高等數(shù)學(xué)“三合一”教學(xué)模式的探索與實(shí)踐

周芳芹+劉健

摘 要：為了解決學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)困難問題，文章通過結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模等課程的教學(xué)，提出了高等數(shù)學(xué)“三合一”教學(xué)改革思路：概念形成體驗(yàn)課、數(shù)學(xué)輔助計(jì)算工具體驗(yàn)課、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課“三合一”實(shí)踐體驗(yàn)教學(xué)模式，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)中微積分知識(shí)的了解，使得高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)計(jì)算同時(shí)得以提升的效果。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)建模

在工程技術(shù)領(lǐng)域中，不斷涌現(xiàn)許多需要建立數(shù)學(xué)模型、再輔之以計(jì)算機(jī)計(jì)算軟件才能得以解決的復(fù)雜問題。要解決這些問題，對(duì)工程人員的建模和計(jì)算機(jī)計(jì)算能力要求越來越高。對(duì)在今后的工程研究中起中堅(jiān)作用的工科大學(xué)生而言，其必須具有較強(qiáng)的建模和計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算能力，如果這方面的能力缺失，必然會(huì)限制其未來的發(fā)展空間。這些能力如何獲得？很多高校都有了共識(shí)，在開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程的前提下新增開了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兩門獨(dú)立課程，力求通過數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的開設(shè)來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)建模和計(jì)算能力。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，獨(dú)立開設(shè)這三門課程的教學(xué)效果很不理想，例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)、工具，但學(xué)生感受到的都是抽象概念；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的時(shí)候，學(xué)生又發(fā)現(xiàn)不知如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。不僅如此，數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教材難度較深，同時(shí)需要掌握相關(guān)軟件的應(yīng)用，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生厭棄情緒。為了解決目前的教學(xué)困境，實(shí)現(xiàn)教育教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生具備運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)解決實(shí)際問題的能力，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中探索“三合一”教學(xué)改革的思路，結(jié)合數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)揮數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程優(yōu)勢(shì)，開發(fā)通過合適的實(shí)驗(yàn)更好地理解高等數(shù)學(xué)的核心思想，使得高等數(shù)學(xué)教學(xué)能夠提高學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)應(yīng)用、使用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件的綜合能力。

一、高等數(shù)學(xué)“三合一”教學(xué)模式

高等數(shù)學(xué)“三合一”教學(xué)模式主要是指在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，設(shè)計(jì)一些有針對(duì)性的實(shí)驗(yàn)課內(nèi)容，將數(shù)學(xué)建模、Matlab輔助求解融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育教學(xué)中。它與傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（Matlab操作）三門課獨(dú)立教學(xué)完全不同，是將數(shù)學(xué)建模方法、Matlab輔助求解融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，旨在促進(jìn)學(xué)生更加深入地理解數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，簡(jiǎn)稱“三合一”教學(xué)。

二、高等數(shù)學(xué)“三合一”教學(xué)的方案設(shè)計(jì)

為了將傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三門課程的教學(xué)目標(biāo)有機(jī)地融合在一起，使得學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，感受數(shù)學(xué)計(jì)算的便捷性，高等數(shù)學(xué)“三合一”教學(xué)模式主要側(cè)重在原來的單一的理論課的講授方式上再加入三種實(shí)驗(yàn)課形式：概念形成體驗(yàn)課、數(shù)學(xué)輔助計(jì)算工具體驗(yàn)課、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課。

1.概念形成體驗(yàn)課

高等數(shù)學(xué)課程中的導(dǎo)數(shù)、定積分這兩個(gè)概念就適合用體驗(yàn)式的學(xué)習(xí)方式，由于概念描述篇幅很長(zhǎng)，思路較為煩瑣，又涉及極限思想，所以普通教學(xué)模式下，學(xué)生學(xué)完后對(duì)導(dǎo)數(shù)和定積分的本質(zhì)還是不清楚，而采用概念形成體驗(yàn)課就能讓學(xué)生對(duì)概念表示的式子理解得更加深刻。例如，對(duì)定積分概念的描述，教材解釋部分過長(zhǎng)，經(jīng)歷分割、求近似、求和、取極限四個(gè)步驟才得到結(jié)果，而結(jié)果公式化也很抽象。為了更好地理解定積分概念，我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的概念體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)課，在實(shí)驗(yàn)中，我們將事先編好的Matlab演示程序發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生在操作改變的取值時(shí)，體驗(yàn)面積之和S=f（）△xi的動(dòng)態(tài)變化，通過繪制表格，觀察、體會(huì)定積分的概念的含義，并作圖表示和S=f（）△xi與定積分f（x）dx的關(guān)系，從而加深領(lǐng)會(huì)定積分的定義。

實(shí)驗(yàn)的具體設(shè)計(jì)：

（1）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河^察定積分概念的形成（以（x2+1）dx為例）。

（2）實(shí)驗(yàn)過程：首先要求學(xué)生寫出等分割時(shí)（x2+1）dx的計(jì)算式；再完成表格，觀察時(shí)，面積之和式f（）△xi的值的變化；再將面積之和式f（）△xi代表的幾何意義表示出來，觀察f（）△xi與（x2+1）dx的關(guān)系。通過以上步驟，學(xué)生可以得到：表示面積之和式值的陰影部分面積與表示定積分的曲邊梯形面積無限接近。

（3）實(shí)驗(yàn)結(jié)論：首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程總結(jié)定積分的概念形成過程，并寫出定積分表達(dá)式；進(jìn)而理解定積分的概念形成過程：分割→求近似→求和→取極限；即：f（x）dx=f（）△xi。

整個(gè)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)意圖就是讓學(xué)生可以切實(shí)地從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面體驗(yàn)定積分概念的形成過程，一方面通過計(jì)算獲得面積之和的值，并觀察值的變化，感受定積分概念的形成；另一方面通過改變分割小區(qū)間數(shù)目畫出表示和式值的圖形，觀察數(shù)目變化時(shí)圖形面積的變化趨勢(shì)，感受定積分形成過程。通過具體的、親身的體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)抽象定義f（x）dx=f（）△xi就更容易理解并接受。

2.數(shù)學(xué)輔助計(jì)算工具體驗(yàn)課

一直以來，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)給人的印象就是極限、導(dǎo)數(shù)、積分的計(jì)算技巧訓(xùn)練課，其中的運(yùn)算煩瑣且困難，很多學(xué)生就是在漫長(zhǎng)的計(jì)算訓(xùn)練中慢慢失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和信心。數(shù)學(xué)輔助計(jì)算工具體驗(yàn)課是學(xué)生在完成基本概念和基本運(yùn)算的學(xué)習(xí)后，到實(shí)驗(yàn)室體驗(yàn)數(shù)學(xué)軟件的輔助計(jì)算功能，體驗(yàn)有了工具輔助后數(shù)學(xué)運(yùn)算的便捷性。如在完成極限、導(dǎo)數(shù)、積分的概念與運(yùn)算的學(xué)習(xí)后，推薦學(xué)生應(yīng)用Matlab進(jìn)行極限、導(dǎo)數(shù)、積分計(jì)算，利用Matlab可以非?？旖莸氐玫浇Y(jié)果，不需要考慮具體表達(dá)式的計(jì)算技巧。這樣，學(xué)生就可以避免枯燥和煩瑣的計(jì)算，節(jié)省出大量的精力和時(shí)間，以輕松心態(tài)了解極限、導(dǎo)數(shù)、積分的基本思想方法。

實(shí)驗(yàn)的具體設(shè)計(jì)：

（1）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模菏煜atlab中的求極限、導(dǎo)數(shù)、積分命令（limit，diff，Int）。

（2）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：選取常見初等函數(shù)結(jié)合重要極限性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；對(duì)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)；極值和最值問題；積分的換元、分部積分方法等。利用編程簡(jiǎn)化計(jì)算過程，熟悉常見指令的使用方法，從而實(shí)現(xiàn)利用Matlab幫助解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)輔助計(jì)算工具體驗(yàn)課的設(shè)計(jì)意圖是給學(xué)生提供一種快速進(jìn)行微積分計(jì)算的新途徑，節(jié)省計(jì)算的時(shí)間，把學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)引導(dǎo)到微積分的核心思想上。這種實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)課所占課時(shí)較少，但是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力的效果突出。學(xué)生能夠利用軟件工具，掌握基本操作命令，熟悉編程的基本步驟，就可以實(shí)現(xiàn)輔助計(jì)算。

3.數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，主要通過實(shí)際背景提出問題、建立數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用適當(dāng)方法求解問題的一系列過程，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、提高綜合應(yīng)用能力。高等數(shù)學(xué)課程中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、積分的應(yīng)用、微分方程等模塊的內(nèi)容就適合設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課，學(xué)生通過親自動(dòng)手，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)并結(jié)合實(shí)際生活，拉近抽象知識(shí)與現(xiàn)實(shí)的距離，將數(shù)學(xué)方法和思想深刻植入心中，影響深遠(yuǎn)。

數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課的具體設(shè)計(jì)以“椅子在地上能不能放穩(wěn)？”建模練習(xí)為例：

（1）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私饨?shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的一般過程；感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系，體會(huì)學(xué)好微積分知識(shí)的重要性。

（2）問題導(dǎo)入：在日常生活中有這樣的現(xiàn)象：椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，然而只需稍微挪動(dòng)幾次，一般都可以使四只腳同時(shí)著地，建模說明此種現(xiàn)象。

（3）建立數(shù)學(xué)模型：模型假設(shè)、建立模型、模型求解、評(píng)注和思考。經(jīng)過假設(shè)，將生活中椅子四腳著地問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即驗(yàn)證滿足條件：f（θ），g（θ）連續(xù)；，f（θ）·g（θ）=0；且g（0）=0，f（0）﹥0時(shí)，一定θ0，使得f（θ0）=g（θ0）=0。

模型的求解即用連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（零點(diǎn)定理）證明上面的數(shù)學(xué)問題。

（4）實(shí)驗(yàn)總結(jié)：感受零點(diǎn)定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法。

數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課的設(shè)計(jì)意圖：主要是通過從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的抽象、求解，再回到解釋說明實(shí)際現(xiàn)象的思維過程體驗(yàn)，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)得更加深刻、形象，原來課程中枯燥無趣的數(shù)學(xué)定理、計(jì)算方法，有了對(duì)應(yīng)思維數(shù)學(xué)模型后，變得生動(dòng)立體，學(xué)生理解和記憶就變得簡(jiǎn)單。有時(shí)在求解數(shù)學(xué)模型的過程中還要借助數(shù)學(xué)軟件計(jì)算才能很好地計(jì)算出結(jié)果，這也鍛煉了學(xué)生的計(jì)算機(jī)計(jì)算能力。

三、結(jié)語

三種體驗(yàn)課：概念形成體驗(yàn)課、數(shù)學(xué)輔助計(jì)算工具體驗(yàn)課、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課是配合理論課的學(xué)習(xí)而設(shè)計(jì)的，其設(shè)計(jì)的具體教學(xué)過程的最終目的是希望學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的基本理論知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助探究的綜合能力。通過進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的體驗(yàn)，使得抽象的數(shù)學(xué)概念公式具體化；數(shù)學(xué)輔助計(jì)算工具體驗(yàn)課通過數(shù)學(xué)軟件的輔助，快速地進(jìn)行微積分運(yùn)算，使得煩瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算變得輕松愉快；數(shù)學(xué)建模應(yīng)用體驗(yàn)課通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的練習(xí)，讓學(xué)生所學(xué)的知識(shí)踏實(shí)落地，使數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)水乳交融。總之，所有的體驗(yàn)都是為了讓學(xué)生從傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“記、背、算”的模式解脫出來，真切地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的核心思想方法，直接感悟數(shù)學(xué)的深邃理論，使學(xué)生最終獲得持續(xù)永久的數(shù)學(xué)思維能力，并且通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的體驗(yàn)操作，提升學(xué)生參與數(shù)學(xué)課堂的熱情，激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

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（作者單位：衢州學(xué)院）