從典型錯例分析及矯正談“列舉策略”的應用

王海燕

【摘要】本文對小學數學中列舉的策略做出分析，說明在解題的過程中如何避免出現錯誤以及如何正確地解答題目。

【關鍵詞】數學 列舉 策略 錯誤

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）10A-0121-02

所謂“列舉策略”，就是把滿足題目要求的所有可能值均列出來。在此之后，我們需要對所有的可能值進行分析，選擇可以滿足題目要求的所需值，對不滿足題目要求的所需值進行剔除，這樣我們才有可能得到最后的答案。而“列舉策略”的重點在于：不遺漏、不重復、有思考、會計算。下面，筆者擬結合幾個數學錯例，談談如何進行列舉。

例1：小紅有10朵小紅花，小明有8朵小藍花，小誠有15朵小綠花?，F在已知兩朵小紅花可以換5朵小綠花或者1朵小藍花。如果小紅要用自己手中的花來和小明、小誠這兩個或者其中的一人來進行交換，請問在交換結束后小紅手中可能有幾朵小紅花、小黃花和小綠花？

學生的答案只有如下幾種：10朵小紅花、0朵小藍花、0朵小綠花；8朵小紅花、1朵小藍花、0朵小綠花；6朵小紅花、2朵小藍花、0朵小綠花；4朵小紅花、3朵小藍花、0朵小綠花；2朵小紅花、4朵小藍花、0朵小綠花；0朵小紅花、5朵小藍花、0朵小綠花；8朵小紅花、0朵小藍花、5朵小綠花；6朵小紅花、0朵小藍花、10朵小綠花；4朵小紅花、0朵小藍花、15朵小綠花。

【診斷】通過分析學生的答案，筆者發(fā)現學生在解題的過程中存在兩種問題：其一，不明題意，理解上出現偏差。其二，沒有考慮到交換過程中存在的復雜情況。在學生的回答中有這樣一種情況：10朵小紅花、0朵小藍花、0朵小綠花。在這種情況下，小紅手中的花的數目并沒有發(fā)生變化。而題中已經明確指出：小紅要用自己手中的花來和小明、小誠這兩個或者其中的一人來進行交換。這也就是說：交換一定會發(fā)生，小紅手中的花的數目一定會發(fā)生改變。而學生在解答中還保留了原來的花的數目，這就說明解答者不明題意，理解上出現偏差。二是學生在對題目進行解答時并沒有考慮到小紅既和小明交換花朵又和小誠交換花朵的情況。出現這種情況可能是學生對題意理解不足，也可能是沒有考慮到交換過程中存在的復雜情況。為此，筆者提出以下解決對策：

1.多讀題、理解題意

在答題的過程中，部分學生總是會表現得非常匆忙，這種現象在考試中尤為明顯。學生如果讀題過于匆忙，可能會因為對題意理解不透而丟分，上文就是最好的說明。一步錯，滿盤皆輸。在平時的教學中，教師一定要強調讀題的重要性。對于上題的教學，教師要對其中的重點信息進行分析，特別要對“如果小紅要用自己手中的花來和小明、小誠這兩個或者其中的一人來進行交換”這一段話做重點分析，強化學生對關鍵字詞的理解，明白題意中必須有“交換”的發(fā)生。

2.嵌套列舉

二維的列舉較一維的列舉要復雜得多，在面對有多個變量的題目時，我們需要讓學生掌握“嵌套列舉”的解題技巧。所謂嵌套列舉，它要在第一次列舉的所有列舉項中進行第二次列舉。仍以上題為例，題目中具有兩個變量：和小明交換、和小誠交換。而解題者就可能犯這樣的錯誤：列舉遺漏、單項列舉。列舉遺漏是舉例過程不規(guī)范所致，利用嵌套列舉，就可以避免此類問題的發(fā)生。在本題中，我們可以引導學生先對小紅和小明的交換情況進行分析，接著再引導學生在以上情況的基礎上對小紅和小誠的交換情況進行分析。例如，先確定藍花數量再確定綠花和紅花之間的轉換，小紅和小明交換0朵小藍花，這樣小紅手中的花朵就變成了：10朵小紅花、0朵小藍花，接著引導學生分析小紅在此種情況下和小誠的交換情況，由于交換必須發(fā)生且小誠只有15朵小綠花，所以小紅最少用2朵小紅花和小誠交換5朵小綠花，最多用6朵小紅花和小誠交換15朵小綠花，此時小紅手中的花可能有以下幾種情況：8朵小紅花，0朵小藍花，5朵小綠花；6朵小紅花，0朵小藍花，10朵小綠花；4朵小紅花，0朵小藍花，15朵小綠花。小紅和小明交換1朵小藍花，這樣小紅手中的花朵就變成了：8朵小紅花、1朵小藍花，小紅在此種情況下和小誠的進行交換可以最少交換0朵小綠花，最多15朵小綠花……依此類推，我們可以得到小紅和小明交換2朵、3朵、4朵、5朵藍花的情況。教師需要注意提醒學生存在小紅只與小明交換或者只與小誠交換的情況。

3.明確范圍

此題中存在三個基本量：紅花、藍花、綠花。三個基本量也就有三個范圍，如果學生在解題的過程中忽視了其中的某一個范圍，就會導致整道題的解題思路方向錯誤。例如：如果學生忽視了綠花的最大取值為15的話，就可能得到如下錯誤答案：0朵小紅花、25朵小綠花。為了提醒學生記住題目中的范圍，我們可以讓學生嘗試使用如下兩種方法：其一，在寫題之前將范圍寫在草稿紙上，提醒自己注意。其二，在寫題結束后，對答案進行檢查，對不在范圍內的數據進行剔除。

例2：用100元到商店買東西，已知：一塊橡皮需要花費3元、一支鉛筆需要花費7元、一個本子需要花費10元。問：在正好花光100元的情況下，可以買到幾樣東西？

學生的答案有：7+3+10=20（元） 100÷20=5 5×3=15

因此，可以買到15樣東西。

【診斷】此題解答的錯誤點為：第一，沒有樹立列舉的概念。第二，曲解題目意思。首先，在閱讀完題目后，我們應該知道此題的答案并不止一個。通過簡單的分析我們就可以得到以上結論，例如：買一塊橡皮、一支鉛筆、9個本子正好消費100元，此時買到的東西數為11。而買2塊橡皮、2支鉛筆、8個本子正好消費100元，此時買到的東西數為12。而解答者最終只得到了一個答案，這說明解答者沒有列舉的概念。其次，通過解答者的演算步驟，我們可以知道解答者所算的答案為：在鉛筆數目等于橡皮數目等于本子數目時，剛好消費一百元。而原題中并沒有“鉛筆數目等于橡皮數目等于本子數目”這樣的條件限制，因此說明解答者曲解了題目意思。本題的對策分為兩類：一般解題方法和巧妙解題方法。

1.一般解題方法

一般解題方法適用于時間緊急的情況，如考試中學生不知道該如何進行答題時，可以對此題使用窮舉法。通過窮舉法，學生可以得出所有的答案。三層嵌套是使用窮舉法所需要運用的解題策略。三層嵌套是在兩層嵌套的基礎上發(fā)展起來的嵌套方法。以上題為例，我們可以讓學生在確定了買一塊橡皮、一支鉛筆的基礎上進行分析，對買多少個本子可以進行推算或者計算。

這里需要教師提醒學生注意題目中隱含的數學條件，它是促使學生正確推斷的前提。在此題中，我們可以得出：鉛筆花費的錢+本子花費的錢+橡皮花費的錢=100。但是這樣的數學式子并不是直接給出的，它是我們根據題意而推出的。

2.巧妙解題方法

值得注意的是，如果所取的值過大時，比如，此題中要消費的金額為1000元時，窮舉需要花費很多時間，這時教師就要引導學生考慮使用巧妙解題法。利用巧妙解題方法，學生可以快速得出題目的答案。教師可以在平時的練習中訓練學生掌握這一方法。

讓學生發(fā)現關鍵點是巧妙解題方法的一個策略。通過關鍵點，學生可以對題目實現簡化操作。上題中的關鍵點就是整除與因子。通過分析題目，學生可以發(fā)現：在橡皮的數目等于鉛筆的數目時，100元能正好用完。這是因為3和7都不是100的因子，100無法將之整除。而當學生發(fā)現3+7=10，恰好可以被100整除時，學生就可以推出：在橡皮的數目等于鉛筆的數目時，100元可以恰好用完。因此，就可以將鉛筆數等于橡皮數的情況全部列出。但是值得注意的是，教師還要引導學生考慮某一件東西的購買數量為0的情況。例如：當我們購買10塊橡皮、0支鉛筆和7個本子時，橡皮的數目并不等于鉛筆的數目，但是其所花費的金額一樣可以滿足題目中恰好花費100元的條件。

綜上所述，列舉法在數學中具有很重要的意義，很多數學習題中都要使用此種方法。在列舉的過程中，解題者很容易犯一些邏輯上的錯誤。因此，教師應該讓學生掌握一些列舉策略，并了解列舉過程中容易出現的一些問題，這樣就能促使學生更好地使用列舉法來解題。

（責編 黎雪娟）