例析數(shù)列求和的方法與技巧

楊耀昇

摘要：數(shù)列在整個高中數(shù)學(xué)中處于知識和方法的匯合點，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧，當(dāng)然數(shù)列求和一直是一個老話題，似乎不必重提，但總覺得還是有重新研究的必要，下面僅從幾個案例來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；求和；技巧

一、 幾種常見數(shù)列的和

1+2+3……+n=n（n+1）2

1+3+5+……+（2n-1）=n2

12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）6

13+23+33+……+n3=n（n+1）22

二、 數(shù)列求和的基本方法

1. 錯位相減求和法

這種求和法則適合于由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列相乘而形成的新數(shù)列。

例1已知數(shù)列{n2n}（n∈N，且n≥1）試求該數(shù)列的前n項的和。

分析：設(shè)an=n2n=n·12n其中{n}為等差數(shù)列，12n為等比數(shù)列，公比為12，利用錯位相減法求和。

解析：Sn=1×12+2×122+3×123+……+n×12n

兩端同乘12，得12Sn=1·122+2·123+3·124+4·125+…+n·12n+1

兩式相減得12Sn=12+122+123+124+……12n-n2n+1

于是Sn=2-12n-1-n2n。

說明：一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，一般采用錯位相減法。

2. 裂項相消求和法

這種求和方法適合于通項可化為兩項（或數(shù)項）差的形式，然互錯位相消。

例2求數(shù)列1n+1+n的前n項和。

解：∵1n+1+n=n+1-n（分母有理化，n+1-n=1）

∴12+1+13+2+…+1n+1+n

=（2-1）+（3-2）+…+（n+1-n）

=n+1-1

說明：如果數(shù)列的通項公式可轉(zhuǎn)化為f（n+1）-f（n）的形式，常采用裂項求和的方法。

常出現(xiàn)的數(shù)列形式如：1n（n+k）=1k（1n-1n+k），1n+k+n=1k（n+k-n）等。

3. 分組轉(zhuǎn)化求和法

這種求和法則是把一個數(shù)列可分解為幾個特殊數(shù)列的和（或差）的形式，然后分別求解。

例3已知集合A={a|a=2n+9n-4，n∈N+且a<2000}，求A中元素的個數(shù)，以及這些元素的和。

解：由210=1024，211=2048

知210+9×10-4<2000

211+9×10-4>2000

∴A中有10個元素，記這些元素的和為S10，其中{2n}為以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，{9n-4}為以5為首項，公差為9的等差數(shù)列（或者說{9n}9為首項，公差為9的等差數(shù)列）。

S10=2+22+23+…+210+9+18+…+90-4×10

=2（210-1）+99×5-40=2501

說明：本題中A是一個集合，集合中的元素是不可重復(fù)的，也是沒有順序，但在求和時與10個元素的順序無關(guān)，所以可借用數(shù)列的方法對不同特點的數(shù)列歸類求和。

4. 倒序相加求和法

這種數(shù)列的求和特點，在于數(shù)列中與首末兩項等距的兩項之和均等于首末兩項之和或者倒序后錯位相加滿足上述要求。

例4求和Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

解：根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)Cmn=Cn-mn，將Sn倒序?qū)憺镾n=nCnn+（n-1）Cn-1n+…+C1n

已知Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

以上兩式相加得：

2Sn=n（C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn）=n·2n

∴Sn=n·2n-1

說明：如果一個數(shù)列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

5. 拆項轉(zhuǎn)化求和法

這種求和法則適合于數(shù)列的通項可拆成兩個或幾個特殊數(shù)列的通項式，然后分別解之。

例5求數(shù)列112，314，518，…，（2n-1+12n）的前n項和。

解：Sn=112+314+518+…+（2n-1+12n）

=（1+3+5+…+2n-1）+（12+14+18+…12n）

=（1+2n-1）n2+121-（12）n1-12=n2+1-12n

說明：此數(shù)列可以看作由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相加得到的一個新數(shù)列。因此，可將此數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的求和問題。

6. 分解重組求和法

這種求和法則適合于拆項后，得到的兩個數(shù)列不一定是常見的等差或等比數(shù)列還需要進行分類討論。

例6求和：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）（x≠1，y≠1）。

解：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）

=（x+x2+…+xn）+（1y+1y2+…+1yn）

=x（1-xn）1-x+1y（1-1yn）1-1y（∵x≠1，y≠1）

=x（1-xn）1-x+yn-1yn+1-yn

說明：嚴(yán)格地說，數(shù)列x，x2，…，xn不一定為等比數(shù)列，如x=0。只不過x+x2+…+xn=x（1-xn）1-x，當(dāng)x=0時也成立而已。特別地當(dāng)題目本身沒有事先交代x，y的取值范圍時，對x，y是否取1要做討論。