二次方程的方法綜合得出（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108，方差S2的等式數(shù)據(jù)就可以得出來。方差在數(shù)學(xué)上面被稱為變異數(shù)和均方。從這兩個(gè)稱呼的字面意思可以知道，它具有度量數(shù)據(jù)的作用，如果在解答題目的時(shí)候運(yùn)用得當(dāng)，會(huì)起到事半功倍的效果。在高中統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的知識(shí)點(diǎn)中，試題的難度有時(shí)更高。比如，兩人的5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢篨：50，100，100，60，50。E(X)=72；Y：73，70，75，72，70。E(Y)=72。平均成績(jī)相同，但X不穩(wěn)定，對(duì)平均值的偏離大。方差描述隨機(jī)變量對(duì)于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。單個(gè)偏離是消除符號(hào)影響方差即偏離平方的均值，記為D(X)：直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型，這里具體是一個(gè)數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。其中，分別為離散型和連續(xù)型計(jì)算公式。稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，方差描述波動(dòng)。

3 方差具有可加性特點(diǎn)

通過觀察高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)方差相關(guān)試題可以知道，方差的作用是針對(duì)一組數(shù)據(jù)中存在的一些變異總和的測(cè)量。而且這種作用就體現(xiàn)在了方差可以利用自身具有的可加性這一明顯性質(zhì)進(jìn)行這些變異量的來源。比如在方差試題中常見的關(guān)于組間和組內(nèi)的問題。通過細(xì)節(jié)化各種問題，方差能夠達(dá)到進(jìn)一步說明每一種變異對(duì)于整個(gè)結(jié)果的影響作用，對(duì)于進(jìn)行進(jìn)一步推論具有很重要的作用。提到方差，一個(gè)不得不提的概念就是標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)學(xué)上的優(yōu)勢(shì)是高于數(shù)學(xué)上的其他差異量數(shù)的。

4 方差的應(yīng)用非常廣泛

高中階段的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)方差相較于初中難度雖然增加了，但是如果與統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容相比則要簡(jiǎn)單太多，而且就應(yīng)用的方式來看也主要是集中應(yīng)用方差公式，用方差公式解答相關(guān)題目非常常見。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)中關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)方差相關(guān)的試題問題一般都集中于以下集中情況，①根據(jù)已知條件求出條件中包括的字母或者式子的取值范圍。②根據(jù)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的等式求出代數(shù)式的值。③根據(jù)題干中給出的等式，求出等式中包含的未知數(shù)的最大值或者最小值。④應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方差的性質(zhì)解答方程組問題也非常常見，尤其是在高中數(shù)學(xué)中增加了方程組的難度，應(yīng)用方差的性質(zhì)解答題目可以減少解答題目所耗費(fèi)的時(shí)間。⑤解答證明等式或者不等式，方差性質(zhì)的作用也可以發(fā)揮到很大。⑥高中數(shù)學(xué)的幾何證明題豐富了，而且難度增加了很多，學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候雖然可以掌握最為基本的證明方法。但是一旦將其他的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)綜合到一道題目中之后，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生連題目都讀不懂的情況。方差性質(zhì)在這樣的題目中的應(yīng)用所發(fā)揮的作用就是簡(jiǎn)化已知條件，求出未知條件，最終將條件綜合成可以直接利用的等式。方差的性質(zhì)是多樣的，但是始終不會(huì)脫離本質(zhì)，在具體的應(yīng)用當(dāng)中需要通過結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)，這樣才會(huì)令方差性質(zhì)的價(jià)值發(fā)揮到最大，以便于學(xué)生們掌握數(shù)學(xué)方法。

統(tǒng)計(jì)學(xué)方差在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中所占比例不大，但是由于其考察方式很靈活，學(xué)生掌握起來有難度。統(tǒng)計(jì)學(xué)方差會(huì)貫穿在各種數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中，學(xué)生們必須要從方差的基本性質(zhì)著手做到真正了解和掌握方差知識(shí)，才能夠在解答問題的時(shí)候達(dá)到得心應(yīng)手的效果。

[1]胡興余.方差性質(zhì)在解決多元問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015（8）