不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算方法綜述

胡 明， 唐東凱， 李芬田， 王澤儒

(1.長(zhǎng)春工程學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130012；2.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130012)

不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算方法綜述

胡 明1,2， 唐東凱2*， 李芬田2， 王澤儒2

(1.長(zhǎng)春工程學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130012；2.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130012)

基于概率模型，將不確定聚類(lèi)算法分為基于概率模型和缺失概率模型，并分別總結(jié)了距離的計(jì)算方式。

不確定聚類(lèi)； 相似性度量； 概率模型； 距離公式

0 引 言

不確定性普遍存在于數(shù)據(jù)中，是數(shù)據(jù)的固有屬性[1]。在對(duì)不確定數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)時(shí)需要考慮其不確定性，否則會(huì)出現(xiàn)誤差，如圖1所示。

圖1(a)原始數(shù)據(jù)集被分為3個(gè)簇(a,b,c)。圖1(b)不考慮數(shù)據(jù)的不確定性進(jìn)行聚類(lèi)得到簇a′,b′,c′和c″。圖1(c)不確定性被考慮時(shí)，分為簇a′,b′和c，聚類(lèi)結(jié)果比圖1(b)更接近圖1(a)。

(a) 數(shù)據(jù)集

(b) 確定聚類(lèi)

(c) 不確定聚類(lèi)

確定數(shù)據(jù)聚類(lèi)算法可以使用確定距離計(jì)算方式(如歐式距離)作為兩個(gè)對(duì)象之間的相似度度量以指導(dǎo)整個(gè)聚類(lèi)過(guò)程，但不確定數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象都是由多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)表示，不再是單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)[2-4]。這就使得不確定數(shù)據(jù)的聚類(lèi)不能使用傳統(tǒng)的距離公式來(lái)進(jìn)行聚類(lèi)，因此，不確定數(shù)據(jù)聚類(lèi)的主要難點(diǎn)就是如何計(jì)算不確定數(shù)據(jù)對(duì)象之間的距離。

在不確定數(shù)據(jù)聚類(lèi)中，常將不確定性數(shù)據(jù)細(xì)分為存在級(jí)不確定性(Existential Uncertainty)和屬性值不確定性(Attribute Level Uncertainty)[5]。存在級(jí)不確定性由一個(gè)概率值來(lái)表示該元組存在的可能性大小，屬性值不確定性是指每個(gè)元組屬性具有多個(gè)可能的取值，且多個(gè)取值滿(mǎn)足某種分布(如高斯分布等)，用概率密度函數(shù)來(lái)表示。上述兩種類(lèi)型的不確定數(shù)據(jù)都涉及到概率或概率分布，可以看作是基于概率模型。但在實(shí)際應(yīng)用中，很難事先知道不確定數(shù)據(jù)的概率分布，而分布的范圍很容易知道，這種類(lèi)型的不確定性數(shù)據(jù)可以看作是缺失概率模型的。

文中主要討論基于概率模型和缺失概率模型兩種形式的不確定聚類(lèi)，總結(jié)其中的距離計(jì)算方式。

1 基于概率模型的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

在概率模型中，相當(dāng)于在確定數(shù)據(jù)對(duì)象的維度中增加了一個(gè)概率維，在存在級(jí)不確定數(shù)據(jù)中該概率維表示該元組的存在概率，在屬性級(jí)不確定數(shù)據(jù)中由概率密度函數(shù)來(lái)表示。因此，需要考慮到不確定對(duì)象的概率或概率密度函數(shù)，才能很好地保留數(shù)據(jù)的不確定性，得到高質(zhì)量的聚類(lèi)結(jié)果。

1.1 屬性值不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

屬性值不確定聚類(lèi)用概率密度函數(shù)來(lái)表示數(shù)據(jù)的不確定性。文中采用孫吉貴[6]等對(duì)聚類(lèi)算法的分類(lèi)方式，將不確定聚類(lèi)方式分為基于劃分、基于密度和基于相似概率分布，并將從以上3個(gè)方面對(duì)屬性值不確定聚類(lèi)中的距離計(jì)算方式進(jìn)行介紹。

1.1.1 基于劃分的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

基于劃分的不確定聚類(lèi)算法主要有uk-means[7]、uk-medoids[8]以及uk-means的變形ck-means[9]。假設(shè)D={o1,o2,...,on}為m維不確定數(shù)據(jù)集，C={C1,C2,…,Ck}為k個(gè)不同的簇，fi(x)為不確定對(duì)象oi的概率密度函數(shù)，滿(mǎn)足fi(x)≥0,?x∈Rm且

在uk-means中，使用期望的平方作為距離函數(shù)，如下式：

簇心的計(jì)算如下：

在uk-means中,對(duì)于線(xiàn)性移動(dòng)和自由移動(dòng)的對(duì)象來(lái)說(shuō),計(jì)算期望的平方是容易的，但是當(dāng)數(shù)據(jù)量變大時(shí)，積分的出現(xiàn)使得計(jì)算時(shí)間花費(fèi)太大。因此，文獻(xiàn)[7]借鑒剛體力學(xué)上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及平行軸定理對(duì)式(1)做了簡(jiǎn)化，首先對(duì)于每個(gè)不確定對(duì)象oi，定義其質(zhì)心

對(duì)于任何不確定對(duì)象oi和任何屬于Rm的點(diǎn)y都有：

只需要提前計(jì)算ki和ED(oi,ki)，就可以得到ED(oi,y)，不需要再次評(píng)估概率密度函數(shù)。

算法uk-means和ck-means在計(jì)算簇心的時(shí)候，都是使用一個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)來(lái)代表整個(gè)簇，這對(duì)于不確定數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，丟失了一些信息，會(huì)對(duì)最終的聚類(lèi)精度造成影響，因此Gullo F[8]等借鑒k-medoids的思想，使用一個(gè)不確定對(duì)象而不是一個(gè)確定的點(diǎn)來(lái)表示一個(gè)簇，提出了uk-medoids算法，針對(duì)屬性級(jí)不確定對(duì)象oi，oj的距離計(jì)算公式如下：

式中：dist(x,y)----x和y的距離(如歐式距離)。

由式(1)～式(5)可以看出，基于劃分的不確定聚類(lèi)中的距離公式都是使用確定距離和概率密度函數(shù)的數(shù)值積分來(lái)計(jì)算的，其主要時(shí)間代價(jià)為數(shù)值積分的計(jì)算。

Wang K N[10]等在uk-means的基礎(chǔ)上討論了各種剪枝策略對(duì)計(jì)算效率的影響；肖宇鵬[11]等將ck-means的距離計(jì)算方法與模糊c-均值相結(jié)合，對(duì)模糊c-均值的目標(biāo)函數(shù)做了擴(kuò)展，使得模糊c-均值算法的聚類(lèi)思想適用于不確定聚類(lèi)；曹科研[12]等將uk-means算法中期望距離的計(jì)算方式運(yùn)用到障礙空間中，并結(jié)合剪枝技術(shù)提出了適用于障礙空間中不確定聚類(lèi)的算法；遲榮華[13]等利用改進(jìn)的快速高斯變換方法獲取概率密度函數(shù)，減少了距離計(jì)算的時(shí)間；文獻(xiàn)[14]針對(duì)不同的概率密度函數(shù)討論了各自的距離計(jì)算方式，最終結(jié)合快速高斯模型提出了一種有效的距離公式。

1.1.2 基于密度的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

Kriegel[15]等最早提出基于密度的不確定聚類(lèi)算法FDBSCAN，并在同一年改進(jìn)了OPTICS算法，提出了FOPTICS算法[16]。在聚類(lèi)的相似性度量上FDBSCAN和FOPTICS算法采用了距離分布函數(shù)，能夠體現(xiàn)出數(shù)據(jù)對(duì)象的概率密集程度。并對(duì)基于密度聚類(lèi)中涉及到的核心對(duì)象概率和對(duì)象的可達(dá)概率做了重新定義。FDBSCAN算法采用距離分布函數(shù)描述數(shù)據(jù)的不確定性，如下：

Pd(o,o′)(b)=P(d(o,o′)≤b)=

其中，Pd(o,o′)為距離密度函數(shù)，且限制條件為

在式(7)數(shù)據(jù)集D中，A?D，當(dāng)A中數(shù)據(jù)對(duì)象的數(shù)目大于或等于μ并且A中全部不確定數(shù)據(jù)對(duì)象到o的距離都小于或等于ε時(shí)，則稱(chēng)A中數(shù)據(jù)對(duì)象的概率之和為數(shù)據(jù)對(duì)象o的核心概率對(duì)象。

FOPTICS算法與FDBSCAN算法一樣，都采用距離分布函數(shù)，唯一的不同就是FOPTICS是在模糊聚類(lèi)算法OPTICS上擴(kuò)展來(lái)的，采用的是模糊距離分布函數(shù)，如下：

由式(9)可得出模糊可達(dá)距離，如下：

其他基于密度的不確定聚類(lèi)算法，如潘冬明[17]等借鑒相對(duì)密度算法的思想，重新定義了不確定數(shù)據(jù)的距離公式；王洪朋[18]等結(jié)合信息熵和R*的概念，提出了新的距離計(jì)算公式以及不確定聚類(lèi)算法PRE-DBSCAN；許華杰[19]采用R樹(shù)索引和概率閾值索引提高算法的效率。文獻(xiàn)[17-19]都是以FDBSCAN和FOPTICS算法的距離計(jì)算公式為基礎(chǔ)的，聚類(lèi)方式相同。

1.1.3 基于相似概率分布的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

1.1.1和1.1.2中涉及的算法只是研究數(shù)據(jù)對(duì)象的幾何屬性，并且將研究的焦點(diǎn)放在不確定對(duì)象的實(shí)例上，他們并沒(méi)有考慮到不確定對(duì)象之間的相似性。

概率分布和幾何位置如圖2所示。

(a) 不同均值的數(shù)據(jù)對(duì)象 (b) 相同均值的數(shù)據(jù)對(duì)象

假設(shè)不確定對(duì)象obj1服從均勻分布，obj2服從高斯分布，如果兩個(gè)不確定對(duì)象有相同的均值(見(jiàn)圖2(b))，很顯然，obj1和obj2的幾何位置嚴(yán)重重疊，但實(shí)際上卻是兩個(gè)不同的簇。在基于劃分的不確定聚類(lèi)中，由式(1)～式(5)可以看出,只有對(duì)象的中心被考慮。而在本節(jié)的假設(shè)中，obj1和obj2有相同的中心，式(1)～式(5)無(wú)法對(duì)這種具有不同分布規(guī)律的對(duì)象集進(jìn)行有效的聚類(lèi)?；诿芏鹊牟淮_定數(shù)據(jù)聚類(lèi)方法的基本思想是將密集程度大的對(duì)象集合在一起，變成一個(gè)簇，兩個(gè)不同的簇之間由稀疏區(qū)域分隔，然而在本節(jié)的假設(shè)中，obj1和obj2嚴(yán)重重合，沒(méi)有稀疏區(qū)域可以將obj1和obj2分成兩個(gè)不同的簇，所以，基于密度的方法也不能在這種情形下有效工作。

針對(duì)這種類(lèi)型的不確定數(shù)據(jù)，Jiang B[20]等提出使用KL-散度(Kullback-Leibler divergence)來(lái)作為不確定對(duì)象的相似性度量，KL-散度是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的最佳度量，不但能很好地區(qū)分圖2(b)中的兩個(gè)嚴(yán)重重疊的不同的簇，而且對(duì)于圖2(a)的情況也能很好地解決。下面給出KL-散度在相似概率分布中具體應(yīng)用。

當(dāng)不確定對(duì)象的屬性值離散時(shí)，假設(shè)f和g是離散域D中兩個(gè)不確定對(duì)象的概率質(zhì)量函數(shù)，那么不確定對(duì)象間的KL距離定義為：

當(dāng)不確定對(duì)象的屬性值連續(xù)時(shí)，假設(shè)f和g分別表示連續(xù)域D中兩個(gè)不確定對(duì)象的概率密度函數(shù)，那么不確定對(duì)象間的KL距離定義為：

王建榮[21]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，由于D(f‖g)不具有對(duì)稱(chēng)性，所以做了如下變換：

KL-散度不僅適用于相似概率分布，也同樣可以擴(kuò)展到基于劃分的不確定聚類(lèi)算法和基于密度的不確定聚類(lèi)算法中。

1.2 存在級(jí)不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

存在級(jí)不確定數(shù)據(jù)是基于概率模型的另一種表現(xiàn)方式，每個(gè)元組都有一個(gè)概率值來(lái)表示該元組。文獻(xiàn)[21]對(duì)不確定元組做了如下定義：

定義3(不確定元組集) 不確定數(shù)據(jù)集D是一個(gè)由相互獨(dú)立的d維不確定元組(Xi,pi)構(gòu)成的集合，D={(X1,p1),(X2,p2),…,(Xn,pn)}，其中,Xi是第i個(gè)元組的值，pi是該元組的存在概率，0≤pi<1。

由定義3可知，每個(gè)不確定對(duì)象都有一個(gè)概率值，傳統(tǒng)的距離計(jì)算方式?jīng)]有考慮到概率值，僅能用于確定數(shù)據(jù)之間，為了不丟失數(shù)據(jù)的不確定屬性，必須將元組的不確定性包含在距離度量中。文獻(xiàn)[22]結(jié)合歐式距離提出了一種針對(duì)存在級(jí)不確定數(shù)據(jù)的度量方式。

定義4(不確定相異度) 不確定相異度dsij指兩個(gè)不確定元組(Xi,pi)和(Xj,pj)之間的相異程度，其公式如下：

式(14)不僅考慮了兩個(gè)不確定元組之間的確定距離，而且包含了兩個(gè)不確定元組的存在概率。各個(gè)不確定元組之間的概率越接近，它們的相異度越小，相似度就越大，就越有可能屬于同一類(lèi)，反之則屬于不同的簇。

2 基于缺失概率模型的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

以上討論的都是基于概率模型進(jìn)行不確定聚類(lèi)，而在實(shí)際應(yīng)用中，事先很難知道數(shù)據(jù)的概率分布情況。對(duì)于這種形式的不確定數(shù)據(jù)主要有兩種形式來(lái)表示：區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)，它們都不需要事先知道數(shù)據(jù)的分布情況，很容易應(yīng)用到多個(gè)領(lǐng)域。

2.1 基于區(qū)間數(shù)的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

文獻(xiàn)[23]對(duì)區(qū)間數(shù)的定義如下：

定義5(區(qū)間數(shù)) 給定AL,AR∈Rd且AR≥AL，稱(chēng)集合：A=[AL,AR]?{u|AL≤AR}為一個(gè)區(qū)間數(shù)，其中AL為區(qū)間數(shù)的下界，AR為區(qū)間數(shù)的上界。當(dāng)AL=AR，即上下界相等時(shí)，區(qū)間數(shù)變?yōu)榇_定的數(shù)。

定義6(區(qū)間數(shù)的距離) 對(duì)于給定的區(qū)間數(shù)，X=[XL,XR]，Y=[YL,YR]，它們之間的距離為：

d(X,Y)= ‖X-Y‖=

由式(16)可以看出，使用區(qū)間數(shù)來(lái)表示不確定數(shù)據(jù)，進(jìn)行聚類(lèi)時(shí)，可以避免大量的積分運(yùn)算，有效降低算法的時(shí)間復(fù)雜度。

2.2 基于三角模糊數(shù)的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算

在不知道數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)時(shí)，除了區(qū)間數(shù)之外，三角模糊數(shù)也可以表示不確定數(shù)據(jù)。記R+為正實(shí)數(shù)集，F(xiàn)(R+)為全體正模糊數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，F(xiàn)(R)為全體模糊數(shù)集，下面給出三角模糊數(shù)的定義：

定義7(三角模糊數(shù)) 設(shè)α=(l,m,u)為三角模糊數(shù)；其中，α∈F(R)，l和u分別為α的上界和下界；(m-l)和(u-m)分別為α的下限和上限，m為三角模糊數(shù)α的主值，是可能性最大的值。

對(duì)于給定的三角模糊數(shù)α=(mα-xα,mα,mα+yα)，β=(mβ-xβ,mβ,mβ+yβ)，其中mα，xα，yα，mβ，xβ，yβ∈R，在任意維度j(1≤j≤d)上，這兩個(gè)三角模糊數(shù)之間的距離都有相離、相接、相交、相含4種狀態(tài)。4種狀態(tài)中在每一維上的最大和最小距離分別為：

根據(jù)以上定義，陸億紅[25-26]等重新定義了兩個(gè)d維的三角模糊數(shù)之間的距離，如下：

D= [Dmin,Dmid,Dmax]=

式(20)為三角模糊數(shù)的距離公式，此時(shí)計(jì)算出來(lái)的三角模糊數(shù)之間的距離仍是一個(gè)三角模糊數(shù)，保留了數(shù)據(jù)的不確定性。為了將距離度量有效地運(yùn)用于不確定聚類(lèi)，文獻(xiàn)[15]將式(20)做了變換，得到兩個(gè)三角模糊數(shù)之間的距離，其表達(dá)式為：

3 結(jié) 語(yǔ)

從概率模型的角度出發(fā)，將不確定數(shù)據(jù)聚類(lèi)分為兩類(lèi)：基于概率模型的不確定聚類(lèi)和缺失概率模型的不確定聚類(lèi)。在概率模型中，都是用數(shù)據(jù)概率密度函數(shù)或者概率質(zhì)量函數(shù)來(lái)表示不確定性，由于概率的存在，在這類(lèi)的不確定聚類(lèi)中距離計(jì)算大多使用期望距離及其變形或KL-散度。而對(duì)于事先不知道概率模型的不確定數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，使用區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)可以很好地計(jì)算其不確定對(duì)象之間的距離。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)不確定數(shù)據(jù)的類(lèi)型選擇合適的距離計(jì)算函數(shù)。

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Summaryofdistancecalculationformulaforuncertainclusteringalgorithm

HU Ming1,2, TANG Dongkai2*, LI Fentian2, WANG Zeru2

(School of Computer Science & Engineering, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

Based on probabilistic model, uncertain clustering algorithm is classified into model-based probability and model-missed. Here we also summarize the distance calculation formulas.

uncertain clustering; similarity measure; probability model; distance formula.

2017-07-18

吉林省科技廳重大科技招標(biāo)專(zhuān)項(xiàng)(20160203010GX)； 吉林省發(fā)改委產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新專(zhuān)項(xiàng)基金項(xiàng)目(20170505MA2)

胡 明(1963-)，男，漢族，吉林長(zhǎng)春人，長(zhǎng)春工程學(xué)院教授，博士，主要從事分布式計(jì)算、數(shù)據(jù)挖掘方向研究,E-mail:huming@ccut.edu.cn. *通訊作者：唐東凱(1992-)，男，漢族，河南商丘人，長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)碩士研究生，主要從事數(shù)據(jù)挖掘方向研究,E-mail:tdkhkd@126.com.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2017.5.13

TP 311

A

1674-1374(2017)05-0477-07