抽屜原理與數學邏輯的關系

陳卓然 湖南省長沙市實驗中學

抽屜原理與數學邏輯的關系

陳卓然 湖南省長沙市實驗中學

摘抽屜原理作為一種常用的數學解題思路，其具有一定的邏輯性，為了更好地在數學學習中利用這一原理，就應該深入分析抽屜原理和數學邏輯二者之間的關系。本文將從分析抽屜原理的內涵出發(fā)，探索其對數學邏輯闡述的作用，再對高中數學學習運用該原理提出一些建議。

抽屜原理 數學邏輯 關系

高中數學是非常重要的學科，不僅能夠給學生未來的學習打下基礎，還能夠幫助學生養(yǎng)成嚴謹的邏輯思維能力。而抽屜原理是組合數學中非常經典、有用的基礎原理，掌握好抽屜原理可以更好的解答很多數學難題，有利于理解一些抽象、復雜的數學理論。因此，了解和分析二者之間的關系是有重大積極意義的，對于我們高中學生來說，充分發(fā)掘抽屜原理中的有效價值，會促進數學邏輯思維能力的提升。

1 概述抽屜原理

1.1 含義

數學理論學習中，經常會出現這樣一類問題，探究存在事實情況的數學問題，比如，有13個人在一起上課，其中最少有兩個人的生肖是相同的。又如，1004個人在隨機分成100個小組，這些小組中至少有一個組的人數超過了10人。這種存在性分析類問題里，所謂的“存在”就是保證在該條件下至少會出現一個這種情況。想要快速解答這種類型的問題時，只需要證明其有存在的可能，并不要求指出是具體的哪一個，也不用通過某種方法把這個存在的情況確定出來。類似這種“存在性”問題，相較于其他數學問題來說中間基本不會涉及到復雜的運算步驟，依靠的解題思路也很簡單，所以把解答這類問題的理論歸納總結為“抽屜原理”。

該原理最早是德國的一名數學家迪里赫萊創(chuàng)造性地提出來用于解決一些常見數學問題，所以也用他的名字來命名這一原理。還可以簡潔地把迪里赫萊原理概括為“若把11只鴿子分放到10個鴿籠里面，保證每一個鴿籠里面都要有鴿子，那么其中一個籠子里面必然存在兩只鴿子”。這是非常淺顯易懂的道理，但在實際應用該原理時，卻能夠快速有效的解決許多抽象問題，并且答案往往都會讓人覺得匪夷所思。

1.2 一般形式

抽屜原理在現實應用中通常以兩種抽屜原理形式出現。第一種原理的形式主要表現為：首先，把數量大于n的所有物品分別放到n個柜子里面，那么其中至少應該存在一個柜子里面存在兩件或以上的物品?？梢赃\用反證法予以證明，假設一個抽柜子最多只可以放一個物品，那么可以放的物品的總量最多是n個，而不是題干中交代的n+a(a≥1)，因此這是不可行的。其次，將大于mn個的物品放在n個柜子里面，則最少都有一個柜子其里面裝了大于或等于m+1個物品。再通過反證法來證明，如果每個柜子只能放m個物品進去，而n個柜子最多只可以放mn個物品，和題目要求相矛盾，所以也不可能。最后，把無窮多的物品放到n個柜子中，那么最少存在一個柜子會有無窮個物品。上述三種都是第一抽屜原理在現實中常見的表述方式。第二抽屜原理的典型形式是把（ab－1）個物品全部放到a個柜子中，其中必然會出現一個柜子里最多只能放入（b—1）個物品。同樣利用反證法來證明一下，假使每一個柜子中都能夠存放不少于b個物體，則所需要的物品總量應該至少是ab，顯然和前面的條件不相符合，因此這是沒有可行性的。

2 抽屜原理和數學邏輯的關系

2.1 有利于理清解題思維

我們高中學生在學習一些重要數學理論時，經常會容易出現思維混亂，找不清頭緒的情況。對此，運用抽屜原理非常有利于梳理相關數學邏輯思維順序，從而將數學難題有序解開。比如，在解答這道關于自然數整除的問題時，任意選取出了8個自然數，其中肯定會有兩個數相減后得出7的倍數。想要得出這道題的答案，必須明白數的整除問題具備怎樣的特點，也就是指當兩個整數m、n，二者同時和一個自然數a相除，得到的余數是一樣的，那么證明這兩個數的差m-n一定會是a的倍數。明白這個特點之后，解答該題的思路也就豁然開朗，只需要證實在題目中提到的8個自然數中，肯定存在2個自然數和7相除得到的余數一樣。此時，把自然數和7相除可能得到的情況分列出來，可以發(fā)現一共有7種不同情況，包括余數可能為0到6的七種狀況。把這些不同情況當成是有7個抽屜，將任取的8個自然數投放到各個抽屜中，再依靠抽屜原理的思路，可以發(fā)現至少應該有兩個數在相同抽屜之中，代表其與7相除后余數一樣。因此，可以得出結論它們的差肯定可以和7整除。

2.2 幫助建立數學邏輯思維模式

當數學問題比較抽象時，可以充分利用抽屜原理來輔助建立嚴密的邏輯思維，便于正確理解和解答問題。例如，當5位學生分別從一個裝有黑白棋子的口袋中摸出3枚棋子，請證明有最少兩個學生得到棋子顏色完全相同。做這道題不可能真的做實驗來解決，只能通過在腦海中的邏輯推理來分析，首先確定3枚棋子不同的顏色排布情況，既可能全黑，兩黑一白，也可能一黑兩白或是全白，將它們看作4個抽屜。依據抽屜原理，可以知道至少應該有兩名學生的棋子完全相同。

作為一名高中學生應該熟練掌握抽屜原理的內涵和使用方法，對于提高數學邏輯思維能力具有重要作用。抽屜原理也屬于數學邏輯的一種，二者之間有著廣泛聯系。

[1]賈忠淼,沈林.抽屜原理在數學解題中的應用[J].湖南農機,2013,(09):229+231