萬(wàn)千變化abc

王聯(lián)福

摘要：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常會(huì)對(duì)a、b、c變化對(duì)圖象的影響判斷產(chǎn)生混淆，對(duì)掌握?qǐng)D象性質(zhì)帶來不少障礙。筆者在教學(xué)實(shí)踐中將a、b、c對(duì)圖象影響選取若干典型案例進(jìn)行解讀，希望能對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)掌握這方面的知識(shí)帶來幫助。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；圖象與性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合

數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。在二次函數(shù)y=ax2+bx+c（d≠0）的圖象與性質(zhì)教學(xué)中充分利用數(shù)形結(jié)合的互相轉(zhuǎn)化加深對(duì)這個(gè)問題的理解，在直觀與抽象，感知與思維中讓知識(shí)在腦海中留下深刻印象，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精妙！

我們先來明確函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與a、b、c的關(guān)系（解析式中a、b、c的作用）

1. a決定開口方向及開口大小.（與y=ax2中的a完全一樣）

（1） a>0則雙曲線開口向上。（2） a<0則雙曲線開口向下。

2. b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.（口訣：左同右異）

由于拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-b2a，故：①b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②ba>0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)（左同）；③ba<0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)（右異）.

3. c值決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=0時(shí)，y=c，則拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：

①c=0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c>0，與y軸交于正半軸；③c<0，與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.

4. 雙曲線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)可通過解方程ax2+bx+c=0而獲得，所以

①如果

SymbolDA@ >0，則y=ax2+bx+c交x軸于兩點(diǎn)。

②如果

SymbolDA@ =0，則y=ax2+bx+c交x軸于一點(diǎn)。

③如果

SymbolDA@ <0，則y=ax2+bx+c與x軸無交點(diǎn)。（

SymbolDA@ =b2-4ac）

基礎(chǔ)運(yùn)用

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①a+b+c>0；②a-c<0；③b2-4ac>0；④b<2a；⑤abc>0.

其中正確的有（）個(gè).

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解：①根據(jù)圖示知，當(dāng)x=1時(shí)，y>0，即a+b+c>0.故①正確；②如圖，拋物線的開口向上，則a>0.拋物線與y軸交與負(fù)半軸，則c<0，所以a-c>0.故②錯(cuò)誤；③如圖，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則Δ=b2-4ac>0.故③正確；④如圖，對(duì)稱軸-10所以，b<2a.故④正確；⑤∵a>0，對(duì)稱軸x=-b2a<0，∴b>0，又∵c<0，∴abc<0.故⑤錯(cuò)誤；綜上所述，正確的說法是①③④，共有3個(gè).故選C.

變形提高

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（x≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

①2a+b>0；②b2-8a>4ac；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.

正確的有.

解：①由圖知：拋物線開口向上，得：a>0；拋物線的對(duì)稱軸為x=-b2a=1，b=-2a，則2a+b=0故①錯(cuò)誤；②拋物線交y軸于負(fù)半軸，得：c=-2；因?yàn)閎=-2a，所以b2-8a=4a2-8a，4ac=-8a，因?yàn)?a2>0，所以4a2-8a>-8a，所以b2-8a>4ac，故②正確；③根據(jù)①可將拋物線的解析式化為：y=ax2-2ax+c（a≠0）；由函數(shù)的圖象知：當(dāng)x=-2時(shí)，y>0；即4a-（-4a）+c=8a+c>0，故③正確；④根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可知：（-1，0）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是（3，0）；當(dāng)x=-1時(shí)，y<0，所以當(dāng)x=3時(shí)，也有y<0，即9a+3b+c<0；故④正確；故答案為②③④.

本題的亮點(diǎn)②b2-8a>4ac；③8a+c>0；通過圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換來得到結(jié)論.

本著“問題—探究—反思—提高”的過程，展開所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)主題，使學(xué)生在了解原有知識(shí)基礎(chǔ)上，理解并掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

基礎(chǔ)訓(xùn)練、變形提高，有效的數(shù)形結(jié)合極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括能力，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率和效果，促使學(xué)生主動(dòng)參與并“卷入”到“做”數(shù)學(xué)的活動(dòng)中，從而更加深刻地認(rèn)識(shí)并掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王建磐.義務(wù)教育課程標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書初中三年級(jí)（九年級(jí)）（下），《數(shù)學(xué)》華東師范大學(xué)出版社.

[2]王鳳章.初中數(shù)學(xué)教學(xué)的新視野[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.

[3]李金芳，馬維政.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].考試周刊.